【數(shù)學(xué)】成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性 課件-2023-2024學(xué)年高二下人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性8.1.1變量的相關(guān)關(guān)系8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)復(fù)習(xí)引入（1）正方體的體積與棱長函數(shù)關(guān)系：（2）汽車勻速行駛時的路程與時間函數(shù)關(guān)系：復(fù)習(xí)引入

（3）俗話說“莊稼一枝花，全靠肥當(dāng)家”，這說明施肥的多少對糧食的產(chǎn)量影響很大，施肥量和糧食的產(chǎn)量是確定的函數(shù)關(guān)系嗎？

那么糧食的產(chǎn)量還受其他因素的影響嗎？兩個變量間的關(guān)系除了可能是函數(shù)關(guān)系外，還可能是其他關(guān)系嗎？為了搞清這些問題，我們需要學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容。復(fù)習(xí)引入

我們知道，一個人的體重與他的身高有關(guān)系.一般而言，個子高的人往往體重值較大，個子矮的人往往體重值較小.但身高并不是決定體重的唯一因素，例如生活中的飲食習(xí)慣、體育鍛煉、睡眠時間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素.像這樣，兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.問題1：上述情境中施肥量與糧食產(chǎn)量之間到底具有怎樣的關(guān)系？提示：上述兩變量間確實存在關(guān)系，但又不具備確定性，即當(dāng)一個變量取值一定時，另一個變量取值帶有隨機性．概念形成1、變量的相關(guān)關(guān)系：

兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.注：①相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系；②相關(guān)關(guān)系是相對于函數(shù)關(guān)系而言的.

新知探索

兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的事例在現(xiàn)實中大量存在.例如：

新知探索

新知探索

②

數(shù)據(jù)判斷：兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系的確定:樣本數(shù)據(jù)分析

建立模型

估計或推斷．①

經(jīng)驗判斷；新知探索問題2：在對人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數(shù)據(jù)，如表所示.表中每個編號下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對同一個體的觀測結(jié)果，它們構(gòu)成了成對數(shù)據(jù).

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎？新知探索

為了更加直觀地描述上述成對數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關(guān)系，類似于用直方圖描述單個變量樣本數(shù)據(jù)的分布特征，我們用圖形展示成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征.用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，則表中每個編號下的成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點表示出來，由這些點組成了如圖所示的統(tǒng)計圖.我們把這樣的統(tǒng)計圖叫做散點圖.概念形成2.散點圖把成對樣本數(shù)據(jù)用直角坐標(biāo)系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖叫做散點圖．觀察圖，可以發(fā)現(xiàn)，這些散點大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值得增加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增加的趨勢.這樣，由成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系.新知探索

如果從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱之兩個變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢，則稱這兩個變量負(fù)相關(guān).

由上圖，能夠推斷脂肪含量與年齡這兩個變量正相關(guān).3.變量相關(guān)關(guān)系的分類(1)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)

正相關(guān):指的是兩個變量有相同的變化趨勢,即從整體上來看一個變量會隨著另一個變量變大而變大,點的位置散布在從左下角到右上角的區(qū)域。負(fù)相關(guān):指的是兩個變量有相反的變化趨勢,即從整體上來看一個變量會隨著另一個變量變大而變小,點的位置散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)(2)兩個變量正相關(guān)和負(fù)相關(guān)散點圖的特點概念形成概念形成(3)線性相關(guān)和非線性相關(guān)①線性相關(guān)散點圖是描述成對數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法.一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點落在一一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān)oxy●●●●●●●●●●②非線性相關(guān)

一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).oxy●●●●●●●●●●概念形成散點雜亂無章，無規(guī)律可言，看不出兩個變量有什么相關(guān)性有相關(guān)性觀察散點圖中成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，可大致推斷兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)、是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)等.散點圖雖然直觀，但無法確切(量化)地反映成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)類型和相關(guān)程度的大小.例析例1.在下列各個量與量的關(guān)系中：①正方體的表面積與棱長之間的關(guān)系；②一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③家庭的收入與支出之間的關(guān)系；④某戶家庭用電量與水費之間的關(guān)系.其中是相關(guān)關(guān)系的為().A.①②

B.③④

C.②④

D.②③答案：D.解析：①正方體的表面積與棱長之間的關(guān)系是確定的函數(shù)關(guān)系；④某戶家庭用電量與水費之間無任何關(guān)系.②③中，都是非確定的關(guān)系，但自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性.例析方法技巧：

利用變量間相關(guān)關(guān)系的概念判斷量與量之間的關(guān)系時，一般是看當(dāng)一個變量的值一定時，另一個變量是否帶有確定性，兩個變量之間的關(guān)系具有確定關(guān)系——函數(shù)關(guān)系；兩個變量之間的關(guān)系具有隨機性、不確定性——相關(guān)關(guān)系.例析例2.某種產(chǎn)品的廣告支出費x與銷售金額y之間有如表對應(yīng)數(shù)據(jù)(單位:百萬元):x24568y3040605070①畫出散點圖;②從散點圖中判斷銷售金額與廣告支出費有什么樣的關(guān)系.解:①以x對應(yīng)的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo),y對應(yīng)的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo),所作的散點圖如圖所示.解:②從圖中可以發(fā)現(xiàn)廣告支出費與銷售金額之間具有相關(guān)關(guān)系,并且當(dāng)廣告支出費由小變大時,銷售金額也大多由小變大,圖中的數(shù)據(jù)大致分布在某條直線的附近,即x與y呈正相關(guān)關(guān)系.例析

