人教版平行四邊形單元達(dá)標(biāo)自檢題檢測

人教版平行四邊形單元達(dá)標(biāo)自檢題檢測一、選擇題1．如圖，在邊長為5的正方形ABCD中，以A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．62．如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD延長線上的一點(diǎn)，且CD＝DE，連結(jié)BE分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連結(jié)OG，則下列結(jié)論：①OG＝AB；②與△EGD全等的三角形共有5個(gè)；③S四邊形ODGF＞S△ABF；④由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形．其中正確的是（）A．①④ B．①③④ C．①②③ D．②③④3．如圖，邊長為的正方形的對角線交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊上（），且的延長線交于點(diǎn)的延長線交于點(diǎn)恰為的中點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)4．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，∠AOD＝120°，E為BD上任意點(diǎn)，P為AE中點(diǎn)，則PO＋PB的最小值為（）A． B． C． D．35．如圖，在菱形中，，分別是AB，BC的中點(diǎn)，將沿著DF折疊得到，若恰好落在EF上，則菱形的面積為（）A． B． C． D．6．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，點(diǎn)M為BC上異于B、C的一定點(diǎn)，點(diǎn)N為AB上的一動(dòng)點(diǎn)，E、F分別為DM、MN的中點(diǎn)，當(dāng)N從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，線段EF掃過圖形的面積為()A．4 B．4.5 C．5 D．67．如圖，點(diǎn)在正方形外，連接，過點(diǎn)作的垂線交于，若，則下列結(jié)論不正確的是()A． B．點(diǎn)到直線的距離為C． D．8．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD外一點(diǎn)，連接AE、BE和DE，過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB＝3．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③點(diǎn)B到直線AE的距離為；④S正方形ABCD＝8+．則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在線段上，、分別是、的中點(diǎn)，連接，、的延長線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②：③；④.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．如圖，中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，BE⊥AB，△ABE沿BE對折得到△BEG，過點(diǎn)D作DF∥EG交BC于點(diǎn)F，△DFC沿DF對折，點(diǎn)C恰好與點(diǎn)G重合，則的值為（??）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，正方形ABCD中，的平分線交DC于點(diǎn)E，若P，Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ能取得最小值4時(shí)，此正方形的邊長為______________．12．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB＝OB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OD的中點(diǎn)，連接EF，EM⊥BC于點(diǎn)M，EM交BD于點(diǎn)N，若∠CEF＝45°，F(xiàn)N＝5，則線段BC的長為_____．13．如圖,長方形紙片ABCD中,AB＝6cm,BC＝8cm點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE并將△AEB沿AE折疊,得到△AEB′，以C，E，B′為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),BE的長為___________cm.14．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，作EF⊥AE，且EF＝AE．連接DF，AF．當(dāng)DF⊥EF時(shí)，△ADF的面積為_____．15．在中，，的平分線交CD于點(diǎn)E，∠ABC的平分線交CD于點(diǎn)F，若線段EF=2，則AB的長為__________．16．如圖，在菱形ABCD中，AC交BD于P，E為BC上一點(diǎn)，AE交BD于F，若AB=AE，，則下列結(jié)論：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF．正確的是______（填序號）．17．如圖，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，點(diǎn)M是AC邊上任意一點(diǎn)，連接MB，以MB、MC為鄰邊作平行四邊形MCNB，連接MN，則MN的最小值是______18．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E，若∠CBF=20°，則∠AED等于__度．19．如圖，矩形的面積為，平分，交于，沿將折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)剛好落在矩形兩條對角線的交點(diǎn)處．則的面積為________．20．在菱形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，AB＝4，N是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN的周長最小是2+，則BD的長為___________．三、解答題21．如圖，平行四邊形中，，，，是的中點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，連接CE，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）①當(dāng)?shù)拈L為多少時(shí)，四邊形是矩形；②當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，（直接寫出答案，不需要說明理由）．22．如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，6），將正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交線段AB于點(diǎn)G，ED的延長線交線段OA于點(diǎn)H，連結(jié)CH、CG．