北京三十一中新課標人教版八級上期中數(shù)學試卷含答案解析

2015-2016學年北京三十一中八年級（上）期中數(shù)學試卷一、精心選一選（共10個小題，每小題3分，共30分）1．下列各式中，從左邊到右邊的變形是因式分解的是()A．（x+2y）（x﹣2y）=x2﹣4y2 B．x2y﹣xy2﹣1=xy（x﹣y）﹣1C．a2﹣4ab+4b2=（a﹣2b）2 D．ax+ay+a=a（x+y）2．如圖，已知△ABC的六個元素，則下列甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的圖形是()A．甲 B．乙 C．丙 D．乙與丙3．若函數(shù)y=的函數(shù)值為0，則自變量x的值為()A．2 B．﹣1 C．±1 D．14．如圖，在△ABC和△DEF中，已有條件AB=DE，還需要添加兩個條件才能使△ABC≌△DEF．不能添加的一組條件是()A．∠B=∠E，BC=EF B．∠A=∠D，BC=EF C．∠A=∠D，∠B=∠E D．BC=EF，AC=DF5．AD是△ABC的角平分線，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列結論錯誤的是()A．DE=DF B．AE=AF C．BD=CD D．∠ADE=∠ADF6．下列各式中，正確的是()A．= B．=C．= D．=﹣7．如圖，用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知的∠AOB的兩邊上分別取點M、N，使OM=ON，再分別過點M、N作OA、OB的垂線，交點為P，畫射線OP．可證得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依畫法證明△POM≌△PON根據的是()A．SSS B．SAS C．AAS D．HL8．如果把分式中的x和y都擴大10倍，那么分式的值()A．擴大10倍 B．縮小10倍 C．是原來的 D．不變9．下列說法錯誤的說法有幾個()①全等三角的對應邊相等；②全等三角形的對應角相等；③全等三角形的面積相等；④全等三角形的周長相等；⑤有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等；⑥全等三角形的對應邊上的中線相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．5個10．如圖，銳角△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，記BE，CD交于點F，若∠BAC=x°，則∠BFC的大小是()°．（用含x的式子表示）A．x B．180°﹣2x C．180°﹣x D．2x二.細心填一填（每空2分，共20分）11．因式分解：a2﹣b2=__________．12．當x__________時，式子有意義．13．一種細菌的半徑為0.0004m，用科學記數(shù)法表示為__________m．14．把分式約分得__________．15．（）﹣2﹣（﹣1）0=__________．16．如圖，已知AB⊥BD，AB∥ED，AB=ED，要說明△ABC≌△EDC，若以“SAS”為依據，還要添加的條件為__________；若添加條件AC=EC，則可以用__________公理（或定理）判定全等．17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，那么△EBD的周長為__________．18．在平面直角坐標系中，已知點A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在點E，使△ACE和△ACB全等，寫出所有滿足條件的E點的坐標__________．三、解答題（共1小題，滿分16分）19．（16分）因式分解：（1）x2y﹣4xy+4y．（2）16﹣b4．（3）（x﹣1）（x﹣3）﹣8．（4）a2﹣2a+1﹣b2．四.用心算一算（共3個小題，每小題4分，共12分）20．計算：．21．÷．22．先化簡，再求值：，其中m=9．五.作圖題（本題2分）23．（1）小明同學在學習了全等三角形的相關知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個銳角的平分線．如左圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”小明作圖的依據是__________．（2）尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線方法如下：以O為圓心，任意長為半徑畫弧OA、OB于C、D，再分別以點C、D為圓心，以大于CD長為半徑畫弧，兩弧交于點P，則作射線OP即為所求．由作法得△OCP≌△ODP的根據是__________．六．解答題（共20分，每題5分）24．列方程解應用題：學校要建立兩個計算機教室，為此要購買相同數(shù)量的A型計算機和B型計算機．已知一臺A型計算機的售價比一臺B型計算機的售價便宜400元，如果購買A型計算機需要22.4萬元，購買B型計算機需要24萬元．那么一臺A型計算機的售價和一臺B型計算機的售價分別是多少元？25．已知：如圖，點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AD=CB，∠B=∠D，AD∥BC．求證：AE=CF．26．如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長線上截取CG=AB，連接AD、AG．（1）求證：AD=AG；（2）AD與AG的位置關系如何，請說明理由．27．如圖：在四邊形ABCD中，BC＞DA，AD=DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求證：（1）∠DAB+∠C=180°（2）BH=（AB+BC）28．