第01講 平面向量的概念、線性運(yùn)算及坐標(biāo)表示（六大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）（解析版）

第第頁(yè)第01講平面向量的概念、線性運(yùn)算及坐標(biāo)表示目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義．（2）掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義．（3）了解平面向量基本定理及其意義（4）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算2023年北京卷第3題，5分2022年I卷第3題，5分2021年乙卷（文）第13題，5分2022年乙卷（文）第3題，5分通過(guò)對(duì)近5年高考試題分析可知，高考在本節(jié)以考查基礎(chǔ)題為主，考查形式也較穩(wěn)定，考查內(nèi)容一般為平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算，預(yù)計(jì)后面幾年的高考也不會(huì)有大的變化．知識(shí)點(diǎn)一．向量的有關(guān)概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．知識(shí)點(diǎn)二．向量的線性運(yùn)算和向量共線定理（1）向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算（1）（2）當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，【注意】（1）向量表達(dá)式中的零向量寫(xiě)成，而不能寫(xiě)成0．（2）兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿(mǎn)足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件．（4）向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，．知識(shí)點(diǎn)三．平面向量基本定理和性質(zhì)1、共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．2、平面向量基本定理如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個(gè)線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．推論1：若，則．推論2：若，則．3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式如圖所示，在中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且（），則向量．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問(wèn)題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB4、三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．A、B、C三點(diǎn)共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在，使得．5、中線向量定理如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，反之亦正確．DDACB知識(shí)點(diǎn)四．平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示．在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作．（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有向量向量點(diǎn)．（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．若，為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)．（4）設(shè)，，則=，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．知識(shí)點(diǎn)五．平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算①已知點(diǎn)，，則，②已知，，則，，，．，【解題方法總結(jié)】（1）向量的三角形法則適用于任意兩個(gè)向量的加法，并且可以推廣到兩個(gè)以上的非零向量相加，稱(chēng)為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量．即．（2），當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)為時(shí)，向量不等式的等號(hào)成立．（3）特別地：或當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)為時(shí)或者兩向量共線時(shí)，向量不等式的等號(hào)成立．（4）減法公式：，常用于向量式的化簡(jiǎn)．（5）、、三點(diǎn)共線，這是直線的向量式方程．題型一：平面向量的基本概念例1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．平行向量不一定是共線向量C．對(duì)于任意向量，必有D．若滿(mǎn)足且與同向，則【答案】C【解析】依題意，對(duì)于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行向量就是共線向量，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，若同向共線，，若反向共線，，若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知.綜上可知對(duì)于任意向量，必有，故正確；對(duì)于D，兩個(gè)向量不能比較大小，故錯(cuò)誤.故選：C.例2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）給出如下命題：①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對(duì)于①，向量與向量，長(zhǎng)度相等，方向相反，故①正確；對(duì)于②，向量與平行時(shí)，或?yàn)榱阆蛄繒r(shí)，不滿(mǎn)足條件，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)也相同，故③正確；對(duì)于④，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，不一定是共線向量，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，向量與是共線向量，點(diǎn)，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯(cuò)誤．綜上，正確的命題是①③．故選：B．例3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．C．與的方向相反 D．若，則【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由于任意兩個(gè)向量不能比大小，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，故B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，與的方向相同，故C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，但、、的方向不確定，故D錯(cuò).故選：B.變式1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則不是共線向量【答案】C【解析】A.因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.若，則不一定相等，有可能它們方向不同，但是模相等，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.若，則，所以該選項(xiàng)正確；D.若，則也有可能是共線向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C變式2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則A，B，C，D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；③若，則；④若，，則；其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】①若，只能說(shuō)明模相等，它們方向不一定相同或相反，錯(cuò)；②若，若且，即A，B，C，D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，若四點(diǎn)共線，不能構(gòu)成平行四邊形，錯(cuò)；③若，即、分別為相等向量，故，對(duì)；④若，，當(dāng)為零向量時(shí)不一定成立，錯(cuò).故選：D變式3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若，則，，（

