2019年遼寧省本溪市中考數(shù)學試卷（解析版）

2019年遼寧省本溪市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.（3分）（2019?本溪）下列各數(shù)是正數(shù)的是（）

A.0B.5C.」D.--J2

2

【考點】27：實數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】此題利用正數(shù)和負數(shù)的概念即可解答.

【解答】解：0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)；5是正數(shù)；總和壇都是負數(shù).

故選：B.

【點評】此題考查正數(shù)和負數(shù)的概念.大于0的數(shù)是正數(shù)，正數(shù)前面加上“-”的數(shù)是

負數(shù).數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負數(shù).

2.（3分）（2019?本溪）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【考點】P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的定義即可判斷.

【解答】解：A、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意;

8、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

。、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意.

故選：B.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形：如果一個圖

形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形：

在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合,

那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

3.（3分）（2019?本溪）下列計算正確的是（）

A.x7-rx=x7B.（-3/）2=-9x4

C.x3,x3—2x6D.（尤3）2=尤6

【考點】46：同底數(shù)累的乘法；47：基的乘方與積的乘方；48：同底數(shù)累的除法.

【專題】512：整式.

【分析】直接利用同底數(shù)幕的乘除運算法則以及哥的乘方運算法則分別化簡得出答案.

【解答】解：A、x7-x=x6,故此選項錯誤；

B、（-3/）2=9x4,故此選項錯誤；

C、X3?無3=/，故此選項錯誤；

D、（x3）2=x6,故此選項正確；

故選：D.

【點評】此題主要考查了同底數(shù)幕的乘除運算以及嘉的乘方運算，正確掌握相關(guān)運算法

則是解題關(guān)鍵.

4.（3分）（2019?本溪）2019年6月8日，全國鐵路發(fā)送旅客約9560000次，將數(shù)據(jù)9560000

科學記數(shù)法表示為（）

A.9.56X106B.95.6X105C.0.956X107D.956X104

【考點】II：科學記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為。義10"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值>1時，〃是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，〃是負數(shù).

【解答】解：將數(shù)據(jù)9560000科學記數(shù)法表示為9.56X106.

故選：A.

【點評】此題主要考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，

其中l(wèi)W|a|<10,”為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及w的值.

5.（3分）（2019?本溪）下表是我市七個縣（區(qū)）今年某日最高氣溫（℃）的統(tǒng)計結(jié)果：

縣（區(qū)）平山區(qū)明山區(qū)溪湖區(qū)南芬區(qū)高新區(qū)本溪縣恒仁縣

氣溫（℃）26262525252322

則該日最高氣溫（℃）的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.25,25B.25,26C.25,23D.24,25

【考點】W4：中位數(shù)；W5：眾數(shù).

【專題】542：統(tǒng)計的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解即可.

【解答】解：?在這7個數(shù)中，25（℃）出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

，該日最高氣溫（℃）的眾數(shù)是25；

把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列位于中間位置的數(shù)是25,

則中位數(shù)為：25；

故選：A.

【點評】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的概念：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；

將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于

中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的

平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

:的解集是（）

2x-8<0

A.尤>3B.尤W4C.x<3D.3VxW4

【考點】CB：解一元一次不等式組.

【專題】11：計算題；524：一元一次不等式（組）及應(yīng)用.

【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可.

[x-3>0①

【解答】解:

(2x-84。②

由①得：x>3,

由②得：xW4,

則不等式組的解集為3<xW4,

故選：D.

【點評】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

7.（3分）（2019?本溪）如圖所示，該幾何體的左視圖是（）

正面

【考點】U2：簡單組合體的三視圖.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【解答】解：從左邊看是一個矩形，中間有兩條水平的虛線，

故選：B.

【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖.

8.（3分）（2019?本溪）下列事件屬于必然事件的是（）

A.打開電視，正在播出系列專題片“航拍中國”

B.若原命題成立，則它的逆命題一定成立

C.一組數(shù)據(jù)的方差越小，則這組數(shù)據(jù)的波動越小

D.在數(shù)軸上任取一點，則該點表示的數(shù)一定是有理數(shù)

【考點】W7：方差；XI：隨機事件.