閱讀材料1：對于兩個正實數(shù)a，b，由于（﹣）2≥0，所以（）2﹣2+（）2≥0，即a﹣2+b≥0，所以得到a，并且當a=b時，a+b=2．閱讀材料2：若x＞0，則==x，因為x＞0，，所以由閱讀材料1可得，x=2，即的最小值是2，只有x=時，即x=1時取得最小值．根據以上閱讀材料，請回答以下問題：（1）比較大?。簒2+1__________2x（其中x≥1）；x__________﹣2（其中x＜﹣1）（2）已知代數(shù)式變形為x，求常數(shù)n的值；（3）當x=__________時，有最小值，最小值為__________．（直接寫出答案）2015-2016學年北京三十一中八年級（上）期中數(shù)學試卷一、精心選一選（共10個小題，每小題3分，共30分）1．下列各式中，從左邊到右邊的變形是因式分解的是()A．（x+2y）（x﹣2y）=x2﹣4y2 B．x2y﹣xy2﹣1=xy（x﹣y）﹣1C．a2﹣4ab+4b2=（a﹣2b）2 D．ax+ay+a=a（x+y）【考點】因式分解的意義．【專題】推理填空題．【分析】根據因式分解的意義：把一個多項式化成幾個整式積的形式，左邊是一個多項式，右邊是整式的積的形式，進行判斷即可．【解答】解：根據因式分解的意義：把一個多項式化成幾個整式積的形式，A、右邊不是積的形式，故本選項錯誤；B、右邊最后不是積的形式，故本選項錯誤；C、右邊是（a﹣2b）（a﹣2b），故本選項正確；D、結果是a（x+y+1），故本選項錯誤．故選C．【點評】本題考查了對因式分解的意義的理解，關鍵是能根據因式分解的意義進行判斷（從等式的左邊到等式的右邊是否是因式分解）．2．如圖，已知△ABC的六個元素，則下列甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的圖形是()A．甲 B．乙 C．丙 D．乙與丙【考點】全等三角形的判定．【分析】首先觀察圖形，然后根據三角形全等的判定方法（AAS與SAS），即可求得答案．【解答】解：如圖：在△ABC和△MNK中，，∴△ABC≌△MNK（AAS）；在△ABC和△HIG中，，∴△ABC≌△HIG（SAS）．∴甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的圖形是：乙或丙．故選D．【點評】此題考查了全等三角形的判定．此題難度不大，解題的關鍵是注意掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意數(shù)形結合思想的應用．3．若函數(shù)y=的函數(shù)值為0，則自變量x的值為()A．2 B．﹣1 C．±1 D．1【考點】函數(shù)值．【分析】直接利用分式的值為0，則分子為0，進而得出答案．【解答】解：∵函數(shù)y=的函數(shù)值為0，∴自變量x的值為：x=2．故選：A．【點評】此題主要考查了函數(shù)值，正確把握函數(shù)值的意義是解題關鍵．4．如圖，在△ABC和△DEF中，已有條件AB=DE，還需要添加兩個條件才能使△ABC≌△DEF．不能添加的一組條件是()A．∠B=∠E，BC=EF B．∠A=∠D，BC=EF C．∠A=∠D，∠B=∠E D．BC=EF，AC=DF【考點】全等三角形的判定．【分析】將所給的選項逐一判斷、分析，即可解決問題．【解答】解：不能添加的一組條件是B；理由如下：在△ABC與△DEF中，∵∠A=∠D，BC=EF，AB=DE，即在兩個三角形中滿足：有兩邊和其中一邊所對的對應角相等，∴這兩個三角形不一定全等，故選B．【點評】該題主要考查了全等三角形的判定定理及其應用問題；牢固掌握全等三角形判定定理的本質內容是解題的關鍵．5．AD是△ABC的角平分線，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列結論錯誤的是()A．DE=DF B．AE=AF C．BD=CD D．∠ADE=∠ADF【考點】角平分線的性質．【分析】作出圖形，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，然后利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AF，∠ADE=∠ADF．【解答】解：如圖，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，只有AB=AC時，BD=CD．綜上所述，結論錯誤的是BD=CD．故選C．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．6．下列各式中，正確的是()A．= B．=C．= D．=﹣【考點】分式的基本性質．【分析】根據分式的基本性質作答：分子分母同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，分式的值不變判斷即可．【解答】解：A、，錯誤；B、，正確；C、，錯誤；D、，錯誤．故選B．【點評】本題考查了分式的基本性質．無論是把分式的分子和分母擴大還是縮小相同的倍數(shù)，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一項，且擴大（縮小）的倍數(shù)不能為0．7．如圖，用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知的∠AOB的兩邊上分別取點M、N，使OM=ON，再分別過點M、N作OA、OB的垂線，交點為P，畫射線OP．可證得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依畫法證明△POM≌△PON根據的是()A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【考點】全等三角形的判定．【分析】結合題意，根據直角三角形全等的判定HL定理，可證△POM≌△PON．