對數(shù)的概念 高一數(shù)學

4.3.1

對數(shù)的概念自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析

自主預習·新知導學一、對數(shù)的概念1.如果3a=9,3b=27,那么a,b的值分別是多少?如果3c=10,那么c的取值范圍是什么?怎樣表示?提示:a=2,b=3,c∈(2,3),用對數(shù)符號表示.2.一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)

x叫做以a為底N的對數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).3.如果將10a=m,10b=n改寫為對數(shù)的形式,那么底數(shù)是什么?如果將ea=m,eb=n改寫為對數(shù)的形式,那么底數(shù)是什么?提示:底數(shù)分別是10和e.4.(1)常用對數(shù):以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),并把log10N記為lgN.

(2)自然對數(shù):以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù),并把logeN記為lnN.

5.若2a=b,則下列關系式正確的是(

)A.a=logb2

B.a=log2bC.2=logab

D.2=logba答案:B二、對數(shù)的性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的值域是什么?將ax=N(a>0,且a≠1)改寫為對數(shù)式后,真數(shù)的值有可能是0或負數(shù)嗎?提示:指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的值域是(0,+∞);真數(shù)的值不可能是0或負數(shù).提示:等于0.

5.下列說法正確的是(

)A.若log2(a-1)有意義,則a≥1

B.lg10=1C.ln1=e

D.log44=0答案:B答案:(1)5

(2)40【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)(-2)4=16可化為log-216=4.(×)(2)對數(shù)運算的實質(zhì)是求冪指數(shù).(√)(3)對數(shù)的真數(shù)必須是非負數(shù).(×)(4)若log63=m,則6=3m.(×)(5)lg(lne)=0.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

指數(shù)式與對數(shù)式的互化反思感悟指數(shù)式與對數(shù)式互化的方法(1)將指數(shù)式化為對數(shù)式,只需要將冪作為真數(shù),指數(shù)作為對數(shù),底數(shù)不變,寫出對數(shù)式;(2)將對數(shù)式化為指數(shù)式,只需將真數(shù)作為冪,對數(shù)作為指數(shù),底數(shù)不變,寫出指數(shù)式.【變式訓練1】

將下列指數(shù)式化為對數(shù)式,對數(shù)式化為指數(shù)式:探究二

對數(shù)的計算反思感悟求對數(shù)式中未知數(shù)的方法(1)將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式.(2)根據(jù)指數(shù)和冪的運算性質(zhì)解有關方程,求得結(jié)果.探究三

對數(shù)的性質(zhì)及其應用反思感悟1.利用對數(shù)性質(zhì)求解的兩類問題的解法(1)求多重對數(shù)式的值的方法是由內(nèi)到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值.(2)已知多重對數(shù)式的值,求變量值,應從外到內(nèi)求,先逐步脫去“l(fā)og”后再求解.2.利用對數(shù)恒等式求值的方法應將所求式子化為冪的形式,其中冪的指數(shù)是一個對數(shù)的形式,且對數(shù)的底數(shù)與冪的底數(shù)必須相等,這時冪的值就等于對數(shù)的真數(shù)的值.易

錯

辨

析忽視對數(shù)的真數(shù)大于0的條件致錯【典例】

已知log(x+3)(x2+3x)=1,則實數(shù)x等于

.

錯解:由對數(shù)的性質(zhì)可得x+3=x2+3x,解得x=1或x=-3.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?答案

1或-3提示:錯解中忽視了對數(shù)的底數(shù)以及真數(shù)的限制條件,沒有根據(jù)這些限制條件對所得的值進行檢驗.正解:由對數(shù)的性質(zhì)可得x+3=x2+3x,解得x=1或x=-3.但當x=-3時,x+3=0,x2+3x=0,此時對數(shù)無意義;當x=1時,符合題意.故x的值等于1.答案:1防范措施解決對數(shù)問題時一定要注意對數(shù)自身的限制條件,即對數(shù)的底數(shù)必須大于0且不等于1,對數(shù)的真數(shù)必須大于0.在求解與對數(shù)有關的參數(shù)問題時,一定要注意檢驗所得參數(shù)值是否符合上述限制條件,以便對其進行取舍.【變式訓練】

在N=log(5-b)(