（1）求證：CG平分∠DCB；（2）在正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，求線段HG、OH、BG之間的數(shù)量關(guān)系；（3）連結(jié)BD、DA、AE、EB，在旋轉(zhuǎn)的過程中，四邊形AEBD是否能在點(diǎn)G滿足一定的條件下成為矩形？若能，試求出直線DE的解析式；若不能，請說明理由．23．在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點(diǎn)B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)折痕與邊BC或者邊CD（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)F（如圖1和圖2），然后展開鋪平，連接BE，EF．（1）操作發(fā)現(xiàn)：①在矩形ABCD中，任意折疊所得的△BEF是一個(gè)三角形；②當(dāng)折痕經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，BE與AE的數(shù)量關(guān)系為．（2）深入探究：在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2．①當(dāng)△BEF是等邊三角形時(shí)，求出BF的長；②△BEF的面積是否存在最大值，若存在，求出此時(shí)EF的長；若不存在，請說明理由．24．（1）如圖①，在正方形ABCD中，的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求的度數(shù)；（2）如圖②，在中，，點(diǎn)M，N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至位置，連接NH，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，若正方形ABCD的邊長為12，GF=6，BM=，求EG，MN的長．25．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α≤90°），分別交線段BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF．（1）如圖1，在旋轉(zhuǎn)的過程中，求證：OE＝OF；（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至90°時(shí)，判斷四邊形ABEF的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋轉(zhuǎn)角度α的大?。?6．（解決問題）如圖1，在中，，于點(diǎn)．點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)．（1）若，，則的面積是______，______．（2）猜想線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）（變式探究）如圖2，在中，若，點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，且，，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，求的值．（4）（拓展延伸）如圖3，將長方形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)為折痕上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)．若，，直接寫出的值．27．已知：如下圖，和中，，為的中點(diǎn)，連接.若，在上取一點(diǎn)，使得，連接交于.（1）求證：.（2）若，求的長.28．如圖，四邊形為正方形.在邊上取一點(diǎn)，連接，使.（1）利用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：分別以點(diǎn)、為圓心，長為半徑作弧交正方形內(nèi)部于點(diǎn)，連接并延長交邊于點(diǎn)，則；（2）在前面的條件下，取中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交邊、于點(diǎn)、.①當(dāng)時(shí)，求證：；②當(dāng)時(shí)，延長，交于點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.29．已知三角形紙片ABC的面積為48，BC的長為8．按下列步驟將三角形紙片ABC進(jìn)行裁剪和拼圖：第一步：如圖1，沿三角形ABC的中位線DE將紙片剪成兩部分．在線段DE上任意取一點(diǎn)F，在線段BC上任意取一點(diǎn)H，沿FH將四邊形紙片DBCE剪成兩部分；第二步：如圖2，將FH左側(cè)紙片繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°，使線段DB與DA重合；將FH右側(cè)紙片繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，使線段EC與EA重合，再與三角形紙片ADE拼成一個(gè)與三角形紙片ABC面積相等的四邊形紙片．圖1圖2（1）當(dāng)點(diǎn)F，H在如圖2所示的位置時(shí)，請按照第二步的要求，在圖2中補(bǔ)全拼接成的四邊形；（2）在按以上步驟拼成的所有四邊形紙片中，其周長的最小值為_________．30．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在上，且有．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，若，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，①請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：_________；②當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，求證：；③在②的條件下，請直接寫出的值．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要?jiǎng)h除一、選擇題1．C解析：C【分析】分別以3為底和以3為腰構(gòu)造等腰三角形即可.注意等腰三角形的大小不同.【詳解】①以A為圓心，以3為半徑作弧，交AD、AB兩點(diǎn)，連接即可,此時(shí)三角形為腰為3的等腰三角形；②連接AC，在AC上，以A為端點(diǎn)，截取1.5個(gè)單位，過這個(gè)點(diǎn)作AC的垂線，交AD、AB兩點(diǎn)，連接即可理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°，∵EF⊥AC∴△AEH與△AHF為等腰直角三角形∴EF=EH+FH=AH+AH=3.