安徽省滁州市小學(xué)數(shù)學(xué)小學(xué)奧數(shù)系列8-2-1抽屜原理（一）

安徽省滁州市小學(xué)數(shù)學(xué)小學(xué)奧數(shù)系列8-2-1抽屜原理（一）

姓名：班級:成績:

親愛的同學(xué)，經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)，你們一定學(xué)到不少知識，今天就讓我們大顯身手吧！

一、（共34題；共175分）

1.（5分）一個正方體有六個面，給每個面都涂上紅色或白色，至少有三個面是同一顏色。為什么？

2.（5分）有蘋果和桔子若干個，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？

3.（5分）從1到20這20個數(shù)中，任取11個不同的數(shù)，必有兩個數(shù)其中一個是另一個數(shù)的倍數(shù).

4.（5分）在一個矩形內(nèi)任意放五點，其中任意三點不在一條直線上。證明：在以這五點為頂點的三角形中，

至少有一個的面積小于矩形面積的四分之一。

5.（5分）兩個布袋各有12個大小一樣的小球，且都是紅、白、藍(lán)各4個。從第一袋中拿出盡可能少的球，

但至少有兩種顏色一樣的放入第二袋中；再從第二袋中拿出盡可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每種顏色的球

不少于3個。這時，兩袋中各有多少個球？

6.（5分）一個盒子中有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球各20個.最少要拿幾個球，就能保證有兩對同色的球？最

少要拿出幾個球，就能保證有3對同色的球？解答了前兩個問題，你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？你能根據(jù)規(guī)律迅速地寫出

要保證有4對同色的球，最少要拿出多少個球嗎？（所謂“同色的球”指的是每對中的兩個球同色，不是指所有取

出的球同色）

7.（5分）某校六年級有367名學(xué)生，有沒有兩名學(xué)生的生日是同一天？為什么？

8.（5分）在1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34中任選出7個不同的數(shù)，其中必有兩個數(shù)的

和為35.

9.（5分）六（1）班有49名學(xué)生，數(shù)學(xué)高老師了解到期中考試該班英語成績除3人外，均在86分以上后就說:

“我可以斷定，本班至少有4人成績相同”。王老師說的對嗎?為什么？

10.（5分）給下面每個格子涂上黑色或紅色.觀察每一列，你有什么發(fā)現(xiàn)？

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ttfllJ無論怎么涂,至少有

j兩列的徐法相同.

能說出其中的道理嗎？

11.（5分）你能說說原因嗎？

我用10分鐘做那你在某一分鐘內(nèi)

定了11道數(shù)學(xué)題。至少做了2道題。

12.（5分）從整數(shù)1、2、3、…、199、200中任選101個數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個數(shù)，其

中的一個是另一個的倍數(shù).

13.（5分）在1m長的線段上任意點7個點，不管怎樣點，至少有兩點之間的距離小于17cm.在紙上畫一畫，

并和同桌同學(xué)說一說.

14.（5分）任意10個正整數(shù)，每一個都用9來除，其中必有兩個余數(shù)相同.請說明你的理由.

15.（5分）8位小朋友圍著一張圓桌坐下，在每位小朋友面前都放著一張紙條，上面分別寫著這8位小朋友

的名字.開始時，每位小朋友發(fā)現(xiàn)自己面前所對的紙條上寫的都不是自己的名字，請證明：經(jīng)過適當(dāng)轉(zhuǎn)動圓桌，一

定能使至少兩位小朋友恰好對準(zhǔn)自己的名字.

16.（5分）如圖，在時鐘的表盤上任意作9個120°的扇形，使得每一個扇形都恰好覆蓋4個數(shù)，且每

兩個扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到3個扇形，恰好覆蓋整個表盤上的數(shù).并舉一個反例說明，作

8個扇形將不能保證上述結(jié)論成立.

7

65.

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17.（10分）9條直線的每一條都把一個正方形分成兩個梯形，而且它們的面積之比為2：3。證明：這9條

直線中至少有3條通過同一個點。

18.（5分）任意給出5個不同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是4的倍數(shù).你能說出其中的道理嗎？

19.（5分）在邊長為3米的正方形中，任意放入28個點，求證：必定有四個點，以它們?yōu)轫旤c的四邊形的

面積不超過1平方米.