）A．都是非零向量時(shí)也可能無(wú)法構(gòu)成一個(gè)三角形B．一定不可能構(gòu)成三角形C．都是非零向量時(shí)能構(gòu)成三角形D．一定可構(gòu)成三角形【答案】A【解析】ACD選項(xiàng)，若非零向量共線時(shí)，也能滿(mǎn)足，但無(wú)法構(gòu)成一個(gè)三角形，A正確，CD錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)非零向量?jī)蓛刹还簿€時(shí)，可構(gòu)成三角形，B錯(cuò)誤.故選：A【解題方法總結(jié)】準(zhǔn)確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關(guān)鍵．共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳遞性，兩個(gè)向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，兩個(gè)向量方向相同且長(zhǎng)度相等，就是相等向量．共線向量或相等向量均與向量起點(diǎn)無(wú)關(guān)．題型二：平面向量的線性表示例4．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在上且.記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：

由，所以，又，，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，則，故選：B.例5．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）已知等腰梯形滿(mǎn)足，與交于點(diǎn)，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，顯然，故有，即，，則，故A正確；又四邊形是等腰梯形，故，即，故B正確；在中，，故C正確；又，所以D錯(cuò)誤；故選：D.例6．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，因?yàn)?，所以是線段的四等分點(diǎn)，且,所以,故A,B錯(cuò)誤；由，可得，故C正確，D錯(cuò)誤，故選:C.變式4．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C變式5．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由D為中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，在中，.故選:D．變式6．（2023·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，由中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)得：，故選：D變式7．（2023·山東濱州·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，點(diǎn)E為的邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BE上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C.變式8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，若，則（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】在平行四邊形中，，所以．故選：B．變式9．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中點(diǎn)為E，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴．故選：B.【解題方法總結(jié)】（1）兩向量共線問(wèn)題用向量的加法和減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為需要選擇的目標(biāo)向量即可，而此類(lèi)問(wèn)題又以“爪子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題．（2）進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求解．（3）除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解．題型三：向量共線的運(yùn)用例7．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，是邊上一點(diǎn)，且是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得出，由得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得.故選：D.例8．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┤鐖D，在中，M為線段的中點(diǎn)，G為線段上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)G的直線分別交直線，于P，Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9【答案】B【解析】因?yàn)镸為線段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，又，，所以，又三點(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B.例9．（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，D是BC邊中點(diǎn)，CP的延長(zhǎng)線與AB交于AN，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，因?yàn)镹，P，C三點(diǎn)共線，所以，解得，所以，所以.故選：B.變式10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)x＝，y＝，則的值為（

）A．3 B．4C．5 D．6【答案】A【解析】由題意且，而x＝，y＝，所以，又G是△ABC的重心，故，所以，可得，即.故選：A變式11．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）在中，為上一點(diǎn)，為線段上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，則的最小值是（