且AE=AF=故△AEF為底為3的等腰三角形；③以A為端點(diǎn)在AB上截取3個(gè)單位，以截取的點(diǎn)為圓心，以3個(gè)單位為半徑畫弧，交BC一個(gè)點(diǎn)，連接即可，此時(shí)三角形為腰為3的等腰三角形；④連接AC，在AC上，以C為端點(diǎn)，截取1.5個(gè)單位，過這個(gè)點(diǎn)作AC的垂線，交BC、DC兩點(diǎn)，然后連接A與這兩個(gè)點(diǎn)即可；理由如下：與②同理可證EF=3，且EC=FC，在△DEC和△DFC中，∵AC=AC,∠ACE=∠ACF，EC=FC∴△DEC≌△DFC∴AE=AF,故△AEF為底為3的等腰三角形.⑤以A為端點(diǎn)在AB上截取3個(gè)單位，再作著個(gè)線段的垂直平分線交CD一點(diǎn)，連接即可根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等，三角形為底為3的等腰三角形．故滿足條件的所有圖形如圖所示：故選C.【點(diǎn)睛】本題考查作圖——應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖,等腰三角形的性質(zhì)與判定,勾股定理,正方形的性質(zhì).明確等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.2．A解析：A【分析】由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，證出OG是△ACD的中位線，得出OG=CD=AB，①正確；先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出△ABD、△BCD是等邊三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四邊形ABDE是菱形，④正確；由菱形的性質(zhì)得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS證明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正確；證出OG是△ABD的中位線，得出OG∥AB，OG=AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性質(zhì)和面積關(guān)系得出S四邊形ODGF=S△ABF；③不正確；即可得出結(jié)果．【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位線，∴OG＝CD＝AB，∴①正確；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等邊三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四邊形ABDE是菱形，④正確；∴AD⊥BE，由菱形的性質(zhì)得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，∴②不正確；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位線，∴OG∥AB，OG＝AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面積＝△ABD的面積，△ABF的面積＝△OGF的面積的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面積＝△OGF的面積的2倍，又∵△GOD的面積＝△AOG的面積＝△BOG的面積，∴S四邊形ODGF＝S△ABF；③不正確；正確的是①④．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)，能通過性質(zhì)推理出圖中線段、角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.3．C解析：C【分析】①直接利用角邊角判定定理判斷即可；②證明即可；③在中求解即可判斷此答案錯(cuò)誤．【詳解】解：①∵四邊形是正方形，是對角線，∴，，，∵，∴，即：，在和中，∵，∴，故①正確；②∵，∴，即：，在和中，∵，∴，∴，故②正確；③過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴在等腰中，,在和中∵，∴，由②中知：，∴，∴，∴，∴在中，由勾股定理得：，故③錯(cuò)誤；綜上所述：只有兩個(gè)正確，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的四條邊都相等，正方形的每條對角線平分每組對角．4．C解析：C【分析】設(shè)M、N分別為AB、AD的中點(diǎn)，則MN為△ABD的中位線，點(diǎn)P在MN上，作點(diǎn)O關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，連接，則即為PO＋PB的最小值，易證△ABO為等邊三角形，過點(diǎn)A作AH⊥BO于H，求出，然后利用勾股定理求出BO即可．【詳解】解：如圖，設(shè)M、N分別為AB、AD的中點(diǎn)，則MN為△ABD的中位線，∵P為AE中點(diǎn)，∴點(diǎn)P在MN上，作點(diǎn)O關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，連接，∴，∴PO＋PB=，∵四邊形ABCD是矩形，∠AOD=120°，∴OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB為等邊三角形，∴AB=BO=4，過點(diǎn)A作AH⊥BO于H，∴，∵M(jìn)N∥BD，點(diǎn)H關(guān)于MN的對稱點(diǎn)為A，點(diǎn)O關(guān)于MN的對稱點(diǎn)為，∴，且，∴，即PO＋PB的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對稱求最短路徑，矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，通過作輔助線，得出為PO＋PB的最小值是解題關(guān)鍵．5．B解析：B【分析】連接AC、BD，設(shè)交于點(diǎn)O，延長DA、FE，設(shè)交于點(diǎn)G，如圖所示，先根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠G=∠BFE，∠GAB=∠ABF，進(jìn)而可根據(jù)AAS證明△AEG≌△BEF，可得GE=EF，AG=BF，由此可求出DG的長，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠ADF=∠DFE，于是可得GF=GD，則GF可得，再根據(jù)三角形的中位線定理和等量代換可得AC的長，進(jìn)而可得AO的長，然后根據(jù)勾股定理可求出DO的長，即得BD的長，再根據(jù)菱形的面積求解即可．【詳解】解：連接AC、BD，設(shè)交于點(diǎn)O，延長DA、FE，設(shè)交于點(diǎn)G，如圖所示，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∴∠G=∠BFE，∠GAB=∠ABF，∵分別是AB，BC的中點(diǎn)，菱形的邊長為2，∴AE=BE，BF=CF=1，，∴△AEG≌△BEF（AAS），∴GE=EF，AG=BF=1，∵AD=2，∴DG=3，∵將沿著DF折疊得到，若恰好落在EF上，∴∠CFD=∠DFE，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC，∴∠ADF=∠DFE，∴GF=GD=3，∵，，∴AC=FG=3，∴AO=，在Rt△AOD中，由勾股定理得：，∴BD=，∴菱形的面積=．