【解答】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°∴△OPM≌△OPN所用的判定定理是HL．故選D．【點評】本題考查了判定直角三角形全等的HL定理，是一道操作題，要會轉化為數(shù)學問題來解決．8．如果把分式中的x和y都擴大10倍，那么分式的值()A．擴大10倍 B．縮小10倍 C．是原來的 D．不變【考點】分式的基本性質．【分析】根據分式的性質，可得答案．【解答】解：分式中的x和y都擴大10倍，那么分式的值不變，故選：D．【點評】本題考查了分式的性質，分式的分子分母都乘以或除以同一個不為零的數(shù)或者整式，分式的值不變．9．下列說法錯誤的說法有幾個()①全等三角的對應邊相等；②全等三角形的對應角相等；③全等三角形的面積相等；④全等三角形的周長相等；⑤有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等；⑥全等三角形的對應邊上的中線相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．5個【考點】全等三角形的性質．【分析】根據全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等；全等三角形的對應邊上的高、中線以及對應角的平分線相等；全等三角形的周長相等，面積相等；平移、翻折、旋轉前后的圖形全等進行分析即可．【解答】解：①全等三角的對應邊相等，說法正確；②全等三角形的對應角相等，說法正確；③全等三角形的面積相等，說法正確；④全等三角形的周長相等，說法正確；⑤有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等，說法錯誤；⑥全等三角形的對應邊上的中線相等，說法正確．故選：A．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質，關鍵是掌握能完全重合的兩個個三角形是全等三角形，因此全等三角形的對應邊上的高、中線以及對應角的平分線相等，周長相等，面積相等，對應邊相等，對應角相等．10．如圖，銳角△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，記BE，CD交于點F，若∠BAC=x°，則∠BFC的大小是()°．（用含x的式子表示）A．x B．180°﹣2x C．180°﹣x D．2x【考點】全等三角形的性質．【專題】計算題．【分析】延長C′D交AC于M，如圖，根據全等的性質得∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=x，再利用三角形外角性質得∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2x，接著利用C′D∥B′E得到∠AEB=∠C′MC，而根據三角形內角和得到∠AEB′=180°﹣∠B′﹣x，則∠C′+2x=180°﹣∠B′﹣x，所以∠C′+∠B′=180°﹣3x，利用三角形外角性質和等角代換得到∠BFC=∠C=x+∠C′+∠B′，所以∠BFC=180°﹣2x．【解答】解：延長C′D交AC于M，如圖，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，∴∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=x，∴∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2x，∵C′D∥B′E，∴∠AEB=∠C′MC，∵∠AEB′=180°﹣∠B′﹣∠B′AE=180°﹣∠B′﹣x，∴∠C′+2x=180°﹣∠B′﹣x，∴∠C′+∠B′=180°﹣3x，∵∠BFC=∠BDF+∠DBF=∠DAC+∠B′=x+∠ACD+∠B′=x+∠C′+∠B′=x+180°﹣3x=180°﹣2x．故選B．【點評】本題考查了全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等．也考查了平行線的性質．二.細心填一填（每空2分，共20分）11．因式分解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【考點】因式分解-運用公式法．【專題】因式分解．【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案．【解答】解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案為：（a+b）（a﹣b）．【點評】此題考查了平方差公式的應用．解題的關鍵是熟記公式．12．當x≠3時，式子有意義．【考點】分式有意義的條件．【分析】根據分式有意義的條件可得x﹣3≠0，再解即可．【解答】解：由題意得：x﹣3≠0，解得：x≠3，故答案為：≠3．【點評】此題主要考查了分式有意義的條件，關鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．13．一種細菌的半徑為0.0004m，用科學記數(shù)法表示為4×10﹣4m．【考點】科學記數(shù)法—表示較小的數(shù)．【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【解答】解：0.0004=4×10﹣4，故答案為：4×10﹣4．【點評】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．14．把分式約分得．【考點】約分．【分析】首先把分子分母分解因式，然后再約去分子分母的公因式即可．【解答】解：原式==，故答案為：．【點評】此題主要考查了約分，關鍵是正確確定分子分母的公因式．15．（）﹣2﹣（﹣1）0=8．【考點】負整數(shù)指數(shù)冪；零指數(shù)冪．