）A．8 B．10 C．13 D．16【答案】D【解析】由題意，如下示意圖知：，且，又，所以，故且，故，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值是16.故選：D變式12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量、不共線，且，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】因?yàn)榕c共線，則存在，使得，即，因?yàn)橄蛄?、不共線，則，整理可得，即，解得或.故選：C.變式13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線上有三點(diǎn)，，，為外一點(diǎn)，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】點(diǎn)、、是直線上不同的三點(diǎn)，存在非零實(shí)數(shù)，使；若，，；；數(shù)列是等差數(shù)列，；．故選：A．變式14．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線．(1)若，，求證三點(diǎn)共線．(2)試確定實(shí)數(shù)，使和共線．【解析】（1）因?yàn)?，，，所以所以，共線，又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線；（2）因?yàn)楹凸簿€，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，即.又，是兩個(gè)不共線的非零向量，所以所以，所以或.變式15．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，.(1)用表示；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【解析】（1）在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，則，故，，，；（2）證明：因?yàn)椋?，所以，所以，又因有公共點(diǎn)，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【解題方法總結(jié)】要證明A，B，C三點(diǎn)共線，只需證明與共線，即證=（）．若已知A，B，C三點(diǎn)共線，則必有與共線，從而存在實(shí)數(shù)，使得=．題型四：平面向量基本定理及應(yīng)用例10．（2023·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是兩個(gè)不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個(gè)基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】依題意，不共線，A選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.B選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.C選項(xiàng)，，所以和不能構(gòu)成基底.D選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.故選：C例11．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，假設(shè)共線，則存在，使得，因?yàn)椴还簿€，所以沒(méi)有任何一個(gè)能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；對(duì)于B，假設(shè)共線，則存在，使得，即無(wú)解，所以沒(méi)有任何一個(gè)能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；對(duì)于C，因?yàn)?，所以?xún)上蛄抗簿€，不能作為一組基底，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)共線，則存在，使得，即無(wú)解，所以沒(méi)有任何一個(gè)能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底，故選:C.例12．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋詾橹悬c(diǎn)，三點(diǎn)共線，故可設(shè)，即，整理得，因?yàn)椋?，即，三點(diǎn)共線，可得，所以，解得，可得，則，.故選：B變式16．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，其中，，若AM與BN相交于點(diǎn)Q，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，因?yàn)镼，M，A三點(diǎn)共線，由三點(diǎn)共線可得向量的線性表示中的系數(shù)之和為1，所以，化簡(jiǎn)整理得．故選：C．變式17．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，設(shè)，，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，所以.即.故選：C.變式18．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，M為AD中點(diǎn)，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，.又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，又，所以，，所以．故選：A．變式19．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱(chēng)蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲(chǔ)存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動(dòng)物的智慧，得到世人的認(rèn)可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)，則，，，，，故，，.設(shè)，則，解得，所以.故選：B.變式20．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，M，N分別為，上的點(diǎn)，且，，連接，交于P點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，取為平面的基底，由，得，由，得，由，知，由，得，因此，則，解得，所以.故選：C變式21．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在梯形中，，且，則，因?yàn)樵诰€段上，且，則，，所以，.故選：D.變式22．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）如圖，在中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD上靠近D，A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，則①；，則②；①②兩式相加，，即，故選：C.變式23．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形中，與相交于點(diǎn)，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槠叫兴倪呅沃?，與相交于點(diǎn)，可得為的中點(diǎn)，由，可得為的中點(diǎn)，所以，可得，又由，所以，所以.故選：B．【解題方法總結(jié)】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種：（1）運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行化簡(jiǎn)，直至用基底表示為止．（2）將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三點(diǎn)共線定理：A，B，P三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，O為AB外一點(diǎn)．題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算例13．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）為平行四邊形的對(duì)角線，，則____．【答案】【解析】

如圖在平行四邊形中，，在中，，所以，故答案為：.例14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，，且，則_____.【答案】【解析】，由可知解得故．故答案為：例15．（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題意得，所以.設(shè)，則，所以，解得，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為.故答案為：變式24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量，，，其中與和的夾角分別為和，且，，若，則________．【答案】8【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作向量的平行線與它們的延長(zhǎng)線分別交于兩點(diǎn)，所以四邊形平行四邊形，則，因?yàn)橄蛄颗c和的夾角分別為和，即,則,在直角中，，，所以，在直角中，，，所以，又由，可得，又因?yàn)?，所以，所以．故答案為?．變式25．（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，且，則實(shí)數(shù)______．【答案】±1【解析】由題意，得，所以，解得．故答案為：±1.變式26．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知向量．若實(shí)數(shù)k與向量滿(mǎn)足，則可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)橄蛄?，所以，又，所以，時(shí)不成立，所以，所以，選項(xiàng)A，不滿(mǎn)足，選項(xiàng)B，不滿(mǎn)足，選項(xiàng)C，不滿(mǎn)足，選項(xiàng)D，滿(mǎn)足，故選：D.變式27．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正六邊形ABCDEF中，直線ED上的點(diǎn)M滿(mǎn)足，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】在正六邊形ABCDEF中，以A為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨令，則，,由，可得，解之得故選：B變式28．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，，則（

）

A． B．2 C．3 D．6【答案】A【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，過(guò)點(diǎn)A作的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則,故,則由可得，即，故，故選：A變式29．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【解析】由得，即，，，，，與同向的單位向量為，反向的單位向量為．故選：C．【解題方法總結(jié)】（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．（2）解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程（組）來(lái)進(jìn)行求解．題型六：向量共線的坐標(biāo)表示例16．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，則，，即，則，解得.故選：C例17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，且三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得,因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，解得.所以.故選：