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的面積、三角形的中位線定理以及勾股定理等知識，屬于?？碱}型，具有一定的難度，正確作出輔助線、熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．6．A解析：A【分析】取MB的中點(diǎn)P，連接FP，EP，DN，由中位線的性質(zhì)，可得當(dāng)N從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)F在FP所在的直線上運(yùn)動(dòng)，即：線段EF掃過圖形為?EFP，求出當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時(shí)，F(xiàn)P的值，以及FP上的高，進(jìn)而即可求解．【詳解】取MB的中點(diǎn)P，連接FP，EP，DN，∵FP是?MNB的中位線，EF是?DMN的中位線，∴FP∥BN，F(xiàn)P=，EF∥DN，EF=，∴當(dāng)N從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)F在FP所在的直線上運(yùn)動(dòng)，即：線段EF掃過圖形為?EFP．∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時(shí)，F(xiàn)P===4，過點(diǎn)D作DQ⊥AB于點(diǎn)Q，∵AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，∴AQ=8-5=3，∴DQ=，∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)Q重合時(shí)，EF=，EF∥DQ，即：EF⊥AB，即：EF⊥FP，∴?EFP中，F(xiàn)P上的高=2，∴當(dāng)N從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，線段EF掃過圖形的面積=×4×2=4．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查中位線的性質(zhì)定理，勾股定理以及三角形的面積公式，添加合適的輔助線，構(gòu)造三角形以及三角形的中位線，是解題的關(guān)鍵．7．B解析：B【分析】A、首先利用已知條件根據(jù)邊角邊可以證明△APD≌△AEB；B、利用全等三角形的性質(zhì)和對頂角相等即可解答；C、由（1）可得∠BEF＝90°，故BE不垂直于AE過點(diǎn)B作BP⊥AE延長線于P，由①得∠AEB＝135°所以∠PEB＝45°，所以△EPB是等腰Rt△，于是得到結(jié)論；D、根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式解答即可．【詳解】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∵AF⊥AE，∴∠BAE＋∠BAF＝90°，又∵∠DAF＋∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，在△AFD和△AEB中，∴△AFD≌△AEB（SAS），故A正確；∵AE＝AF，AF⊥AE，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠AEB＝∠AFD＝180°?45°＝135°，∴∠BEF＝135°?45°＝90°，∴EB⊥ED，故C正確；∵AE＝AF＝，∴FE＝AE＝2，在Rt△FBE中，BE＝，∴S△APD＋S△APB＝S△APE＋S△BPE，＝，故D正確；過點(diǎn)B作BP⊥AE交AE的延長線于P，∵∠BEP＝180°?135°＝45°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴BP＝，即點(diǎn)B到直線AE的距離為，故B錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟記性質(zhì)并仔細(xì)分析圖形，理清圖中三角形與角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．C解析：C【分析】①易知AE＝AP，AB＝AD，所以只需證明∠EAB＝∠PAD即可用SAS說明△APD≌△AEB；②易知∠AEB＝∠APD＝135°，則∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，所以EB⊥ED；③在Rt△BEP中利用勾股定理求出BE值為，根據(jù)垂線段最短可知B到直線AE的距離小于；則③錯(cuò)誤；④要求正方形的面積，則需知道正方形一條邊的平方值即可，所以在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝1，BE＝，過點(diǎn)A作AH⊥BE交BE延長線于H點(diǎn)，在Rt△AHB中利用勾股定理AB2＝BH2+AH2即可．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°．∴∠DAP+∠BAP＝90°．又∠EAP+∠BAP＝90°，∴∠EAP＝∠DAP．又AE＝AP，∴△APD≌△AEB（SAS）．所以①正確；∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠APE＝∠AEP＝45°，∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．∵△APD≌△AEB，∴∠AEB＝∠APD＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，即EB⊥ED，②正確；在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝，在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝．∵B點(diǎn)到直線AE的距離小于BE，所以點(diǎn)B到直線AE的距離為是錯(cuò)誤的，所以③錯(cuò)誤；在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝1，BE＝，如圖所示，過點(diǎn)A作AH⊥BE交BE延長線于H點(diǎn)．在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝AE＝．所以BH＝．在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，即AB2＝（）2+（）2＝8+，所以S正方形ABCD＝8+．所以④正確．所以只有①和②、④的結(jié)論正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解決復(fù)雜幾何圖形時(shí)要會(huì)分離圖形，分離出對解決問題有價(jià)值的圖形單獨(dú)解決．9．