【專題】541：數(shù)據(jù)的收集與整理.

【分析】直接利用隨機事件以及必然事件的定義分析得出答案.

【解答】解：A、打開電視，正在播出系列專題片“航拍中國”，是隨機事件，不合題意;

2、若原命題成立，則它的逆命題一定成立，是隨機事件，不合題意；

C、一組數(shù)據(jù)的方差越小，則這組數(shù)據(jù)的波動越小，是必然事件，符合題意；

。、在數(shù)軸上任取一點，則該點表示的數(shù)一定是有理數(shù)，是隨機事件，不合題意；

故選：c.

【點評】此題主要考查了隨機事件以及必然事件的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

9.（3分）（2019?本溪）為推進垃圾分類，推動綠色發(fā)展.某化工廠要購進甲、乙兩種型號

機器人用來進行垃圾分類.用360萬元購買甲型機器人和用480萬元購買乙型機器人的

臺數(shù)相同，兩種型號機器人的單價和為140萬元.若設(shè)甲型機器人每臺尤萬元，根據(jù)題

意，所列方程正確的是（）

A360_480口360_480

x140-x140-xx

C.理駕四”140D.國”140=螫!■

XXXX

【考點】B6：由實際問題抽象出分式方程.

【專題】522：分式方程及應(yīng)用.

【分析】設(shè)甲種型號機器人每臺的價格是x萬元，根據(jù)“用360萬元購買甲型機器人和

用480萬元購買乙型機器人的臺數(shù)相同”，列出關(guān)于尤的分式方程.

【解答】解：設(shè)甲型機器人每臺尤萬元，根據(jù)題意，可得：36^=_180_,

x140-x

故選：A.

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵正確找出等量關(guān)系，列出分式方程.

10.（3分）（2019?本溪）如圖，點P是以為直徑的半圓上的動點，CA±ABfPD±AC

于點Q,連接AP,設(shè)AP=x,PA-PD=y,則下列函數(shù)圖象能反映y與x之間關(guān)系的是

（）

A.

【考點】E7：動點問題的函數(shù)圖象.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；33：函數(shù)思想；55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】設(shè)圓的半徑為R,連接PB,貝!)貝1JP〃=APsina=xX」-x

2R2R2R

=」一/,即可求解.

2R

【解答】設(shè)：圓的半徑為R,連接

'：CA±AB,即AC是圓的切線，則NPD4=/PBA=a,

則PD—APsina—xX-^—^-^—x2,

2R2R

則y=Rl-PD---^—x1+x,

2R

圖象為開口向下的拋物線，

故選：C.

【點評】本題考查的動點的函數(shù)圖象，涉及到解直角三角形、圓的切線的性質(zhì)、二次函

數(shù)基本性質(zhì)等，關(guān)鍵是找出相應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)表達式.

二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）

11.（3分）（2019?本溪）若仃方在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為x22.

【考點】72：二次根式有意義的條件.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得X-2N0,再解即可.

【解答】解：由題意得：x-2^0,

解得：x22,

故答案為：x22.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是

非負數(shù).

12.（3分）（2019?本溪）函數(shù)y=5x的圖象經(jīng)過的象限是一、三.

【考點】F6：正比例函數(shù)的性質(zhì).

【專題】533：一次函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】利用這個比例函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合比例系數(shù)的符號直接回答即可.

【解答】解：函數(shù)y=5x的圖象經(jīng)過一三象限，

故答案為：一、三

【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)*W0）,左＞0時，圖象在一

三象限，呈上升趨勢，當上＜0時，圖象在二四象限，呈下降趨勢.

13.（3分）（2019?本溪）如果關(guān)于尤的一元二次方程7-4x+笈=0有實數(shù)根，那么左的取值

范圍是kW4.

【考點】AA：根的判別式.

【專題】11：計算題；16：壓軸題.

【分析】根據(jù)方程有實數(shù)根，得到根的判別式的值大于等于0,列出關(guān)于*的不等式，求

出不等式的解集即可得到k的范圍.

