數學歸納法（導學案）-高二上學期數學人教A版選擇性

4.4數學歸納法導學案一、明確目標（一）學習目標（二）學習重點數學歸納法及其應用．（三）學法指導1．自學思考法；2．復習類比法.二、知識梳理自學課本4447頁，并完成下列思考題.知識點一數學歸納法一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n＝n0(n0∈N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)以“”為條件，推出“”．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法．知識點二數學歸納法中的兩個步驟之間的關系記P(n)是一個關于正整數n的命題．我們可以把用數學歸納法證明的形式改寫如下：條件：(1)P(n0)為真；(2)若為真，則也為真．結論：P(n)為真．在數學歸納法的兩步中，第一步驗證(或證明)了當n＝n0時結論成立，即命題為真；第二步是證明一種遞推關系，實際上是要證明一個新命題：若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．完成這兩步，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真…….從而完成證明．思考題(1)數學歸納法證明中，在驗證了n＝1時命題正確，假定n＝k時命題正確，此時k的取值范圍是(C)A．k∈N B．k>1，k∈N*C．k≥1，k∈N* D．k>2，k∈N*(2)用數學歸納法證明eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋…＋eq\f(1,2n)<1(n∈N*，n≥2)時，從n＝k到n＝k＋1，不等式左邊需添加的項是(A)A．eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2（k＋1）)－eq\f(1,k)B．eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2（k＋1）)C．eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,k)D．eq\f(1,2（k＋1）)(3)用數學歸納法證明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N*”時，若n＝1，則左端應為______1×4__．三、典例探究題型一利用數學歸納法證明恒等式例1證明：當n≥2，n∈N*時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n2)))＝eq\f(n＋1,2n).[證明]①當n＝2時，左邊＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，右邊＝eq\f(2＋1,2×2)＝eq\f(3,4).∴當n＝2時，等式成立．②假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時等式成立，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k2)))＝eq\f(k＋1,2k).當n＝k＋1時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,（k＋1）2)))＝eq\f(k＋1,2k)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,（k＋1）2)))＝eq\f(k＋1,2k)·eq\f(k（k＋2）,（k＋1）2)＝eq\f(k＋2,2（k＋1）)＝eq\f(（k＋1）＋1,2（k＋1）).∴當n＝k＋1時，等式也成立．由①②知，對任意n≥2，n∈N*，等式成立．題型二利用數學歸納法證明不等式例2證明：2n＋2>n2，n∈N*.[證明]①當n＝1時，左邊＝21＋2＝4，右邊＝1，左邊>右邊；當n＝2時，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4，所以左邊>右邊；當n＝3時，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，所以左邊>右邊.因此當n＝1，2，3時，不等式成立．②假設當n＝k(k≥3，且k∈N*)時，不等式2k＋2>k2成立.當n＝k＋1時，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)，由于k≥3，則k－3≥0，k＋1>0，所以(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.所以2k＋1＋2>(k＋1)2.故當n＝k＋1時，原不等式也成立．由①②，知原不等式對于任何n∈N*都成立．題型三利用數學歸納法證明幾何命題例3有n個圓，任意兩個圓都相交于兩點，任意三個圓不相交于同一點，求證：這n個圓將平面分成f(n)＝n2－n＋2個部分(n∈N*).[證明]①當n＝1時，一個圓將平面分成兩個部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以當n＝1時命題成立．②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時命題成立．即k個圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個部分．則當n＝k＋1時，在k＋1個圓中任取一個圓O，剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分，而圓O與k個圓有2k個交點，這2k個點將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.所以當n＝k＋1時，命題成立．綜合①②可知，對一切n∈N*，命題成立．題型四歸納—猜想—證明例4設Sn為數列{an}的前n項和，且對于n∈N*，都有Sn＝eq\f(n2,2)＋eq\f(an,2)成立．(1)求a1，a2，a3；(2)猜測數列{an}的通項公式，并用數學歸納法證明．[解](1)∵對于n∈N*，都有Sn＝eq\f(n2,2)＋eq\f(an,2)成立，∴S1＝eq\f(1,2)＋eq\f(a1,2)，a1＝S1＝1，S2＝eq\f(22,2)＋eq\f(a2,2)，a1＋a2＝eq\f(4,2)＋eq\f(a2,2)，a2＝2，S3＝eq\f(32,2)＋eq\f(a3,2)，a1＋a2＋a3＝eq\f(9,2)＋eq\f(a3,2)，a3＝3.(2)由(1)猜想an＝n.證明：①當n＝1時，a1＝1，顯然成立；②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，ak＝k成立，則當n＝k＋1時，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝eq\f(（k＋1）2,2)＋eq\f(ak＋1,2)－eq\f(k2,2)－eq\f(ak,2)＝eq\f(（k＋1）2,2)＋eq\f(ak＋1,2)－eq\f(k2,2)－eq\f(k,2)，∴ak＋1＝k＋1，即當n＝k＋1時，等式也成立，由①②可知，an＝n對一切n∈N*都成立．四、激情展示（8min）1．自由展示：展示“同伴互助”環(huán)節(jié)本組還沒解決的問題，其他組代表給出方案，代表回答不完善的，本組同學優(yōu)先補充，其他組可以質疑.2．預設展示：例4變式：數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝2n－an，n∈N*，先計算前4項后猜想an，并用數學歸納法證明．解當n＝1時，S1＝a1＝2－a1，∴a1＝1，當n＝2時，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝eq\f(3,2)，當n＝3時，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝eq\f(7,4)，當n＝4時，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝eq\f(15,8).∴猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1).用數學歸納法證明：①當n＝1時，a1＝1，猜想成立．②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時猜想成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)成立.那么，當n＝k＋1時，Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋eq\f(2k－1,2k－1)＝eq\f(2k＋1－1,2k－1)，∴ak＋1＝eq\f(2k＋1－1,2k)，即當n＝k＋1時猜想成立．由①②可知，對任意n∈N*，猜想均成立．五、總結提升數學歸納法的證明方法及應用六、達標測評1．用數學歸納法證明“n邊形內角和定理：f(n)＝(n－2)·180°”時，第一步應驗證n＝________時成立．()A．1B．2C．3D．4答案C解析∵多邊形的邊數最少是3，即三角形，∴第一步驗證nC.2．下列四個選項中，正確的是()A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)，當n＝1時為1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)，當n＝1時為1＋kC．式子eq\f(1,1)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n＋1)(n∈N*)，當n＝1時為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D．設f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)(n∈N*)，則f(k＋1)＝f(k)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋4)答案C解析A中，當n＝1時應為1＋k，A錯誤；B中，當n＝1時應為1，B錯誤；D中，f(k)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k＋1)，而f(k＋1)＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋4)，所以f(k＋1)＝f(k)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋4)－eq\f(1,k＋1)，D錯誤．故選C.3．用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，則當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．eq\f(（k＋1）4＋（k＋1）2,2)D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2答案D解析∵當n＝k時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，當n＝k＋1時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.【課上選學】求證：x2n－y2n(x，y，n∈N*)能被x＋y整除．附課上