C解析：C【分析】由點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，結(jié)合ABCD的性質(zhì)，得FD=CD，即可判斷①；先證?AEF??DHF，再證?ECH是直角三角形，即可判斷②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，結(jié)合三角形的面積公式，即可判斷③；設(shè)∠AEF=x，則∠H=x，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，進(jìn)而得到，即可判斷④．【詳解】∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴2FD=AD，∵在ABCD中，AD=2AB，∴FD=AB=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∴∠DCF=∠BCF，即：，∴①正確；∵AB∥CD，∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，又∵AF=DF，∴?AEF??DHF（AAS），∴EF=HF，∵，∴CE⊥CD，即：?ECH是直角三角形，∴=EH，∴②正確；∵EF=HF，∴∵，CE⊥CD，垂足在線段上，∴,∴,∴，∴③錯(cuò)誤；設(shè)∠AEF=x，則∠H=x，∵在Rt?ECH中，CF=FH=EF，∴∠FCH=∠H=x，∵FD=CD，∴∠DFC=∠FCH=x，∵點(diǎn)F，G分別是EH，EC的中點(diǎn)，∴FG∥CD∥AB，∴∠AEF=∠EFG=x，∵EF=CF，∴∠EFG=∠CFG=x，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，∴．∴④正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形和直角三角形的性質(zhì)定理的綜合，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．10．B解析：B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)，利用SAS證明，進(jìn)而得到，設(shè)AB=x，則AG=2x，CD=x，AD=，即可求解．【詳解】解：在中∵DF∥EG∴∠DEG=∠DFB∵△ABE沿BE對折得到△BEG∴∠DEG=2∠A∵∠DFB=∠C+∠CDF∠A=∠C∴∠CDF=∠A∵△DFC沿DF對折∴∠BGE=∠DGEBG=DGEG=EG∴∵BE⊥AB∴設(shè)AB=x，則AG=2x，CD=x，AD=∴故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判斷和性質(zhì)、勾股定理，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)證明是解題關(guān)鍵．二、填空題11．【分析】作P點(diǎn)關(guān)于線段AE的對稱點(diǎn)，根據(jù)軸對稱將轉(zhuǎn)換成，然后當(dāng)?shù)臅r(shí)候是最小的，得到長，最后求出正方形邊長DC．【詳解】∵AE是的角平分線，∴P點(diǎn)關(guān)于線段AE的對稱點(diǎn)一定在線段AC上，記為由軸對稱可以得到，∴，如圖，當(dāng)?shù)臅r(shí)候是最小的，也就是取最小值4，∴，由正方形的性質(zhì)是AC的中點(diǎn)，且，在中，．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱的最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是能夠分析出取最小值的狀態(tài)，并將它轉(zhuǎn)換成去求解．12．4【分析】設(shè)EF＝x，根據(jù)三角形的中位線定理表示AD＝2x，AD∥EF，可得∠CAD＝∠CEF＝45°，證明△EMC是等腰直角三角形，則∠CEM＝45°，證明△ENF≌△MNB，則EN＝MN＝，BN＝FN＝5，最后利用勾股定理計(jì)算x的值，可得BC的長．【詳解】解：設(shè)EF＝x，∵點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OD的中點(diǎn)，∴EF是△OAD的中位線，∴AD＝2x，AD∥EF，∴∠CAD＝∠CEF＝45°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC＝90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°，連接BE，∵AB＝OB，AE＝OE∴BE⊥AO∴∠BEM＝45°，∴BM＝EM＝MC＝x，∴BM＝FE，易得△ENF≌△MNB，∴EN＝MN＝，BN＝FN＝5，Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2，即解得，x＝，∴BC＝2x＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；解決問題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)，利用方程思想解決問題．13．3或6【詳解】①∠B′EC=90°時(shí)，如圖1，∠BEB′=90°，由翻折的性質(zhì)得∠AEB=∠AEB′=×90°=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE=AB=6cm；②∠EB′C=90°時(shí)，如圖2，由翻折的性質(zhì)∠AB′E=∠B=90°，∴A、B′、C在同一直線上，AB′=AB，BE=B′E，由勾股定理得，AC==10cm，∴B′C=10-6=4cm，設(shè)BE=B′E=x，則EC=8-x，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3，即BE=3cm，綜上所述，BE的長為3或6cm．故答案為3或6．14．3﹣【分析】作輔助線，構(gòu)建全等三角形和矩形，利用面積法可得AE的長，根據(jù)勾股定理可得BE的長，設(shè)AE＝x，證明△ABE≌△EQF（AAS），得FQ＝BE＝，最后根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過D作DH⊥AE于H，過E作EM⊥AD于M，連接DE，∵EF⊥AE，DF⊥EF，∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°，∴四邊形DHEF是矩形，∴DH＝EF＝AE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∵∠AME＝90°，∴四邊形ABEM是矩形，∴EM＝AB＝2，設(shè)AE＝x，則S△ADE＝，∴3×2＝x2，∴x＝±，∵x＞0，∴x＝，即AE＝，由勾股定理得：BE＝＝，過F作PQ∥CD，交AD的延長線于P，交BC的延長線于Q，∴∠Q＝∠ECD＝∠B＝90°，∠P＝∠ADC＝90°，∵∠BAE＋∠AEB＝∠AEF＝∠AEB＋∠FEQ＝90°，∴∠FEQ＝∠BAE，∵AE＝EF，∠B＝∠Q＝90°，∴△ABE≌△EQF（AAS），∴FQ＝BE＝，∴PF＝2﹣，∴S△ADF＝＝＝3﹣．【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，有難度，正確作輔助線構(gòu)建全等三角形是關(guān)鍵，并用方程的思想解決問題．