【解答】解：根據(jù)題意得：2^=16-4%\0,

解得：kW4.

故答案為：左W4.

【點評】此題考查了根的判別式，根的判別式的值大于0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;

根的判別式的值等于0,方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式的值小于0,方程沒有實

數(shù)根.

14.（3分）（2019?本溪）在平面直角坐標系中，點A,8的坐標分別是A（4,2）,B（5,0）,

以點O為位似中心，相似比為工，把△ABO縮小，得到△481。，則點A的對應(yīng)點Ai

2

的坐標為（2,1）或（-2,-1）.

【考點】D5：坐標與圖形性質(zhì)；SC：位似變換.

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可.

【解答】解：以點。為位似中心，相似比為工，把縮小，點A的坐標是A（4,2）,

2

則點A的對應(yīng)點Ai的坐標為（4x1,2x1）或（-4XL,-2XL）,即（2,1）或

2222

（-2,-1）,

故答案為：（2,1）或（-2,-1）.

【點評】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點

為位似中心，相似比為左，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于左或-左.

15.（3分）（2019?本溪）如圖，2。是矩形ABC。的對角線，在BA和2。上分別截取3E,

BF,使BE=BF；分別以E,尸為圓心，以大于工跖的長為半徑作弧，兩弧在NA3。內(nèi)

2

交于點G,作射線8G交于點P,若4尸=3,則點P到的距離為3.

【考點】KF：角平分線的性質(zhì)；LB：矩形的性質(zhì)；N3：作圖一復(fù)雜作圖.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；556：矩形菱形正方形.

【分析】首先結(jié)合作圖的過程確定BP是/ABD的平分線，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求

得點尸到8。的距離即可.

【解答】解：結(jié)合作圖的過程知：BP平分/ABD,

VZA=90°,AP=3,

點尸到的距離等于AP的長，為3,

故答案為：3.

【點評】考查了尺規(guī)作圖的知識及角平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

根據(jù)圖形確定BP平分NA3D

16.（3分）（2019?本溪）如圖所示的點陣中，相鄰的四個點構(gòu)成正方形，小球只在點陣中

的小正方形ABC。內(nèi)自由滾動時，則小球停留在陰影區(qū)域的概率為AL.

—12―

【考點】04：軌跡；X5：幾何概率.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】如圖所示，AD與直線的交點為E,AB與直線的交點為F,分別求出AE.AF

所占邊長的比例即可解答.

【解答】解：如圖所示，4。與直線的交點為E,與直線的交點為R

根據(jù)題意可知AEJAB，

oyAB

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得立上—,

2AF

,1?研442,

SAIEF1心AF4X；AB4AB$AB2，

???小球停留在陰影區(qū)域的概率為：

1212

故答案為：11

12

【點評】本題考查的是幾何概率，用到的知識點為：幾何概率=相應(yīng)的面積與總面積之

比.

17.（3分）（2019?本溪）如圖，在平面直角坐標系中，等邊△。48和菱形0cDE的邊OA,

都在x軸上，點C在邊上，S&ABD=如,反比例函數(shù)y=k（尤＞0）的圖象經(jīng)過

【考點】G5：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；KK：

等邊三角形的性質(zhì)；L8：菱形的性質(zhì).

【專題】534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】連接OD,由是等邊三角形，得到NAOB=60°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得

到/。EO=NAQB=60°,推出△OEO是等邊三角形，得到NZ）OE=/BAO=60°,得

至！J?！辏?8,求得SAEDO=SZ\AOO,推出SAAOB=SAABD=V5，過8作8H_L0A于”，由

等邊三角形的性質(zhì)得到O”=AH,求得SAOBH=Y無，于是得到結(jié)論.