20.（5分）某次會議有25人參加，每人至少認(rèn)識一個人.在這25人中至少有兩人認(rèn)識的人數(shù)相同.你知道

為什么嗎？

21.（5分）在20米長的水泥陽臺上放12盆花，隨便怎樣擺放，請你說明至少有兩盆花它們之間的距離

小于2米.

22.（5分）有49個小孩，每人胸前有一個號碼，號碼從1到49各不相同.現(xiàn)在請你挑選若干個小孩，排成

一個圓圈，使任何相鄰兩個小孩的號碼數(shù)的乘積小于100,那么你最多能挑選出多少個孩子？

23.（5分）任意4個整數(shù)中，必存在兩個數(shù)，它們被3整除的余數(shù)相同.你能說出其中的道理嗎？

24.（5分）張老師說北京市的所有人中一定有兩個人頭發(fā)根數(shù)一樣多.你覺得張老師說的話有道理嗎？為什

么？（人的頭發(fā)約有十萬根）

25.（5分）有一批四種顏色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各種信號，試說明在200個信號中至少有

四個信號完全相同。

26.（5分）如圖，分別標(biāo)有數(shù)字L2,…8的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個圓環(huán)上，開始時相對的滾珠所標(biāo)的

數(shù)字都不相同.當(dāng)兩個圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動時，必有某一時刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對數(shù)字相同的滾珠相對.

27.（5分）從1,3,5,7,97,99中最多可以選出多少個數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一

個數(shù)的倍數(shù)？

28.（5分）一些孩子在沙灘上玩耍，他們把石子堆成許多堆，其中有一個孩子發(fā)現(xiàn)從石子堆中任意選出六堆,

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其中至少有兩堆石子數(shù)之差是5的倍數(shù)，你能說一說他的結(jié)論對嗎？為什么？

29.（5分）把4支鉛筆放進(jìn)3個文具盒里，不管怎么放總有一個文具盒里至少放進(jìn)2支鉛筆，為什么？

30.（5分）在長為100m的筆直馬路一側(cè)站了12人，不管他們怎樣站，至少有兩人的距離小于10m.這是為

什么呢？

31.（5分）學(xué)生到圖書館借書，最多可以借5本，最少可借1本.至少有幾個同學(xué)去借書，就會有兩個同學(xué)

借書的本數(shù)一樣多？如果有11名同學(xué)去借書，至少有幾名同學(xué)借書的本數(shù)一樣多？至少有幾名同學(xué)去借書，就會

有4個同學(xué)借書的本數(shù)一樣多？

32.（5分）小明參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是36環(huán)，小明至少有一鏢不低于8環(huán)，對嗎？為什么？

33.（5分）一個袋子中裝有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的小球若干，如果每次取3個，最后剩1個；如果每次

取5個或7個，最后剩2個.這個袋中至少有多少個小球？一次至少取幾個小球可以保證有兩個是同色的？

34.（5分）在邊長為3的正三角形內(nèi)，任意放入10個點，求證：必有兩個點的距離不大于1.

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參考答案

一、供34題；共175分)

解：6+2=3(個)

11、答：因為只有兩種88色,如SK略泳三個面，那么至少育三個面是同

2-1、

解:需先跟學(xué)生介紹奇偈性：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù).

先用列表法進(jìn)行搭配，由于題目只要求判斷兩堆水果的個數(shù)關(guān)系,因此可以從水果個數(shù)的奇.偶性上來考慮抽展的設(shè)計.對于

每堆水果中的蘋果、精子的個數(shù)分別都有奇數(shù)與偶數(shù)兩種可能,所以卻a水果中蘋果、怙子個數(shù)的搭配就有4種情形：(奇，

奇),(奇，偶)，(國，奇)，(偶，鳥),其中括號中的第一2衰示革果數(shù)的奇偶性,第二個字表示桔子數(shù)的奇偶性.

