2017-2018學(xué)年河北省衡水市安平中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

試卷第=page22頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat15頁(yè)2017-2018學(xué)年河北省衡水市安平中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．若a，b是任意實(shí)數(shù)，且a>b，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)2>b2B．C．lg(a－b)>0D．(【答案】D【解析】試題分析：A中不成立，B中不成立，C中不成立，D中由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知是成立的【考點(diǎn)】不等式性質(zhì)2．將參數(shù)方程（為參數(shù)）化為普通方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：先根據(jù)代入消元法消參數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)有界性確定范圍.詳解：因?yàn)椋詙＝x－2，因?yàn)椋?≤x≤3,因此選C.點(diǎn)睛：1.將參數(shù)方程化為普通方程，消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等變換法．2．把參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意哪一個(gè)量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對(duì)普通方程中x及y的取值范圍的影響．3．設(shè)a、b∈R，則“(a－b)·a2<0”是“a<b”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由(a－b)a2<0?a≠0且a<b，∴充分性成立；由a<b?a－b<0，當(dāng)0＝a<b(a－b)·a2<0，必要性不成立；故選A.4．已知x+2y+3z=6,則2x+4y+8z的最小值為()A．3B．2C．12D．12【答案】C【解析】【分析】利用三元的均值不等式即可求得最小值．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選C．【點(diǎn)睛】一般地，如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），進(jìn)一步地，（1）如果（定值），那么有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值；（1）如果（定值），那么有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值．5．直線：3x－4y－9＝0與圓：(θ為參數(shù))的位置關(guān)系是()A．相切B．相離C．直線過(guò)圓心D．相交但直線不過(guò)圓心【答案】D【解析】【分析】把圓的參數(shù)方程改寫成直角方程，利用圓心到直線的距離與半徑的大小來(lái)判斷它們的位置關(guān)系．【詳解】圓的方程是，故圓心到直線的距離為，所以直線與圓是相交的．又，故直線不過(guò)圓心，故選D．【點(diǎn)睛】參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，關(guān)鍵是消去參數(shù)，消參數(shù)的方法有：（1）加減消元法；（2）平方消元法；（3）反解消元法；（4）交軌法．6．若a,b,c為正數(shù),且a+b+c=1,則++的最小值為()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】【分析】利用柯西不等式可得最小值．【詳解】因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故所求最小值為，故選A．【點(diǎn)睛】一般地，如果，是實(shí)數(shù)，那么，進(jìn)一步地，（1）如果，那么有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值；（1）如果，那么有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值．7．下列可以作為直線2x－y＋1＝0的參數(shù)方程的是()A．(t為參數(shù))B．(t為參數(shù))C．(t為參數(shù))D．(t為參數(shù))【答案】C【解析】【分析】消去參數(shù)檢驗(yàn)所得方程是否為．【詳解】對(duì)于A，消去參數(shù)后得到，不符合；對(duì)于B，消去參數(shù)后得到，不符合；對(duì)于C，消去參數(shù)后得到，符合；對(duì)于D，消去參數(shù)后得到，不符合；故選C．【點(diǎn)睛】直線的參數(shù)方程有多種，特別地，當(dāng)直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)且，是直線的傾斜角）時(shí)，那么表示與之間的距離．8．設(shè)，下面四個(gè)不等式中，正確的是（）①；②；③；④A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④【答案】C【解析】試題分析：由題，則說(shuō)明兩個(gè)數(shù)同號(hào)，易判斷①，正確；②錯(cuò)誤；③；錯(cuò)誤；④正確.故選C.【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的性質(zhì)．9．A(0，1)是橢圓x2＋4y2＝4上一定點(diǎn)，P為橢圓上異于A的一動(dòng)點(diǎn)，則|AP|的最大值為()A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的參數(shù)方程可設(shè)動(dòng)點(diǎn)，故的最大值歸結(jié)三角函數(shù)的最值問(wèn)題．【詳解】設(shè)，則，整理得到，所以，此時(shí)．故選C．【點(diǎn)睛】橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），注意此處不是與軸正向所成的角．我們常通過(guò)橢圓的參數(shù)方程把橢圓上的動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)用參數(shù)的三角函數(shù)來(lái)表示．10．