2

【解答】解：連接OD,

'：^OAB是等邊三角形，

AZAOB=60°,

?.?四邊形OCDE是菱形,

J.DE//OB,

：.ZDEO=ZAOB=60°,

：./\DEO是等邊三角形，

：.ZDOE=ZBAO=60°,

：.OD//AB,

??S/\BDO=S/^AODJ

,**S四邊形ABDO=S/\ADO+S/\ABD=S/\BDO+S/\AOB,

SAAOB=S/\ABD-，

過5作于H,

???OH=AH,

SAOBH=^-,

2

、?反比例函數(shù)y=k（x>0）的圖象經(jīng)過點3,

x

???左的值為證，

故答案為：Vs-

3

【點評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，

同底等高的三角形的面積，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

18.（3分）（2019?本溪）如圖，點31在直線/：y=L;上，點31的橫坐標為2,過為作

2

交x軸于點4,以481為邊，向右作正方形481歷。，延長82cl交x軸于點

42;以4282為邊，向右作正方形A2B2B3C2,延長B3C2交X軸于點A3；以4323為邊，

向右作正方形A38384c3延長34c3交X軸于點A4;…；按照這個規(guī)律進行下去，點Cn的

【考點】D2：規(guī)律型：點的坐標；F8：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【專題】2A：規(guī)律型；533：一次函數(shù)及其應(yīng)用；55D：圖形的相似.

【分析】根據(jù)點81的橫坐標為2,在直線/：y=Lx上，可求出點藥的坐標，由作圖可

2

知圖中所有的直角三角形都相似，兩條直角邊的比都是1：2,然后依次利用相似三角形

的性質(zhì)計算出Cl、C2、C3、C4……的橫坐標，根據(jù)規(guī)律得出答案.

【解答】解：過點81、Ci、C2、C3、C4分別作BiOLx軸，C1D1LX軸，C2O2J_龍軸,

C3Z)3-LX軸，C4Z)4±X軸,垂足分別為。、01、。2、03、￡）4

:點81在直線/：y=Lc上，點為的橫坐標為2,

2

；.點B1的縱坐標為1,

即：0D=2,BiD=l,

圖中所有的直角三角形都相似，兩條直角邊的比都是1：2,

B?D]DA?C?D?D[A2

0D-2-B]D-A[D]-C[D]一

...點G的橫坐標為：2+1+（鼻）°,

22

點C2的橫坐標為：2+1+（』）°+（工）°X^+（工）1=8+（Ji）。義$+（A）1

222422242

點C3的橫坐標為：2+X+（且）°+（上）°xJ-+（Ji）1+（工）嘆工+（Ji）2=$+（色）

2224224222

°x"+（S）1義立++（3）2

4242

點C4的橫坐標為：=$+（色）°x-^+（3）以$+（A）2*3+（3）3

22424242

點Cn的橫坐標為：=5+(W)。義2+("1)取5+(之)2x<+(3)3x5+(W)4x5

22424242424

+3)“7

2

=5+n](JL)°+(A)]x+(Ji)2+(Ji)3+(-1)4....]+(JL)

24222222

胃+6尸

【點評】考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，相似三角形的性質(zhì)、在計算探索的過程中

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出一般性的結(jié)論.

三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）

19.（10分）（2019?本溪）先化簡，再求值（.,其中&滿足

a-4a+42-aa-2a

cr+3a-2=0.

【考點】6D：分式的化簡求值.

【專題】11：計算題；513：分式.

【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后根據(jù)『+3。-2=0,可以求

得所求式子的值.

［解答］解：（-，）—

a-4a+42-a&-2a

-r（a+2）（a-2）,11a（a-2）

—（、a+2］）.a（a-2）

一~2-

=a+3^a（a-2）

~2~

=g（a+3）

~2~

_a2+3a

-----,

2

Vcr+3a-2=0,

.,.a1+3a—2,

.,.原式=2=1.

2

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法.

20.（12分）（2019?本溪）某中學為了提高學生的綜合素質(zhì)，成立了以下社團：A.機器人,

B.圍棋，C.羽毛球，D.電影配音.每人只能加入一個社團.為了解學生參加社團的

情況，從參加社團的學生中隨機抽取了部分學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩

幅不完整的統(tǒng)計圖，其中圖（1）中A所占扇形的圓心角為36°.