將這4種情形看成4個抽甩，現(xiàn)有5堆水果，根據(jù)抽屜原理可知，這5堆水果里至少有2堆屬于上述4種情形的同一種情

形.由于奇數(shù)加S數(shù)為缶數(shù),國數(shù)加偶數(shù)仍為偶數(shù),所以在同一樂居中的兩堆水果，其革果的忌數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù).

3T、

解:把這20W分成以下1姆,看成10個抽痕:(1,2,4,8,16),(3,6,12),(5,10,20),(7,14),(9,

18),(11),(13),(15),(17),(19),前5個否中，ffiB兩詢都有倍中酶11例，

妗有一個抽應(yīng)中要取2個數(shù)，它們只能從前54抽屜中取出，這兩個數(shù)新滿足翅目要求.

4-1、

解：如圖，將長方形按中線分為兩部分，則由抽屜原理知必然有3個點在同一個區(qū)域，那么由這3個點所構(gòu)成的三角形的面積必

然小于該區(qū)域的一半,即長方形面的四分之一.

5-1、

解：籟一次取完后，只需知道凝一袋中有某種顏色的球不足3個即可(取了多少個球，怎樣取的都可以不考否).第二次取后，

要保證第一袋中每種顏色的球不少于3個，最不利的情況是兩種顏色的球各有8個，另一種顏色的球育3個.所以，第一袋中育球

8+8+3=19(個)，第二袋中有球4x3*2-19=5(個).

6-1、

解：最少要拿6個球，就能保證有兩對同色的球；最少要拿出8個球，就能保證有3對同色的球;我發(fā)現(xiàn)：保證逐出同色的球每增

加一對，最少摸出的球的個數(shù)依次增加2個.8+2=10,所以，要保證摸出4對同色的球，最少要拿出球.

7-1

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事：把一年中的天數(shù)看成是抽屜，把學(xué)生人數(shù)看成是元素.把367個元素放到366個抽屜中，至少有Ttt屜中有2個元素，即

至少有兩名學(xué)生的生日是同一天.

8-1

除：題中附12M.&S12-MW3,地6對和為35的數(shù):1+34=35,4+31=35,7+28=35,10+25=35,13+22=35,

16+19=35;從中任取7個數(shù)，必稗兩個數(shù)的和為35.

9-1、修：王得對，因共鴻1竭期15個陰,(49-3)^15=3...1,3+l=4(A),所以本有4AJ?S?同.

10-1、

n-K?5：平均每分鐘完成is,105泄只能完成iOS,如果要完成ug,那至少有1分鐘要《w

12-1、

解：把這200個數(shù)分類如下：

(1)1，1*2?1x2^,lx2?，…，lx2；*

⑵3,3x2,3x22，3x2，?-?3*26,

⑶5,5x2，5x＞，5xR，-，5x2、?

(50)99,99x2?

(51)101,

(52)103,

(100)199,

以上共分為100類，即100個抽屜,顯然在同T中的數(shù)若不少于兩個，那么這類中的任意兩個數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系.從中任取101個

數(shù),根據(jù)抽總原理，f至少有兩個數(shù)取自同一類,因此其中一個數(shù)是另的倍數(shù).

13-1、解：把這7個點平均點在坡段上,則每兩個點間的距離約是16.7cm,都小于17cm.

14-1

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解：被9*的數(shù)，余數(shù)只能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,蟠個數(shù),如果要余數(shù)不相同，那么只能有9個數(shù),那么第10^

88S的余數(shù)無論是幾，都會和前面的昊一個相同.

15-1、

映:沿順時針方向特動國點,每次轉(zhuǎn)動一格，使每位小朋友恰好對準(zhǔn)直面上的字條，經(jīng)過8次轉(zhuǎn)動后,直面又回到原來的位置.

在這個轉(zhuǎn)動的過程中,每位小朋友恰好對準(zhǔn)桌面上寫有自己名字的字條一次，我們把每位小朋友與自己名字相對的情況看

作.革果-,共有8只.蘋果”,另一方面，由于開始時每個小朋友都不與自己名字相對,所以小朋友與目己名字相對的情況只

發(fā)生在7次轉(zhuǎn)動中，這樣7次轉(zhuǎn)動（即7個"油屜"）將產(chǎn)生8（立小朋友對準(zhǔn)自己名字的情況,由抽卮原理可知，至少在某一次轉(zhuǎn)

動后,有兩個或兩個以上的小朋友對決自己的名字.