【分析】根據負整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)，非零的零次冪等于1，可得答案．【解答】解：原式=9﹣1=8，故答案為：8．【點評】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪，利用負整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)，非零的零次冪等于1是解題關鍵．16．如圖，已知AB⊥BD，AB∥ED，AB=ED，要說明△ABC≌△EDC，若以“SAS”為依據，還要添加的條件為BC=DC；若添加條件AC=EC，則可以用HL公理（或定理）判定全等．【考點】全等三角形的判定；直角三角形全等的判定．【分析】根據已知條件知∠B=∠D=90°．若以“SAS”為依據判定△ABC≌△EDC，結合已知條件缺少對應邊BC=DC；若添加條件AC=EC，則可以利用直角三角形全等的判定定理證明△ABC≌△EDC．【解答】解：∵AB⊥BD，AB∥ED，∴ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°；①又∵AB=ED，∴在△ABC和△EDC中，當BC=DC時，△ABC≌△EDC（SAS）；②在Rt△ABC和△Rt△EDC中，，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（HL）；故答案分別是：BC=DC、HL．【點評】本題綜合考查了全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定．三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，那么△EBD的周長為6cm．【考點】角平分線的性質．【分析】首先根據角平分線的性質可得CE=DE，再利用HL定理證明Rt△ADE≌Rt△ACE，進而可得AD長，從而可得DB長，然后再計算出DE+EB長即可得到△EBD的周長．【解答】解：∵AE平分∠BAC，DE⊥AB于D，∠ACB=90°，∴CE=DE，在Rt△ADE和Rt△ACE中，，∴Rt△ADE≌Rt△ACE（HL），∴AC=AD=3cm，∵AB=5cm，∴DB=2cm，∵BC=4cm，∴DE+EB=4cm，∴△EBD的周長為6cm，故答案為：6cm．【點評】此題主要考查了角平分線的性質，以及全等三角形的判定與性質，關鍵是掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．18．在平面直角坐標系中，已知點A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在點E，使△ACE和△ACB全等，寫出所有滿足條件的E點的坐標（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．【考點】全等三角形的性質；坐標與圖形性質．【專題】計算題．【分析】根據題意畫出符合條件的所有情況，根據點A、B、C的坐標和全等三角形性質求出即可．【解答】解：如圖所示：有3個點，當E在E、F、N處時，△ACE和△ACB全等，點E的坐標是：（1，5），（1，﹣1），（5，﹣1），故答案為：（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．【點評】本題考查了全等三角形性質和坐標與圖形性質的應用，關鍵是能根據題意求出符合條件的所有情況，題目比較好，但是一道比較容易出錯的題目．三、解答題（共1小題，滿分16分）19．（16分）因式分解：（1）x2y﹣4xy+4y．（2）16﹣b4．（3）（x﹣1）（x﹣3）﹣8．（4）a2﹣2a+1﹣b2．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用；因式分解-分組分解法．【專題】計算題；因式分解．【分析】（1）原式提取y，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可；（3）原式整理后，利用十字相乘法分解即可；（4）原式結合后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=y（x2﹣4x+4）=y（x﹣2）2；（2）原式=（4+b2）（4﹣b2）=（4+b2）（2+b）（2﹣b）；（3）原式=x2﹣4x﹣5=（x﹣5）（x+1）；（4）原式=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，以及因式分解﹣分組分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．四.用心算一算（共3個小題，每小題4分，共12分）20．計算：．【考點】分式的乘除法．【分析】根據分數(shù)乘除法的運算法則和運算順序計算即可，在計算時注意約分【解答】解：原式=，=，=【點評】本題考查了分式的乘除法運算，分式乘除法的運算，歸根到底是乘法的運算，當分子和分母是多項式時，一般應先進行因式分解，再約分．21．÷．【考點】分式的乘除法．【專題】計算題．【分析】原式利用除法法則變形，約分即可得到結果．【解答】解：原式=?=．【點評】此題考查了分式的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．22．先化簡，再求值：，其中m=9．【考點】分式的化簡求值．【專題】計算題．【分析】原式被除數(shù)括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，除數(shù)分母利用完全平方公式分解因式后，再利用除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)將除法運算化為乘法運算，約分得到最簡結果，將m的值代入計算即可求出值．【解答】解：原式=?=，當m=9時，原式==．