15．8或12【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.【詳解】在中，AB∥CD，BC=AD=5，∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，∵的平分線交CD于點(diǎn)E，∴∠BAE=∠DAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD=5，同理：CF=BC=5，∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，故答案為：8或12.【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的等角對等邊的判定，解題中注意分類思想的運(yùn)用，避免漏解.16．②③【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AC⊥BD，所以在Rt△AFP中，AF一定大于AP，從而判斷①；設(shè)∠BAE=x，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出∠ABE，再根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)求出∠ABE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程，求出x的值，求出∠BFE和∠BE的度數(shù)，從而判斷②③．【詳解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴在Rt△AFP中，AF一定大于AP，故①錯(cuò)誤；∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，設(shè)∠BAE=x°，則∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，∵AB=AE，∠BAE=x°，∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，由三角形內(nèi)角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，解得：x=36，即∠BAE=36°，∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAD=∠CBD=∠ABE=36°，∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，∴BE=BF=AF．故③正確∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°∴∠AFD=∠EAD∴AD=FD又∵AD=AB=AE∴AE=FD，故②正確∴正確的有②③故答案為：②③【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并列出關(guān)于∠BAE的方程是解題的關(guān)鍵，注意：菱形的對邊平行，菱形的對角線平分一組對角．17．【分析】設(shè)MN與BC交于點(diǎn)O，連接AO，過點(diǎn)O作OH⊥AC于H點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求AO和OH長，若MN最小，則MO最小即可，而O點(diǎn)到AC的最短距離為OH長，所以MN最小值是2OH．【詳解】解：設(shè)MN與BC交于點(diǎn)O，連接AO，過點(diǎn)O作OH⊥AC于H點(diǎn)，∵四邊形MCNB是平行四邊形，∴O為BC中點(diǎn)，MN＝2MO．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AO⊥BC．在Rt△AOC中，利用勾股定理可得AO＝＝12．利用面積法：AO×CO＝AC×OH，即12×5＝13×OH，解得OH＝．當(dāng)MO最小時(shí)，則MN就最小，O點(diǎn)到AC的最短距離為OH長，所以當(dāng)M點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，MO最小值為OH長是．所以此時(shí)MN最小值為2OH＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分析出點(diǎn)到某線段的垂線段最短，由此進(jìn)行轉(zhuǎn)化線段，動(dòng)中找靜．18．65【分析】先由正方形的性質(zhì)得到∠ABF的角度，從而得到∠AEB的大小，再證△AEB≌△AED，得到∠AED的大小【詳解】∵四邊形ABCD是正方形∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD∵∠FBC=20°，∴ABF=70°∴在△ABE中，∠AEB=65°在△ABE與△ADE中∴△ABE≌△ADE∴∠AED=∠AEB=65°故答案為：65°【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的證明，解題關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)，推導(dǎo)出∠AEB的大小.19．【分析】先證明△AEB≌△FEB≌△DEF，從而可知S△ABE=S△DAB，即可求得△ABE的面積．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知：△AEB≌△FEB∴∠EFB=∠EAB=90°∵ABCD為矩形∴DF=FB∴EF垂直平分DB∴ED=EB在△DEF和△BEF中DF=BFEF=EFED=EB∴△DEF≌△BEF∴△AEB≌△FEB≌△DEF∴．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，證得△AEB≌△FEB≌△DEF是解題的關(guān)鍵．20．4【分析】根據(jù)題意，當(dāng)B、N、M三點(diǎn)在同一條直線時(shí)，△DMN的周長最小為：BM+DM=2+，由DM=，則BM=，利用勾股定理的逆定理，得到∠AMB=90°，則得到△ABD為等邊三角形，即可得到BD的長度.【詳解】解：如圖：連接BD，BM，則AC垂直平分BD，則BN=DN，當(dāng)B、N、M三點(diǎn)在同一條直線時(shí)，△DMN的周長最小為：BM+DM=2+，∵AD=AB=4，M是AD的中點(diǎn)，∴AM=DM=，∴BM=，∵，∴△ABM是直角三角形，即∠AMB=90°；∵BM是△ABD的中線，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=AD=4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，以及三線合一定理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確得到△ABD是等邊三角形.三、解答題21．（1）證明見解析；（2）①當(dāng)AE=3.5時(shí)，平行四邊形CEDF是矩形；②2【分析】（1）證明△FCG