BD項目

圖（1）圖（2）

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）這次被調(diào)查的學生共有200人:

（2）請你將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）若該校共有1000學生加入了社團，請你估計這1000名學生中有多少人參加了羽毛

球社團；

（4）在機器人社團活動中，由于甲、乙、丙、丁四人平時的表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這四人

中任選兩名參加機器人大賽.用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學的概率.

【考點】V5：用樣本估計總體；VB：扇形統(tǒng)計圖；VC：條形統(tǒng)計圖；X6：列表法與樹

狀圖法.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】（1）由A類有20人，所占扇形的圓心角為36。，即可求得這次被調(diào)查的學生

數(shù)；

（2）首先求得C項目對應(yīng)人數(shù)，即可補全統(tǒng)計圖；

（3）該校1000學生數(shù)又參加了羽毛球社團的人數(shù)所占的百分比即可得到結(jié)論；

（4）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與恰好選中甲、乙

兩位同學的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）類有20人，所占扇形的圓心角為36°,

，這次被調(diào)查的學生共有：20+工=200（人）；

360

故答案為：200；

（2）C項目對應(yīng)人數(shù)為：200-20-80-40=60（人）；

補充如圖.

(3)1000X-^-=300(人)

200

答：這1000名學生中有300人參加了羽毛球社團;

（4）畫樹狀圖得：

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

..?共有12種等可能的情況，恰好選中甲、乙兩位同學的有2種，

：.p（選中甲、乙）=A=1.

126

【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及扇形與條形統(tǒng)計圖.注意概率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）

21.（12分）（2019?本溪）如圖，在四邊形48cD中，AB//CD,AD1,CD,ZB=45°,延

長到點E,使DE=ZM,連接AE.

（1）求證：AE=BC；

（2）若AB=3,CD=1,求四邊形ABCE的面積.

【考點】KW：等腰直角三角形；L7：平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】555：多邊形與平行四邊形.

【分析】（1）通過證明四邊形ABCE是平行四邊形，可得結(jié)論；

（2）由平行四邊形的性質(zhì)可求?！?4。=2,即可求四邊形ABCE的面積.

【解答】證明：（1）,.,AB//CD,ZB=45°

AZC+ZB=180°

/.ZC=135°

?：DE=DA,ADLCD

.?.Z￡=45°

VZ￡+ZC=180°

：.AE//BC,S.AB//CD

四邊形ABCE是平行四邊形

：.AE=BC

（2）:四邊形ABCE是平行四邊形

：.AB=CE=3

：.AD^DE=AB-CD=2

，四邊形ABCE的面積=3X2=6

【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練運用平行四邊形的判定是本題的關(guān)鍵.

22.（12分）（2019?本溪）小李要外出參加“建國70周年”慶?；顒樱杈W(wǎng)購一個拉桿箱,

圖①，②分別是她上網(wǎng)時看到的某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，并獲得了如下信息:

滑桿。E,箱長BC,拉桿AB的長度都相等，B,尸在AC上，C在。E上，支桿。尸=30aw,

CE：CD=1：3,/DCF=45°,ZCDF=30°,請根據(jù)以上信息，解決下列向題.

（1）求AC的長度（結(jié)果保留根號）；

（2）求拉桿端點A到水平滑桿即的距離（結(jié)果保留根號）.

圖1圖2

【考點】KU：勾股定理的應(yīng)用；T8：解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】（1）過尸作于H,解直角三角形即可得到結(jié)論；

（2）過A作4G，即交即的延長線于G,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）過尸作修_LQE于”，

：./FHC=/FHD=90°,

VZFr）C=30°,0P=30,

:.FH=LOF=15,DH=0±DF=15M，

22

VZFCH=45°，

：.CH=FH=15,

.1.CD=CH+DH=15+1573-

?/CE-.CD=1：3,

.-.D￡=ACD=20+20V3-

3

；AB=BC=DE,

：.AC=(40+4(h/3)cm；

(2)過A作AG_LED交即的延長線于G,

VZACG=45°,

：.AG=^-AC=20y/2+20-/^,

2

答：拉桿端點A到水平滑桿ED的距離為（20加+20^）cm.

圖2

【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運算，關(guān)鍵是

用數(shù)學知識解決實際問題.