2.判斷兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的方法(1)根據(jù)直觀感覺判斷，這時要用到已有的知識或?qū)W習(xí)、生活中的經(jīng)驗等.(2)根據(jù)散點圖判斷，這時要由兩個變量相應(yīng)值的對應(yīng)關(guān)系作出散點圖，通過觀察散點圖中變量的對應(yīng)點是否分布在某條曲線的周圍判定這兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系.形數(shù)思考1：能否引入一個適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”，來度量樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)呢？新知探索新知探究

新知探究平移形數(shù)新知探究思考2：Lxy的大小一定能度量出成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度大小嗎？

是不是Lxy越大，兩個變量的相關(guān)程度越強？Lxy>0表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；Lxy<0表明成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).Lxy的大小與數(shù)據(jù)的度量得有關(guān)，如：在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時，如果體重的單位不變，把身高的單位由米改為厘米，則相應(yīng)的Lxy將變?yōu)樵瓉淼?00倍，即(Lxy)2>(Lxy)1，但單位的改變并不會導(dǎo)致體重與身高之間相關(guān)程度的改變.不宜直接用Lxy度量成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小.為了消除度量單位的影響，需要對數(shù)據(jù)作進一步的“標(biāo)準(zhǔn)化”處理.新知探究形數(shù)Bug：Lxy的大小受數(shù)據(jù)的度量單位的影響，但單位的改變并不會導(dǎo)致兩個變量之間相關(guān)程度的改變.新知探究為了消除度量單位的影響，需要對數(shù)據(jù)作進一步的“標(biāo)準(zhǔn)化”處理.稱r為變量x和變量y的樣本(線性)相關(guān)系數(shù).新知探究①r的正負(fù)：反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化趨勢變量x和變量y的樣本(線性)相關(guān)系數(shù)：思考3：r的大小能否刻畫成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度的強弱？r的取值范圍是什么？強強弱弱新知探究觀察r的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到二維(平面)向量、三維(空間)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，

新知探究①r的正負(fù)：反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化趨勢變量x和變量y的樣本(線性)相關(guān)系數(shù)：②r的范圍：?1≤r≤1新知探究思考4：當(dāng)|r|=1時，成對樣本數(shù)據(jù)之間具有怎樣的關(guān)系呢？即此時兩個變量之間滿足一種線性(函數(shù))關(guān)系，即滿足完全線性相關(guān).故|r|越接近1時，線性相關(guān)程度越強；|r|越接近0時，線性相關(guān)程度越弱；若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2,…,n)都在直線y＝-2x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()新知探究①r的正負(fù)：反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化趨勢4、變量x和變量y的樣本(線性)相關(guān)系數(shù)：②r的范圍：?1≤r≤1③|r|的大?。悍从吵蓪颖緮?shù)據(jù)線性相關(guān)的程度(即散點集中于某條直線的程度)：|r|越接近1：線性相關(guān)程度越強；|r|越接近0：線性相關(guān)程度越弱.r=0時，只表明成對樣本數(shù)據(jù)間無線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們有其他相關(guān)關(guān)系.④樣本容量越大，用樣本相關(guān)系數(shù)估計兩個變量的相關(guān)系數(shù)的效果越好.新知探究r=0.97r=-0.85r=0.24r=-0.05正線性相關(guān)程度很強負(fù)線性相關(guān)程度較強正線性相關(guān)程度很弱負(fù)線性相關(guān)程度極弱①r的正負(fù)：反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征②r的范圍：?1≤r≤1③|r|的大小：反映成對樣本數(shù)據(jù)間線性相關(guān)的程度(即散點集中于一條直線的程度)：當(dāng)|r|越接近1時，線性相關(guān)程度越強；當(dāng)|r|越接近0時，線性相關(guān)程度越弱.新知探究如：要確切了解脂肪含量y與年齡x的線性相關(guān)程度，需要調(diào)查所有人的年齡及其脂肪含量，再將得到的成對數(shù)據(jù)代入r的公式，計算出相關(guān)系數(shù)r.在實際中，獲得總體中所有的成對數(shù)據(jù)往往是不容易的.在有限的總體中，可以利用這兩個變量取值的所有成對數(shù)據(jù)，通過上述公式就可計算出兩個變量的相關(guān)系數(shù)，這個相關(guān)系數(shù)就能確切地反映變量之間相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性及線性相關(guān)程度的強弱.通過抽樣獲取兩個變量的一些成對樣本數(shù)據(jù)，再計算出樣本相關(guān)系數(shù)，通過樣本相關(guān)系數(shù)去估計總體相關(guān)系數(shù)，從而了解兩個變量之間的相關(guān)程度.思想：用樣本估計總體樣本容量越大，用樣本相關(guān)系數(shù)估計兩個變量的相關(guān)系數(shù)的效果越好.新知探索

答案：較高.新知探索

答案：0.3.例析例3、對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,獲得如圖所示的散點圖,關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較,正確的是(

)A.r1<r4<0<r3<r2B.r4<r1<0<r3<r2C.r4<r2<0<r3<r1D.r2<r4<0<r1<r3√例析例4、某廠的生產(chǎn)原料耗費x(單位:百萬元)與銷售額y(單位:百萬元)之間有如表所示的對應(yīng)關(guān)系:x2468y30405070(1)畫出(x,y)的散點圖;(2)計算x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù),并刻畫它們的相關(guān)程度.例析解:(1)畫出(x,y)的散點圖如圖所示.由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.9827,可以推斷生產(chǎn)原料耗費與銷售額這兩個變量正線性相關(guān),且相關(guān)程度很強.課堂小結(jié)1.相關(guān)關(guān)系：兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到