北京穆家峪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

北京穆家峪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知全集U＝R，集合則()∩B的子集個(gè)數(shù)為A.2

B.4

C.8

D.16參考答案：B2.某中學(xué)高中一年級(jí)有人，高中二年級(jí)有人，高中三年級(jí)有人，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為人的樣本，則高中二年級(jí)被抽取的人數(shù)為A．

B．

C．

D．參考答案：D3.若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

A． B．

C．

D．

參考答案：C4.已知數(shù)列，若點(diǎn)在經(jīng)過點(diǎn)的定直線上，則數(shù)列的前15項(xiàng)和（

）

A.12 B.32 C.60 D.120參考答案：C略5.函數(shù)的最小值為(

)A．6

B．7

C．

D．9參考答案：B6.若函數(shù)f（x）=1++sinx在區(qū)間[﹣k，k]（k＞0）上的值域?yàn)閇m，n]，則m+n等于（）A．0 B．1 C．2 D．4參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】證明f（x）+f（﹣x）=4，所以f（x）是以點(diǎn)（0，2）為對(duì)稱中心，即可求出其最大值與最小值的和．【解答】解：f（x）=1++sinx=3﹣+sinx，f（﹣x）=3﹣+sin（﹣x）=3﹣﹣sinx∴f（x）+f（﹣x）=4，所以f（x）是以點(diǎn)（0，2）為對(duì)稱中心，所以其最大值與最小值的和m+n=4．故選D．7.“”是“直線與圓相切”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A8.（5分）（2015?陜西一模）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的體積是（）A．3B．2C．D．參考答案：【考點(diǎn)】：由三視圖求面積、體積．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：判斷三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．解：三視圖復(fù)原的幾何體的三棱錐，是長方體的一個(gè)角出發(fā)的三條棱的頂點(diǎn)的連線組成的三棱錐，三度分別為：2，1，2，三棱錐的體積為：．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查三視圖求解幾何體的體積，注意三視圖復(fù)原幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．9.直線，則是∥的A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：C略10.已知函數(shù)f（x）的定義域是R，f（0）=2，對(duì)任意x∈R，f′（x）＞f（x）+1，則下列正確的為（）A．（f（1）+1）?e＞f（2）+1 B．3e＜f（2）+1C．3?e≥f（1）+1 D．3e2與f（2）+1大小不確定參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由此可得結(jié)論．【解答】解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=，∴g′（x）=＞0，∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增，∴g（2）＞g（1）＞g（0），∴（f（1）+1）?e＜f（2）+1，3?e＜f（1）+1，3e2＜f（2）+1，∴3e＜f（2）+1，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，）的部分圖象如圖所示，則______．參考答案：112.（2013?汕頭一模）函數(shù)y=lnx在點(diǎn)A（1，0）處的切線方程為_．參考答案：13.已知銳角滿足，則的最大值為_______________.參考答案：14.已知在邊長為2的等邊△ABC中，D是BC中點(diǎn)，，則

.參考答案：-1

15.已知是等比數(shù)列，且，，則

，的最大值為

．參考答案：5，

16.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)n＝_________.參考答案：12017.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部為．參考答案：﹣2【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)===﹣1﹣2i，則復(fù)數(shù)z的虛部為﹣2．故答案為：﹣2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間（）上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）. （1分）①當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

（2分）所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（3分）②當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增.

（4分）綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（5分）（Ⅱ）在上存在一點(diǎn)，使得，即，

（6分）也就是在上存在一點(diǎn)，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零.

（7分）由（Ⅰ）可知：①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，由，可得.因?yàn)椋裕?/p>

（8分）②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，由，可得；

（9分）③當(dāng)，即時(shí)，可得最小值為，

（10分）因?yàn)?，所以，故，此時(shí)，不成立.

（11分）綜上討論可得所求的范圍是：.

（12分）19.某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組調(diào)查學(xué)生使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)成績的影響，詢問了30名同學(xué)，得到如下的2×2列聯(lián)表：

使用智能手機(jī)不使用智能手機(jī)總計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀4812學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀16218總計(jì)201030（Ⅰ）根據(jù)以上2×2列聯(lián)表判斷，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)成績有影響？（Ⅱ）從使用學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的12名同學(xué)中，隨機(jī)抽取2名同學(xué)，求抽到不使用智能手機(jī)的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.智能手機(jī)的20名同學(xué)中，按分層抽樣的方法選出5名同學(xué)，求所抽取的5名同學(xué)中“學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀”和“學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀”的人數(shù)；（Ⅲ）從問題（Ⅱ）中倍抽取的5名同學(xué)，再隨機(jī)抽取3名同學(xué)，試求抽取3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)為“學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀”的概率.參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：0.050,。0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828參考答案：（1）由列聯(lián)表可得所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)成績有影響．

