專題-空間角及距離的向量求法-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)教材配套學(xué)案(人教A版選修2-1)

專題空間角及距離的向量求法1．空間角的求解（1）求線線角的步驟：①確定空間兩條直線的方向向量；②求兩個(gè)向量夾角的余弦值；③比較余弦值與0的大小，確定向量夾角的范圍；④確定線線角與向量夾角的關(guān)系：當(dāng)向量夾角為銳角時(shí)即為兩直線的夾角，當(dāng)向量夾角為鈍角時(shí)兩直線的夾角為向量夾角的補(bǔ)角．（2）求線面角的步驟：①確定直線的方向向量和平面的法向量；②求兩個(gè)向量夾角的余弦值；③確定向量夾角的范圍；④確定線面角與向量夾角的關(guān)系：當(dāng)向量夾角為銳角時(shí)線面角與這個(gè)夾角互余；當(dāng)向量夾角為鈍角時(shí)，線面角等于這個(gè)夾角減去．（3）求二面角的步驟：①確定兩平面的法向量；②求兩個(gè)法向量夾角的余弦值；③確定向量夾角的范圍；④確定二面角與向量夾角的關(guān)系：二面角的范圍要通過觀察圖形來確定，法向量一般不能體現(xiàn)出來．【例1】在正方體中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，求：（1）直線與所成的角；（2）直線與平面所成角的正弦值；（3）二面角的余弦值．【解】如圖，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，．（1）因?yàn)椋?，所以，所以直線與所成角的大小為．學(xué)科@網(wǎng)（3）易得，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，，所以平面的一個(gè)法向量為．所以，顯然二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．【變式訓(xùn)練1】如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分別是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別在棱DD1,BB1上移動(dòng),且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)當(dāng)λ=1時(shí),證明:直線BC1∥平面EFPQ;(2)是否存在實(shí)數(shù)λ,使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【解】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),射線DA,DC,DD1分別為x軸,y軸,z軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.由題意得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).故=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(2)設(shè)平面EFPQ的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),由,得.于是可取n=(λ,-λ,1).同理,平面PQMN的一個(gè)法向量為m=(λ-2,2-λ,1).若存在實(shí)數(shù)λ,使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角,則m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±.故存在實(shí)數(shù)λ,使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角,此時(shí)λ的值為1±.2．空間距離的求解求點(diǎn)到平面的距離的步驟可簡(jiǎn)化為：①求平面的法向量；②求斜線段對(duì)應(yīng)的向量在法向量上的投影的絕對(duì)值，即為點(diǎn)到平面的距離．空間中其他距離問題一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解．【例2】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離;(2)求直線AC到平面PEF的距離.【解】建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線分別為x軸,y軸,z軸的空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,,0),F(,1,0),=(,,0),=(1,,-1),設(shè)平面PEF的法向量為n=(x,y,z),則n·=0,且n·=0,即,令x=2,則y=2,z=3,所以n=(2,2,3).【變式訓(xùn)練2】如圖,△BCD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2.(1)求點(diǎn)A到平面MBC的距離;(2)求平面ACM與平面BCD夾角的正弦值.(2)=(-1,0,),=(-1,-,2),設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為m1=(x1,y1,z1),所以.取z1=1,得m1=(,1,1).又平面BCD的一個(gè)法向量m2=(0,0,1),所以cos<m1,m2>=.設(shè)平面ACM與平面BCD的夾角為θ,則sinθ=.專題3空間角及距離的向量求法總分：_____用時(shí)：_______A組（學(xué)業(yè)基礎(chǔ)）1．已知直線l過定點(diǎn)A(2,3,1),且方向向量為n=(0,1,1),則點(diǎn)P(4,3,2)到l的距離為A． B．C． D．【解析】由題意知=(2,0,1),根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得d=.【答案】A2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于（）A．B．C．D．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以，所以．故選B．【答案】B3．已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則平面ABC的一個(gè)單位法向量是（） A．(,,) B．(,,)C．(,,) D．(,,)【解析】=(-1,1,0),=(-1,0,1).設(shè)平面ABC的一個(gè)單位法向量為u=(x,y,z),則u·=0,u·=0,得-x+y=0,-x+z=0,且x2+y2+z2=1,故可取u=(,,).【答案】D4．如果平面的一條斜線和它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a=(0,2,1),b=(,,),那么這條斜線與平面的夾角是（） A．90° B．60°C．45° D．30°【解析】,因此a與b的夾角為30°,所以這條斜線與平面的夾角是30°.【答案】D5．長(zhǎng)方體中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【解析】建立坐標(biāo)系如圖所示，則A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，則＝(－1，0，2)，＝(－1，2，1)，cos〈，〉＝＝．所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為．故選B．【答案】B6．如圖，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是_________________．【解析】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1，0，2)，B(0，1，0)，A(1，0，0)，C(0，0，0)，則＝(－1，1，－2)，＝(－1，0，0)，cos〈，〉＝＝＝．【答案】7．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形的邊長(zhǎng)為2,AB1⊥BC1,則側(cè)棱長(zhǎng)為.