【點評】此題考查了分式的化簡求值，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式．五.作圖題（本題2分）23．（1）小明同學在學習了全等三角形的相關知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個銳角的平分線．如左圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”小明作圖的依據是角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上．（2）尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線方法如下：以O為圓心，任意長為半徑畫弧OA、OB于C、D，再分別以點C、D為圓心，以大于CD長為半徑畫弧，兩弧交于點P，則作射線OP即為所求．由作法得△OCP≌△ODP的根據是三邊分別相等的兩個三角形全等．【考點】作圖—基本作圖；全等三角形的判定；角平分線的性質．【分析】（1）過兩把直尺的交點C作CE⊥AO，CF⊥BO，根據題意可得CE=CF，再根據角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上可得OP平分∠AOB；（2）根據作圖可得PC=PD，CO=DO，再加上公共邊OP=OP可利用SSS判定△OPC≌△OPD．【解答】解：（1）如圖所示：過兩把直尺的交點C作CE⊥AO，CF⊥BO，∵兩把完全相同的長方形直尺，∴CE=CF，∴OP平分∠AOB（角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），故答案為：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上；（2）∵在△OPC和△OPD中，∴△OPC≌△OPD（SSS），故答案為：三邊分別相等的兩個三角形全等．【點評】此題主要考查了基本作圖，關鍵是掌握角平分線的作法，以及全等三角形的判定和性質，關鍵是掌握角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上，全等三角形的判定定理SSS．六．解答題（共20分，每題5分）24．列方程解應用題：學校要建立兩個計算機教室，為此要購買相同數(shù)量的A型計算機和B型計算機．已知一臺A型計算機的售價比一臺B型計算機的售價便宜400元，如果購買A型計算機需要22.4萬元，購買B型計算機需要24萬元．那么一臺A型計算機的售價和一臺B型計算機的售價分別是多少元？【考點】分式方程的應用．【分析】首先設一臺A型計算機的售價是x元，則一臺B型計算機的售價是（x+400）元．根據題意等量關系：22.4萬元購買的A型計算機的數(shù)量=24萬元購買的B型計算機的數(shù)量，根據等量關系列出方程，再解即可．【解答】解：設一臺A型計算機的售價是x元，則一臺B型計算機的售價是（x+400）元．根據題意列方程，得=解這個方程，得x=5600，經檢驗，x=5600是所列方程的解，并且符合實際問題的意義．當x=5600時，x+400=6000，答：一臺A型計算機的售價是5600元，一臺B型計算機的售價是6000元．【點評】此題主要考查了分式方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出等量關系，再列出方程．注意解方程后不要忘記檢驗．25．已知：如圖，點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AD=CB，∠B=∠D，AD∥BC．求證：AE=CF．【考點】全等三角形的判定與性質．【專題】證明題．【分析】根據全等三角形的判定定理SAS推知△ADF≌△CBE；然后由全等三角形的對應邊相等知，AF=CE，所以AF﹣EF=CE﹣EF，即AE=CF．【解答】證明：∵AD∥BC（已知），∴∠A=∠C（兩直線平行，內錯角相等）；在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（ASA），∴AF=CE（全等三角形的對應邊相等），∴AF﹣EF=CE﹣EF，即AE=CF．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質．普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．做題時要根據已知條件的具體位置來選擇方法．26．如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長線上截取CG=AB，連接AD、AG．（1）求證：AD=AG；（2）AD與AG的位置關系如何，請說明理由．【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定義得到一對角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形BHF與三角形CHE相似，由相似三角形的對應角相等得到一對角相等，再由AB=CG，BD=AC，利用SAS可得出三角形ABD與三角形ACG全等，由全等三角形的對應邊相等可得出AD=AG，（2）利用全等得出∠ADB=∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB=∠AED+∠DAE，又∠GAC=∠GAD+∠DAE，利用等量代換可得出∠AED=∠GAD=90°，即AG與AD垂直．【解答】（1）證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠HFB=∠HEC=90°，又∵∠BHF=∠CHE，∴∠ABD=∠ACG，在△ABD和△GCA中，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AD=GA（全等三角形的對應邊相等）；