五、解答題（滿分12分）

23.（12分）（2019?本溪）某工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本16元、工

廠將該產(chǎn)品進行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價y（元）與一次性批發(fā)量無（件）（x為正整數(shù)）之間

滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系.

（1）直接寫出y與x之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量尤的取值范圍；

（2）若一次性批發(fā)量不超過60件，當批發(fā)量為多少件時，工廠獲利最大？最大利潤是

【考點】HE：二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】536：二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】（1）認真觀察圖象，分別寫出該定義域下的函數(shù)關(guān)系式，定義域取值全部是整

數(shù)；

（2）根據(jù)利潤=（售價-成本）X件數(shù)，列出利潤的表達式，求出最值.

【解答】解：（1）當0-0且尤為整數(shù)時，y=40；

當20cx《60且尤為整數(shù)時，y=-L+50；

2

當尤〉60且x為整數(shù)時，y=20；

（2）設(shè)所獲利潤w（元），

當0<xW20且x為整數(shù)時，y=40,

；.卬=（40-16）X20=480%,

當20<xW60且x為整數(shù)時，y=-Lx+50,

2

.,.w=（y-16）x=（-—x+50-16）x,

2

w=--X2+34X,

2

.,.w=-L（X-34）2+578,

2

:-A.<o,

2

.?.當x=34時，w最大，最大值為578元.

答：一次批發(fā)34件時所獲利潤最大，最大利潤是578元.

【點評】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)表達式并熟練運

用性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

六、解答題（滿分12分）

24.(12分)(2019?本溪)如圖，點尸為正方形ABC。的對角線AC上的一點，連接8尸并

延長交于點E,交AD的延長線于點RO。是△。跖的外接圓，連接。尸.

(1)求證：OP是。。的切線；

(2)若tan/PZ)C=L,正方形A8CD的邊長為4,求。。的半徑和線段OP的長.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)；M5：圓周角定理；MA：

三角形的外接圓與外心；ME：切線的判定與性質(zhì)；T7：解直角三角形.

【專題】11：計算題；14：證明題；55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

【分析】(1)連接OD,可證△CDPg/\C8P,可得/C￡)P=NCBP,^ZCBP+ZBEC

=90°,/BEC=NOED=/ODE,可證出NOZ)P=90°,則。尸是O。的切線；

(2)先求出CE長，在Rt/XQEF中可求出EF長，證明由比例線段可

求出EP長，則。尸可求出.

【解答】(1)連接。。，

:正方形A8C。中，CD=BC,CP=CP,NDCP=NBCP=45°,

.?.△CDP^ACBP(SAS),AB

：.ZCDP=ZCBPf

VZBCD=90°,

:?NCBP+NBEC=90°,

9

：OD=OE9

：.ZODE=ZOED,

NOED=NBEC,

：.ZBEC=/OED=/ODE,

：.ZCDP+ZODE=90°,

：.ZODP=90°,

???。尸是OO的切線；

(2)?:/CDP=/CBE,

CT1

???tan/CBE=tan/CDP裝*，

DCZ

???CE='x4二2'

:?DE=2,

9：ZEDF=90°,

???斯是。。的直徑，

：.ZF+ZDEF=90°,

:.NF=NCDP,

在RtZXDEF中，0E=1,

DF2

：.DF=4,

EF=7DE2+DF2=V42+22=

OE=Vs，

'：ZF=ZPDE,ZDPE=ZFPD,

:.△DPEs^FPD,

.PEPDDE

??--=----=----,

PDPFDF

設(shè)PE=x,則PZ)=2x,

?',x(x+2V5)=(2x)2,

解得尤

OP=OE+Ei

【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判

定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的運用；熟練掌握切線的判定與性

質(zhì)并結(jié)合銳角三角函數(shù)進行計算是解決問題的關(guān)鍵.

七、解答題(滿分12分)

25.(12分)(2019?本溪)在Rt^ABC中，ZBCA=90°,ZA<ZABC,。是AC邊上一

點，且。是的中點，CE是△BCD的中線.