若，給出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④.其中正確的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可以得到，從而①④正確，②③錯(cuò)誤．【詳解】因?yàn)?，故，所以，故①正確，③錯(cuò)誤．又，故，故④正確．又，故，故②錯(cuò)誤，綜上，①④正確，故選B．【點(diǎn)睛】本題考察不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．11．已知直線l：(t為參數(shù))和拋物線C：y2＝2x，l與C分別交于點(diǎn)P1，P2，則點(diǎn)A(0，2)到P1，P2兩點(diǎn)距離之和是()A．4＋B．2(2＋)C．4(2＋)D．8＋【答案】C【解析】分析：先將直線參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再代入拋物線方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義求點(diǎn)A(0，2)到P1，P2兩點(diǎn)距離之和.詳解：因?yàn)橹本€l：(t為參數(shù))，所以直線l：(m為參數(shù))代入拋物線方程得，因此點(diǎn)A(0，2)到P1，P2兩點(diǎn)距離之和是選C.點(diǎn)睛：直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負(fù)、可為0)若M1，M2是l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若線段M1M2的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，則t＝，中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離|MM0|＝|t|＝.(4)若M0為線段M1M2的中點(diǎn)，則t1＋t2＝0.12．過(guò)拋物線(t為參數(shù))的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為2，則弦長(zhǎng)所在直線的傾斜角為()A．B．或C．D．或【答案】B【解析】【分析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的參數(shù)方程為（為直線的傾斜角），代入拋物線方程得到關(guān)于的方程，其兩個(gè)根為，再利用求出．【詳解】消去參數(shù)得到拋物線方程為：，設(shè)直線的參數(shù)方程為（為直線的傾斜角），故，設(shè)兩個(gè)根為，則且，因，故，或者，故選B．【點(diǎn)睛】如果直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)且，是直線的傾斜角），那么表示與之間的距離．因此，在參數(shù)方程中，針對(duì)直線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和、積或差等問(wèn)題（動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)都在該直線上），可用直線的參數(shù)方程結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)考慮．二、填空題13．已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對(duì)應(yīng)參數(shù)t＝，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM的斜率為_(kāi)_______．【答案】.【解析】【分析】先求出的直角坐標(biāo)，再求出的斜率．【詳解】，故，故，填．【點(diǎn)睛】本題考察橢圓的參數(shù)方程，屬于基本題．14．已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，則它化成直角坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】.【解析】【分析】利用把點(diǎn)的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化直角坐標(biāo)．【詳解】，故，填．【點(diǎn)睛】極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，關(guān)鍵是，而直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，關(guān)鍵是．15．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sinθ的圓心的極坐標(biāo)是________(填序號(hào))．①；②；③(1，0)；④(1，π)【答案】②.【解析】【分析】先求出圓的直角方程，從而得到圓心的直角坐標(biāo)后再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo).【詳解】因?yàn)椋?，因此，故圓心為，其極坐標(biāo)為，故填②.【點(diǎn)睛】一般地，表示圓心為且半徑為的圓，表示圓心為且半徑為的圓.注意這兩個(gè)圓都過(guò)極點(diǎn).16．設(shè)a+b=2,b>0,則QUOTE+QUOTE的最小值為.【答案】QUOTE【解析】由a+b=2,b>0.則QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE,由a≠0,若a>0,則原式=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE+2QUOTE=QUOTE.當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=QUOTE時(shí),等號(hào)成立.若a<0,則原式=--QUOTE-QUOTE≥-QUOTE+2QUOTE=QUOTE.當(dāng)且僅當(dāng)b=-2a即a=-2,b=4時(shí)等號(hào)成立.綜上得當(dāng)a=-2,b=4時(shí),+QUOTE取最小值QUOTE.三、解答題17．將下列參數(shù)方程化為普通方程：（1）（為參數(shù)）；（2）（為參數(shù)）.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）分別分離處參數(shù)中的，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可消去參數(shù)得到普通方程；（2）由參數(shù)方程中求出，代入整理即可得到其普通方程.