（2）根據(jù)題意，所抽取的5名同學(xué)中“學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀”有1名同學(xué)，“學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀”有4名同學(xué)．（3）學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀的4名同學(xué)分別記為，，，；“學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀”有名同學(xué)記為．則再從中隨機(jī)抽取3人構(gòu)成的所有基本事件為：，，，，，，，，，，共有10種；抽取人中恰有名同學(xué)為“學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀”所含基本事件為：，，，，，共有種，所求為．20.（本小題共13分）

已知曲線的方程為：.（Ⅰ）分別求出時(shí)，曲線所圍成的圖形的面積;（Ⅱ）若表示曲線所圍成的圖形的面積，求證：關(guān)于是遞增的;(III)若方程，，沒有正整數(shù)解，求證：曲線上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，不能全是有理數(shù).參考答案：（1），；（2）見解析；（3）見解析考點(diǎn)：數(shù)列綜合應(yīng)用（1）當(dāng)時(shí)，

由圖可知，

.

（2）要證是關(guān)于遞增的，只需證明：．

由于曲線具有對(duì)稱性，只需證明曲線在第一象限的部分與坐標(biāo)軸所圍成的面積遞增．

現(xiàn)在考慮曲線與，

因?yàn)?/p>

因?yàn)?/p>

在(1)和(2)中令，

當(dāng)，存在使得，成立，

此時(shí)必有．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

所以．

兩邊同時(shí)開n次方有，．（指數(shù)函數(shù)單調(diào)性）

這就得到了，

從而是關(guān)于遞增的．

（3）由于可等價(jià)轉(zhuǎn)化為，

反證：若曲線上存在一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，全是有理數(shù)，

不妨設(shè)，，且互質(zhì)，互質(zhì)．

則由可得，

．

即．

這時(shí)就是的一組解，

這與方程，，沒有正整數(shù)解矛盾，

所以曲線上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，不能全是有理數(shù)．

21.(本小題滿分16分)

如圖，有一個(gè)長方形地塊ABCD，邊AB為2km，AD為4km.，地塊的一角是濕地(圖中陰影部分)，其邊緣線AC是以直線AD為對(duì)稱軸，以A為頂點(diǎn)的拋物線的一部分.現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線AC上一點(diǎn)P的直線型隔離帶EF，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上(隔離帶不能穿越濕地，且占地面積忽略不計(jì)).設(shè)點(diǎn)P到邊AD的距離為t(單位:km)，△BEF的面積為S(單位:).

(I)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域;(2)是否存在點(diǎn)P，使隔離出的△BEF面積S超過3?并說明理由.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；函數(shù)解析式的求解及常用方法．B11B12(1)，定義域?yàn)椋?2)不存在點(diǎn)，使隔離出的△面積超過3。

解析：(1)如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)坐標(biāo)為．………1分設(shè)邊緣線所在拋物線的方程為，把代入，得，解得，所以拋物線的方程為．…………3分因?yàn)椋?分所以過的切線方程為．………5分令，得；令，得，………………7分所以，……8分所以，定義域?yàn)椋?分(2)，……12分由，得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，……………14分所以在上有最大值．又因?yàn)?，所以不存在點(diǎn)，使隔離出的△面積超過3．……………16分【思路點(diǎn)撥】（1）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．設(shè)邊緣線AC所在拋物線的方程為，把（2，4）代入，可得拋物線的方程為．由于，可得過的切線EF方程為．可得E，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)，，即可得出定義域；（2），利用導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．22.如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分別為PD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且==λ，（0＜λ＜1）．（Ⅰ）若λ=，求證：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱錐E﹣FCD體積最大值．參考答案：考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（Ⅰ）分別取PA和AB中點(diǎn)M、N，連接MN、ME、NF，四邊形MEFN為平行四邊形．由此能證明EF∥平面PAB．（Ⅱ）在平面PAD內(nèi)作EH⊥AD于H，則EH⊥平面ADC，EH∥PAEH=λPA=λ．，由此能求出三棱錐E﹣FCD體積最大值．解答： （Ⅰ）證明：分別取PA和AB中點(diǎn)M、N，連接MN、ME、NF，則NFAD，MEAD，所以NFME，∴四邊形MEFN為平