(1)如圖a,連接。C,請直接寫出NOCE和/OAC的數(shù)量關(guān)系：；

(2)點M是射線EC上的一個動點，將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得射線ON,使/

MON=NADB,ON與射線CA交于點N.

①如圖b,猜想并證明線段。加和線段ON之間的數(shù)量關(guān)系；

②若NBAC=30°,BC=m,當/AON=15°時，請直接寫出線段ME的長度(用含優(yōu)

的代數(shù)式表示).

W/

圖a〃圖匕/備用圖

【考點】RB：幾何變換綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】(1)結(jié)論：ZECO=ZOAC.理由直角三角形斜邊中線定理，三角形的中位線

定理解決問題即可.

(2)①只要證明△COMg△AON(ASA),即可解決問題.

②分兩種情形：如圖3-1中，當點N在CA的延長線上時，如圖3-2中，當點N在線

段AC上時，作于H.分別求解即可解決問題.

【解答】解：(1)結(jié)論：ZECO=ZOAC.

理由：如圖1中，連接OE.

圖1

VZBCD=90°,BE=ED,BO=OA,

?;CE=ED=EB=LBD,CO=OA=OB,

2

：.ZOCA=ZAf

?；BE=ED,BO=OA,

J.OE//AD,OE=LAD,

2

：.CE=EO.

：./EOC=/OCA=NECO,

：.ZECO=ZOAC.

故答案為：ZOCE=ZOAC.

(2)如圖2中,

VOC=OA,DA=DB,

：.ZA=ZOCA=ZABD,

：.ZCOA=ZADBf

'：ZMON=ZADB,

：.ZAOC=ZMON,

AZCOM=/AON,

9：ZECO=ZOAC,

：.ZMCO=ZNAO,

'：OC=OAf

??.△COM也ZVION(ASA),

：.OM=ON.

②如圖3-1中，當點N在C4的延長線上時,

9：ZCAB=30°=ZOAN+ZANO,ZAON=15°,

ZAON=ZANO=15°,

.\OA=AN=m,

'：AOCM^AOAN,

：.CM=AN=m,

在RtZ\3CZ)中，°：BC=m,NCDB=60°,

,g2V3

??BD=-7-m,

3

■:BE=ED,

：.CE=^BD=^-m,

23

EM=CM+CE=m+^-m.

3

如圖3-2中，當點N在線段AC上時，作OH_LAC于H.

VZAON=15°,ZCAB=30°,

：./0NH=15°+30°=45°,

：.OH=HN=Lm,

2

2

CM=AN=^^-m--m,

22

,:EC=?m,

3___

:.EM=EC--C^-m--m'）——m-

32226

綜上所述，滿足條件的EM的值為m+^-m或工機-國.

326

【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了直角三角形斜邊中線定理，三角形中位線定

理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角

形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

八、解答題（滿分14分）

26.（14分）（2019?本溪）拋物線y=-Zf+必+。與無軸交于A（-1,0）,B（5,0）兩點，

9

頂點為C,對稱軸交X軸于點點尸為拋物線對稱軸。上的一動點（點尸不與C,D

重合）.過點C作直線PB的垂線交尸8于點E,交x軸于點尺

（1）求拋物線的解析式；

（2）當?shù)拿娣e為5時，求點P的坐標；

（3）當△PCF為等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合；32：分類討論；66：運算能力.

【分析】（1）函數(shù)的表達式為：y=2（x+1）（尤-5）,即可求解；

9

（2）確定尸2、CE的表達式，聯(lián)立求得點P（2-迦，0）,SAPCF=LXPCXDF=L（2

322

-m）（2-2m-2）=5,即可求解；

3

（3）分當CP=CF、CP=PF、CP=PF三種情況，分別求解即可.