試題解析：（1）∵，∴，兩邊平方相加，得，即.（2）∵，∴由代入，得，∴.【考點(diǎn)】曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化.18．曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),將曲線C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍,得到曲線C2.以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,已知直線l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.(1)求曲線C2和直線l的普通方程.(2)P為曲線C2上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的最值.【答案】(1)=1,x-2y-6=0.(2)點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為2,最小值為.【解析】【分析】（1）先根據(jù)變換得到，再利用把直線的極坐標(biāo)方程改成直角方程.（2）利用的參數(shù)方程為設(shè)出動(dòng)點(diǎn)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得到距離的表達(dá)式后可得其最大值和最小值.【詳解】(1)由題意可得的參數(shù)方程為(為參數(shù))，即.直線化為直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)到直線的距離為因?yàn)椋识?【點(diǎn)睛】一般地，當(dāng)點(diǎn)在圓錐曲線運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，我們可以用含參數(shù)的代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo).比如，動(dòng)點(diǎn)在橢圓，可設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，又如動(dòng)點(diǎn)在雙曲線，可設(shè)動(dòng)點(diǎn)為.19．已知在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(3,5),傾斜角為.(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),求|PA|·|PB|的值.【答案】(1),x2+y2-2x-4y-11=0.(2)3.【解析】【分析】（1）利用公式寫出直線的參數(shù)方程.再利用平方消元法消去曲線的參數(shù)可得曲線的直角方程.（2）利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義把歸結(jié)為，其中是把直線的參數(shù)方程代入曲線后得到的關(guān)于參數(shù)的方程的兩個(gè)根.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程(為參數(shù))，得普通方程為，即.直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，傾斜角為,直線的參數(shù)方程為(是參數(shù)).(2)將直線的參數(shù)方程代入，整理得，設(shè)方程的兩根分別為，則，因?yàn)橹本€與曲線相交于兩點(diǎn),所以.【點(diǎn)睛】如果直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)且，是直線的傾斜角），那么表示與之間的距離．因此，在參數(shù)方程中，針對(duì)直線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和、積或差等問(wèn)題（動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)都在該直線上），可用直線的參數(shù)方程結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)考慮．20．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝2.(1)求證：ab＋bc＋ac≤；(2)若a，b，c都小于1，求a2＋b2＋c2的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析.(2).【解析】【分析】（1）可變形為，利用基本不等式可證．（2）可變形為，利用基本不等式可以得到，再根據(jù)，，可以得到，，，從而，故可求所需范圍．【詳解】（1）證明：∵，∴，又，所以，故，也就是．(2)解：由題意可知，，∴，也就是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴．∵，∴.同理，.∴，∴，∴的取值范圍為.【點(diǎn)睛】基本不等式有如下變形：（1）（）；（2）；上述不等式體現(xiàn)了代數(shù)式和與積兩種形式之間的轉(zhuǎn)化，解題中注意對(duì)代數(shù)式和或積的結(jié)構(gòu)分析.21．已知曲線：，直線：（為參數(shù)）.（1）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（2）過(guò)曲線上任一點(diǎn)作與夾角為的直線，交于點(diǎn)，求的最大值與最小值.【答案】（1）曲線Ｃ的參數(shù)方程為為參數(shù)）；直線的普通方程為2x+y-6=0.（2）最大值為；最小值為．【解析】試題分析：（1）由平方關(guān)系和曲線方程寫出曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)作可得直線的普通方程；（2）由曲線的參數(shù)方程設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)直線的距離，利用正弦函數(shù)求出，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值與最小值．試題解析：（1）曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線的普通方程為．（2）曲線上任意一點(diǎn)到的距離為．則，其中為銳角，且，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小