16-1、

好:在表盤上拱可作出12個不同的扇形,且1~12中的每個數(shù)恰好被4個扇形整蓋.將這12個扇形分為4組,使好每一組的3個扇

形恰好蓋住整個表盤.賅,根據(jù)抽危原理,從中選擇9個扇形，必存圖+1=3個扇形屬于同一組,那么這一?的3個扇形可

以覆蓋整個表盤.另一方面，作8個扇形相當(dāng)于從全部的12個扇形中去掉4個，則可以去掉蓋住間一NK8M個扇形,這樣這個

數(shù)就沒有被剩下的8個扇形蓋住,月附點附扇形不個表盤.

17-1

解:設(shè)正方形為.1BCD，E、F分別是AB-CD的中點?設(shè)直線MN把正方形.￡5。分成兩個長方形.JAl/N和

CDNM?并且與EF相交于P（如圖），

長方形ABMN的面積長方形CDNM的面積=2:3,如果把電線MN繞P點旋轉(zhuǎn)f角度后,原來的兩個長方形蛔5

成兩個梯形，根據(jù)的補(bǔ)法兩個梯形的面積比也為2:3,所以只要直送MN繞P點旋轉(zhuǎn).得到的兩個梯形的面枳比為2:3，

所以將長方形分成2:3的兩個梯形必定經(jīng)過P點,同樣根據(jù)對稱經(jīng)過Q點的直線也是滿足條件的直線，同理我們還可以找到

把長方形分成上下兩個梯形的兩個點這樣，在正方形內(nèi)就有4個固定的點,凡是把正方形面積分成兩個面積為2:3的悌形的直

線，一定通過這4點中的某一個.我們把這4個點看作4個抽卮,9條直線看作9個蘋果，由施尼原理可知，9=4x2+1，所

以，必稗fWS內(nèi)至少放有3個章果，也就是,必有三條直線要通過f點.

18-1、

解：任意自除以4的余數(shù)有0、1、2、3四種情況，現(xiàn)在有5個自然數(shù),至少有兩個自然數(shù)除以4的余數(shù)相同，這兩個自然數(shù)

的基就是4的.

19-1

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解：將大正方形分成9個邊長為13峭卜正方形，則外小正方形為"抽卮-，有：28-9=3…11則必有一個小正方形里

(上)至少有3+1=4(個)點，著這四個點恰好落在這個小正方形的四個頂點，另口以這儕點為頂點的四邊形的面積為1平

方米；若有一個點落在正方形的內(nèi)部或邊上,則面積將小于1平方米.綜上所述，不論怎么放，必定有四個點，以它們?yōu)轫旤c的

四邊形的面積不超過1平方米.

20-1、

解：參加會議的人，認(rèn)識的人數(shù)可以是：1人、2人、3A....24A,共有24種情況.現(xiàn)在有25人,所以至少有2個人認(rèn)識的

人數(shù)相同.

21-1、

IK：S1盆花放在點上,第2盆花放在距第1盆花恰為2米處(這是兩盆花之間最近的距商了,再近就說明裳目已經(jīng)正

確了——兩盆花之問距解J'于2米).第3盆花放在距離第2盆花的距離2米處，這樣每隔2米放I盆花，直到陽臺的另一

個盡頭，恰好放第11盆花.至此，陽臺上的11盆正中任意兩盆花之間的距離都按你的設(shè)想不小于2米放好了.現(xiàn)在考強(qiáng)最后

1盆花,它只能放在已放好的11盆花所留出的io個空檔內(nèi)了，這已說明必有兩盆花之間的距兩小于2米.曼目的結(jié)論是正確

的.

22-1、

解:將1至49中相乘J、于100的兩個數(shù),按被旃分成9姐，如下：

(1*2).(1x3).(1?4)....、(1x49)；

(2x3).(2?4).(2/5)、…、(2x49)；

(8?9).(8x10)、(8x11)、(8x12);

(9x10)、(9x11).