【解答】解：（1）函數(shù)的表達式為：y=2（尤+1）（x-5）=-2/+雪+」旦；

'9999

（2）拋物線的對稱軸為x=l,則點C（2,2）,

設(shè)點P（2,機），

將點尸、8的坐標代入一次函數(shù)表達式：y=s無+f并解得：

函數(shù)PB的表達式為：y=-1,內(nèi)+顯…①，

33

；CE_LPE,故直線CE表達式中的k值為國，

m

將點C的坐標代入一次函數(shù)表達式，

同理可得直線CE的表達式為：>=3乂+（2工）…②，

min

聯(lián)立①②并解得：x=2-@l,

3

故點尸（2-生，0）,

3

5APCF=—XPCXDF=-L（2-m）（2-細-2）=5,

223

解得：加=5或-3（舍去5）,

故點尸（2,-3）；

（3）由（2）確定的點尸的坐標得：

222

Cp2=（2-m）,c「2=（紅）2+4,PF2=（2?）+m,

33

①當CP=C尸時，即：（2-m）2=（2m）2+4,解得：%=0或迤（0舍去），

35

②當CP=P/時，（2-祖）2=（駕.）2+??,解得：加=之或3,

32

③當C9=p尸時，同理可得：%=±2（舍去2）,

故點尸（2,W）或（2,匹）或（2,-2）或（2,3）.

25

【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、圖形的

面積計算等，其中（3）,要注意分類求解，避免遺漏.

考點卡片

1.科學記數(shù)法一表示較大的數(shù)

（1）科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成。義10"的形式，其中。是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.【科學記數(shù)法形式：0X10",其中l(wèi)Wa<10,

力為正整數(shù).】

（2）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)

位數(shù)少1;按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)”.

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用

此法表示，只是前面多一個負號.

2.實數(shù)

（1）實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù).

（2）實數(shù)的分類：

'正有理數(shù)

有理數(shù)0征實數(shù)

、負有理數(shù)或?qū)崝?shù)：,

實數(shù):

/正無理數(shù)〔負實數(shù)

無理

.負無理數(shù)

3.同底數(shù)塞的乘法

（1）同底數(shù)幕的乘法法則：同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

am-an=am+n（m,〃是正整數(shù)）

（2）推廣：4/5=曖+叱（m,n,p都是正整數(shù)）

在應(yīng)用同底數(shù)幕的乘法法則時，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25,（/.）3與（/廬）

4,（x-y）2與（尤-y）3等；②a可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質(zhì)，只

有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（3）概括整合：同底數(shù)塞的乘法，是學習整式乘除運算的基礎(chǔ)，是學好整式運算的關(guān)鍵.在

運用時要抓住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點，同時注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時可以適當變

形為同底數(shù)幕.

4.塞的乘方與積的乘方

（1）塞的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（/）〃=產(chǎn)"（相，〃是正整數(shù)）

注意：①皋的乘方的底數(shù)指的是暴的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是塞的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)塞的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘.

（ab）"=屋％"（"是正整數(shù)）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)

乘方的意義，計算出最后的結(jié)果.

5.同底數(shù)易的除法

同底數(shù)幕的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減.

am^an=amnQWO,機，〃是正整數(shù)，能＞〃）

①底數(shù)aWO,因為0不能做除數(shù)；

②單獨的一個字母，其指數(shù)是1,而不是0；

③應(yīng)用同底數(shù)幕除法的法則時，底數(shù)“可是單項式，也可以是多項式，但必須明確底數(shù)是

什么，指數(shù)是什么.

6.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注

意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

7.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

（1）二次根式的概念.形如?。ā?0）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù).

（3）二次根式具有非負性.?Q20）是一個非負數(shù).

學習要求：

能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利

用二次根式的非負性解決相關(guān)問題.

【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開

方數(shù)都必須是非負數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零.

8.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=啟-4改)判斷方程的根的情況.

一元二次方程af+bx+cu。(a=0)的根與△=/??-4ac有如下關(guān)系：

①當△>()時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當△<()時，方程無實數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

9.由實際問題抽象出分式方程

由實際問題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系.

(1)在確定相等關(guān)系時，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問題中

的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時間相等、追擊的時間相等.

(2)列分式方程解應(yīng)用題要多思、細想、深思，尋求多種解法思路.

10.解一元一次不等式組

(1)一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組

成的不等式組的解集.

(2)解不等式組：求不