≌△EDG（ASA），得到FG=EG即可得到結(jié)論；（2）①當(dāng)AE=3.5時(shí)，平行四邊形CEDF是矩形.過A作AM⊥BC于M，求出BM=1.5，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM，證明△MBA≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四邊形CEDF是矩形；②根據(jù)四邊形CEDFCEDF是菱形，得到CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.【詳解】（1）證明：∵

四邊形ABCD是平行四邊形，∴

CF∥ED，∴

∠FCG＝∠EDG，∵

G是CD的中點(diǎn)，∴

CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴

△FCG

≌△EDG（ASA），∴

FG＝EG，∵

CG＝DG，∴

四邊形CEDF是平行四邊形；（2）解：①當(dāng)AE=3.5時(shí)，平行四邊形CEDF是矩形，理由是：過A作AM⊥BC于M，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵AB=3，∴BM=1.5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC(SAS)，∴∠CED=∠AMB=90°，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴四邊形CEDF是矩形；②∵四邊形CEDFCEDF是菱形，∴CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，∵∠CDE=∠B=60°∠B=60°，∴∠DEG=30°，∴DE=2DG=3，∴AE=AD-DE=5-3=2，故答案為：2.【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定定理，菱形的性質(zhì)定理，直角三角形30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，三角形全等的判定及性質(zhì)定理，熟練掌握各定理并運(yùn)用解答問題是解題的關(guān)鍵.22．（1）見解析；（2）HG＝OH+BG；（3）能成矩形，y．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)可得出CD＝CB，∠CDG＝∠CBG＝90，根據(jù)全等直角三角形的判定定理（HL）即可證出Rt△CDG≌Rt△CBG，即∠DCG＝∠BCG，由此即可得出CG平分∠DCB；（2）由（1）的Rt△CDG≌Rt△CBG可得出BG＝DG，根據(jù)全等直角三角形的判定定理（HL）即可證出Rt△CHO≌Rt△CHD，即OH＝HD，再根據(jù)線段間的關(guān)系即可得出HG＝HD+DG＝OH+BG；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論即可找出當(dāng)G點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEBD為矩形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)以及點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)，設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），由此可得出HO＝x，根據(jù)勾股定理即可求出x的值，即可得出點(diǎn)H的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)H、G的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線DE的解析式．【詳解】（1）∵正方形ABCO繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到正方形CDEF，∴CD＝CB，∠CDG＝∠CBG＝90°．在Rt△CDG和Rt△CBG中，∵，∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），∴∠DCG＝∠BCG，即CG平分∠DCB．（2）由（1）證得：Rt△CDG≌Rt△CBG，∴BG＝DG．在Rt△CHO和Rt△CHD中，∵，∴Rt△CHO≌Rt△CHD（HL），∴OH＝HD，∴HG＝HD+DG＝OH+BG．（3）假設(shè)四邊形AEBD可為矩形．當(dāng)G點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEBD為矩形，如圖所示．∵G點(diǎn)為AB中點(diǎn)，∴BG＝GAAB，由（2）證得：BG＝DG，則BG＝GA＝DGABDE＝GE，又AB＝DE，∴四邊形AEBD為矩形，∴AG＝EG＝BG＝DG．∵AGAB＝3，∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，3）．設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），則HO＝x，∴HD＝x，DG＝3．在Rt△HGA中，HG＝x+3，GA＝3，HA＝6﹣x，由勾股定理得：（x+3）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．設(shè)直線DE的解析式為：y＝kx+b（k≠0），將點(diǎn)H（2，0）、G（6，3）代入y＝kx+b中，得：，解得：，∴直線DE的解析式為：y．故四邊形AEBD能為矩形，此時(shí)直線DE的解析式為：y．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及勾股定理．解題的關(guān)鍵是：（1）證出Rt△CDG≌Rt△CBG；（2）找出BG＝DG、OH＝HD；（3）求出點(diǎn)H、G的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出相等的邊和角是關(guān)鍵．23．（1）①等腰；②；（2）①2；②存在，或【分析】（1）①由折疊的性質(zhì)得EF＝BF，即可得出結(jié)論；②當(dāng)折痕經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，由折疊的性質(zhì)得AF垂直平分BE，由線段垂直平分線的性質(zhì)得AE＝BE，證出ABE是等腰直角三角形，即可得出BE＝AE；（2）①由等邊三角形的性質(zhì)得BF＝BE，∠EBF＝60°，則∠ABE＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得BE＝2AE，AB＝AE＝，則AE＝1，BE＝2，得BF＝2即可；②當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，得S△BEF≤S矩形ABCD，即當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)S△BEF最大，由折疊的性質(zhì)得CE＝CB＝2，即EF＝2；當(dāng)點(diǎn)F在邊CD上時(shí)，過點(diǎn)F作FH∥BC交AB于點(diǎn)H，交BE于點(diǎn)K，則S△EKF＝KF?AH≤HF?AH＝S矩形AHFD，S△BKF＝KF?BH≤HF?BH＝S矩形BCFH，得S△BEF≤S矩形ABCD＝3，即當(dāng)點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)時(shí)，BEF的面積最大，此時(shí)，DF＝CD＝，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，由勾股定理求出EF即可．