【解析】以AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)CC1=h,則B(,0,0),B1(,0,h),A(0,-1,0),C1(0,1,h),=(,1,h),=(-,1,h).AB1⊥BC1,則·=0,即-3+1+h2=0.又h>0,所以h=,即側(cè)棱長(zhǎng)為.【答案】8．已知正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角為60°，M為PA的中點(diǎn)，連接DM，則DM與平面PAC所成角的大小是_________________．【解析】設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為a，由已知可得正四棱錐的高為a，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則平面PAC的一個(gè)法向量為＝(1，0，0)，D，P，M，則＝，所以cos〈，〉＝＝，所以DM與平面PAC所成的角為45°．【答案】45°9．如圖，直三棱柱中，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)．（1）求證：A1B∥平面ADC1；（2）若AB＝BB1＝2，求A1D與平面AC1D所成角的正弦值．【解】（1）因?yàn)槿庵侵比庵?，所以四邊形A1ACC1是矩形．連接A1C交AC1于O，連接，則O是A1C的中點(diǎn)，又D是BC的中點(diǎn)，所以在△A1BC中，OD∥A1B，因?yàn)锳1B?平面ADC1，OD?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．（2）因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC．如圖，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間坐標(biāo)系．由已知AB＝BB1＝2，得D(0，0，0)，A(，0，0)，A1(，0，2)，C1(0，-1，2)，則＝(，0，0)，＝(0，-1，2)，設(shè)平面AC1D的法向量為＝(x，y，z)，則，即，取z＝1，則x＝0，y＝2，∴＝(0，2，1)，又＝(，0，2)，∴cos〈，〉＝＝，設(shè)A1D與平面ADC1所成角為θ，則sinθ＝|cos〈，〉|＝，故A1D與平面ADC1所成角的正弦值為．10．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面為正方形，，，且二面角與二面角都是．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【解】（1）由已知可得，，所以平面．又平面，故平面平面．（2）過作，垂足為，學(xué)科%網(wǎng)由（1）知平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．所以，，，．設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可?。O(shè)是平面的法向量，同理可取，所以，易知二面角為鈍角，故二面角的余弦值為．B組（能力提升）11．在棱長(zhǎng)為的正方體中，平面與平面間的距離為（）A．B．C．D．【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量，則，即，，又，∴平面與平面間的距離，故選B．【答案】B12．如圖(1),在等腰△ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),CD=BE=,O為BC的中點(diǎn).將△ADE沿DE折起,得到如圖(2)所示的四棱錐A'-BCDE.若A'O⊥平面BCDE,則A'D與平面A'BC所成角的正弦值等于（）A． B．C． D．【解析】取DE的中點(diǎn)H,連接OH,則OH⊥OB．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OH,OB,OA'所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在等腰△ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn),CD=BE=,O為BC的中點(diǎn),∴A'(0,0,),D(1,-2,0),=(1,-2,-).又平面A'BC的一個(gè)法向量n