因為每個數(shù)只能與左右兩不數(shù)相乘,也就是每個數(shù)作為被乘數(shù)或購?最多兩次，所以每一姐中最多會有兩對數(shù)出現(xiàn)在圓圈中,

最多可以取出18個數(shù)對，共18x2=36次，但是每個數(shù)都出現(xiàn)兩次，故出現(xiàn)了18個數(shù).

例如：(10x9).(9*11)、(卜8)、(8x12)、(12?7).(7x13),(13x6).(6*14).(14x5).

(5x15).(15?4),(4x16)、(16X3)、(3*17)、(17-2).(2?18),(18*1)、(1，10).共出現(xiàn)I~18

號,共18個孩子.

者18息選取出12藻子，月隱共有12號碼,由于每個號碼數(shù)要與旁邊兩數(shù)分別相乘,則會形成12相乘的數(shù)對.

月弦在9組中取出19個數(shù)時,有19=9x2+1,由抽屜原則知，必有三個數(shù)對落入同一組中，這樣某個數(shù)字會在數(shù)對中出現(xiàn)三次

(或三次以上),由分析知,這是不允許的.故最多挑出12孩子.

23-1、

解：所得的例只有3種情況：0、皿.這相當(dāng)于3個抽屜,現(xiàn)在用4個數(shù)分別除以3,其中肯定有2個的余數(shù)相

同.

24-1

第8頁共10頁

解:1集市的人口數(shù)肯定遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于十萬人，人的頭發(fā)有十萬根左右,根據(jù)抽扈原理，：!閑書的所有人中至少有兩個人的頭發(fā)根

數(shù)一樣多，張老師的話是有道理的.

解：四種顏色三面排成一行：4x4x4=64(種)

200+64=3......8,3+1=4(個)

25-1、答：至少有吐信號完全相同.

26-1、

格：內(nèi)外兩個國環(huán)對轉(zhuǎn)可以看成一個靜止，只有一個環(huán)轉(zhuǎn)動，一個環(huán)轉(zhuǎn)動一周后，每個滾珠都會有一次與標(biāo)有相同數(shù)字的滾珠

相對的局面出現(xiàn)，月％這種局面共要出現(xiàn)8次將這8次局面看成8個蘋果，注息到一環(huán)每轉(zhuǎn)動45角就有一次漆珠相對的局面

出現(xiàn),特動一閡共有8次漆珠相對的局面，而最初相對漆珠所標(biāo)數(shù)字都不相同.所以相對的滾珠所標(biāo)的數(shù)字相同的情況只出現(xiàn)

在以后的7次轉(zhuǎn)動中,將7次轉(zhuǎn)動看做7個抽屜,根據(jù)油屜原理至少有2次數(shù)字相對的局面出現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動中即必有臬一時

刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有醐舞存相同的潦珠相對.

27-1、

解：方法一：因為均是奇數(shù),所以如果存在信數(shù)關(guān)系,那么也一定是3.5.7等奇數(shù)倍.3*33:99,于是從35開始，1~99的奇

數(shù)中沒有一個是35~99的奇數(shù)倍(不包括1倍)，所以選出35,37,39，…，99這些奇數(shù)即可.共可選出33個數(shù)，使得選出的

數(shù)中,每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù).

方法二:利用3的若干次募與質(zhì)數(shù)的乘積對這504^奇數(shù)分組.(1,3,9,27,81),(5,15,45),(7,21,63),

(11,33),(13.39),(17,51),(19,57),(23,69).(25,乃)，(29,87),(31,93),(35),

(37),(41),(43)，…，(97)共33組.前強(qiáng)，每組內(nèi)兩僮所以每組內(nèi)最多只

數(shù),即最多可以選出33個數(shù),使得選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一語的倍數(shù).

28-1、

解:把六堆石子數(shù)看成是任意六個自然數(shù),它們被5除，其余數(shù)有0,1,2,3,4五種可能.如果把每一種余數(shù)看成是T"抽

屜-，那么余數(shù)相同的兩數(shù)就在同一"抽屜”里.根娟抽屜原理,六個自然數(shù)根5除后必有兩個余數(shù)是相同的，顯然這兩個數(shù)之

差是5的倍數(shù).因此結(jié)論是正確的.

29-1