【詳解】解：（1）①由折疊的性質(zhì)得：EF＝BF，∴BEF是等腰三角形；故答案為：等腰；②當(dāng)折痕經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，由折疊的性質(zhì)得：AF垂直平分BE，∴AE＝BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠A＝90°，∴ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AE；故答案為：BE＝AE；（2）①當(dāng)BEF是等邊三角形時(shí)，BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，∵∠A＝90°，∴BE＝2AE，AB＝AE＝，∴AE＝1，BE＝2，∴BF＝2；②存在，理由如下：∵矩形ABCD中，CD＝AB＝，BC＝2，∴矩形ABCD的面積＝AB×BC＝×2＝6，第一種情況：當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，如圖1所示：此時(shí)可得：S△BEF≤S矩形ABCD，即當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)S△BEF最大，此時(shí)S△BEF＝3，由折疊的性質(zhì)得：CE＝CB＝2，即EF＝2；第二種情況：當(dāng)點(diǎn)F在邊CD上時(shí)，過點(diǎn)F作FH∥BC交AB于點(diǎn)H，交BE于點(diǎn)K，如圖2所示：∵S△EKF＝KF?AH≤HF?AH＝S矩形AHFD，S△BKF＝KF?BH≤HF?BH＝S矩形BCFH，∴S△BEF＝S△EKF+S△BKF≤S矩形ABCD＝3，即當(dāng)點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)時(shí)，BEF的面積最大，此時(shí)，DF＝CD＝，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，BEF的面積為3，∴EF＝＝；綜上所述，BEF的面積存在最大值，此時(shí)EF的長為2或．【點(diǎn)睛】此題考查的是矩形與折疊問題，此題難度較大，掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理是解決此題的關(guān)鍵．24．（1）見解析；（2）MN2=ND2+DH2，理由見解析；（3）EG=4，MN=【分析】（1）根據(jù)高AG與正方形的邊長相等，證明三角形全等，進(jìn)而證明角相等，從而求出解．（2）用三角形全等和正方形的對角線平分每一組對角的知識可證明結(jié)論．（3）設(shè)EG=BE=x，根據(jù)正方形的邊長得出CE，CF，EF，在Rt△CEF中利用勾股定理得到方程，求出EG的長，設(shè)MN=a，根據(jù)MN2=ND2+BM2解出a值即可．【詳解】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．∴∠BAE=∠GAE．同理，∠GAF=∠DAF．∴∠EAF＝∠BAD＝45°；（2）MN2=ND2+DH2．∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN，又∵AM=AH，AN=AN，∴△AMN≌△AHN（SAS）．∴MN=HN，∵∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°，∴NH2=ND2+DH2，∴MN2=ND2+DH2；（3）∵正方形ABCD的邊長為12，∴AB=AG=12，由（1）知，BE=EG，DF=FG．設(shè)EG=BE=x，則CE=12-x，∵GF=6=DF，∴CF=12-6=6，EF=EG+GF=x+6，在Rt△CEF中，∵CE2+CF2=EF2，∴（12-x）2+62=（x+6）2，解得x=4，即EG=BE=4，在Rt△ABD中，BD==，在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，∴MN2=ND2+BM2．設(shè)MN=a，則a2＝，即a2=，∴a=，即MN＝．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，四邊相等，對角線平分每一組對角，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的知識點(diǎn)等．25．（1）證明見解析；（2）平行四邊形，理由見解析；（3）45°【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，進(jìn)而判斷出△AOF≌△COE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出結(jié)論；（3）先求出AC＝2，進(jìn)而得出A＝1＝AB，即可判斷出△ABO是等腰直角三角形，進(jìn)一步判斷出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三線合一得出∠BOF＝90°，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在?ABCD中，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形，理由：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠AOF＝90°，∴∠BAC＝∠AOF，∴AB∥EF，∵AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形；（3）在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，∴AC＝＝2，∴OA＝1＝AB，∴△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BF＝DF，∴△BFD是等腰三角形，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∴OF⊥BD（等腰三角形底邊上的中線是底邊上的高），∴∠BOF＝90°，∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出△ABO是等腰直角三角形是解本題的關(guān)鍵．26．（1）15，8；（2），見解析；（3）；（4）4【分析】解決問題（1）只需運(yùn)用面積法：，即可解決問題；（2）解法同（1）；（3）連接、、，作于，由等邊三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理得出，得出的面積，由的面積的面積的面積的面積，即可得出答案；（4）過點(diǎn)作，垂足為，易證，過點(diǎn)作，垂足為，由解決問題（1）可得，易證，，只需求出即可．【詳解】解