2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題（解析版）

絕密☆啟用前試卷類型：A

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填

寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡

右上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂

黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相

應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不

按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

?若集合M={xIyfx<4},N={x|3x21}則MN=()

A.{x|04x<2}B.<x^<x<2|C.{x[3?x<16}D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合M,N后可求McN.

【詳解】〃={x|0?x<16},N={x|xN；},^<x<16

故A/

故選：D

2若i(l-z)=l,則z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求Z,從而可求Z+5.

1?

【詳解】由題設(shè)有l(wèi)-z=-=3=—i,故Z=l+i，故z+5=(l+i)+(l—i)=2,

1I

故選：D

3.在cABC中，點(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA.記C4=/〃,C0=〃，則CB=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3/"+2〃D.2m+3n

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA，所以BO=2D4,即一=2(C4—COb

所以CB=3CO—2C4=3〃-2〃2=-2m+3〃.

故選：B.

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔

148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為14O.()km2;水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為ISO.Okn?,將該

水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約

為(幣x2.65)()

A.1.0x109m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出.

【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為腸V=157.5—148.5=9(m),所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積V.

棱臺(tái)上底面積S=140.0km2=140xl()6m2，下底面積5Z=180.0km2=180xl06m2，

AV=1/?(S+S,+V^7)=1X9X(140X106+180X106+V140X180X1012)

=3X(320+60>/7)X106?(96+18X2.65)X107=1.437xl09?1.4xl09(m3).

H

陽

故選：C.

5.從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）

11-12

A.—B.-C.~D.—

6323

【答案】D

【解析】

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有:（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種,

21-72

故所求概率P=-------二—.

213

故選：D.

6.記函數(shù)/（x）=sin[Qx+?J+伙。＞0）的最小正周期為「若吾＜?。迹襶=/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)

（甘，2）中心對(duì)稱，則，（9=（）

35

A.1B.—C.—D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.

2〃*2zr272r

【詳解】由函數(shù)的最小正周期7滿足一＜T＜乃，得一＜—＜勿，解得2＜。＜3,

33co

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（芬,21對(duì)稱，所以陰口+二=%肛％€2,且5=2,

I2}24

所以0=-工+2%,攵eZ,所以0=*,/(x)=sin[?x+生+2,

632124)

所以/O=sin'乃+?)+2=L

故選：A

7.設(shè)a=O.le°」,b=",c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定a,b,c的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

設(shè)/(x)=ln(l+x)-x(x>-1),因?yàn)?———1=一——,

1+x1+X

當(dāng)尤G(-1,0)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)xw(0,+oo)時(shí)，'(x)<0,

所以函數(shù)/(x)=In(l+x)-x在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以/《)</(0)=0,所以111個(gè)一/<0,故=—ln0.9，即匕〉c，

19I9--1-1

所以/(一一)</(0)=0,所以In二+一<0,故二<ei。，所以--修°<上，

10101010109

故a〈b,

設(shè)g(x)=xe'+ln(l-x)(0<x<1),則g，*)=(x+l)e'+—~

令h(x)=eA(x2-1)+1,h'(x)=ex(x2+2x-l),

當(dāng)0<x<血—1時(shí)，"(x)<°，函數(shù)/z(x)=e?2—l)+l單調(diào)遞減，

當(dāng)Q-l<x<l時(shí)，〃(乃>0,函數(shù)/2*)=^，一1)+1單調(diào)遞增，

又〃(0)=0,

所以當(dāng)0<x<及一1時(shí)，h[x)<0,

所以當(dāng)0<x〈及一1時(shí)，g'（x）>。，函數(shù)g（x）=xe'+ln（l—無）單調(diào)遞增,

所以g(0.1)>g(0)=0,即O.le°」>—ln0.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

解：a=O.\eQ',b=-^—,c-In(l-O.l),

1-0.1

①Ina—In8=0.1+ln(l—0.1),

令f(x)=x+ln(l—x),xG(0,0.1],

1—Y

則ra)=i<o,

l-xl-x

故f(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina—lnb<0,所以a<b；

②a-c=O.le°,+ln(l-0.1),

令g(x)=xex+ln(l-x),xe(0,0.1],

?.,1(1+x)(l—x)e”—1

則g\x)=xexv+exv---------——-——-------,

1—X1—X

令k(x)=(1+x)(l—x)ex—1,所以k'(x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得k(x)>k(0)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0，即a—c>0,所以a〉a

故c<a<b.

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36%,且34/43百，則該正

四棱錐體積的取值范圍是()

2764

D.[18,27]

T'T

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)正四棱錐的高為/?,由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正

四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】?.?球的體積為36%,所以球的半徑R=3,

［方法一］:導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2”，高為〃，

則廣=2。2+〃2,32=2a2+（3-h）2,

所以6〃=/，2a2=l2-h2

iI2I4/21?/6

所以正四棱錐的體積V=-Sh=-x4a2xh=-x(l2---)x—=-/4----

3333669136J

所以V'

當(dāng)3W/W2指時(shí)，Vz>0,當(dāng)2c<”36時(shí)，V'<0,

所以當(dāng)/=2遍時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為竽,

27Q1

又/=3時(shí)，丫=一，/=3百時(shí)，V=—

44

27

所以正四棱錐的體積V的最小值為一，

4

所以該正四棱錐體積的取值范圍是子源

故選：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以V=1片九=2（6/Z—/22M=1（12-2/Z）/?X%,1X［（12-2〃）+"+與=竺（當(dāng)且僅當(dāng)

333333

4=4取到）,

當(dāng)。==時(shí)，得。=輩，則匕in=La"=1（輩）2X』=2；

272337224

當(dāng)/=36L時(shí)，球心在正四棱錐高線上，止匕時(shí)/?=^3+3='9

22

立。=*5=。=萃，正四棱錐體積匕=]_/%=1（攣>x?=旦〈里，故該正四棱錐體積取

22&'33^2243

值范圍是[衛(wèi)

43

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知正方體A8Cr>-A4GR，則（）

A.直線BG與0a所成的角為90。B.直線BG與CA所成的角為90°

C.直線8G與平面叫。。所成的角為45°D.直線8a與平面A8C。所成的角為45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接gc、BG，因?yàn)椤辏〢//gC,所以直線與所成的角即為直線8G與。4所

成的角，

因?yàn)樗倪呅蜝BC。為正方形，則故直線BG與。A所成角為90°,A正確；

連接AC，因?yàn)?4_1平面BBCC，B&U平面則A4J.BG，

因?yàn)锽CJ.BG,4480=片，所以平面A5C,

又ACu平面4瓦。，所以BG^Ca，故B正確；

連接AC，設(shè)AGiBR=O,連接3。,

因?yàn)?瓦_(dá)L平面A￡GQ,C0u平面A8|CQ],則6。，用8,

因?yàn)锽QQBIB=BI,所以G。，平面B8QQ,

所以NCR。為直線BG與平面B8QQ所成的角，

設(shè)正方體棱長為1，則。0=也，BC\=C，sinNG8O=*=J,

128G2

所以，直線8G與平面8力所成的角為30,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镚C，平面ABC。，所以NC/C為直線BG與平面ABC。所成的角，易得NQBC=45，故D正

確.

故選：ABD

10.已知函數(shù)/(為=%3-X+1,則()

A./(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

【答案】AC

【解析】

【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A,結(jié)合/(%)的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)

的幾何意義判斷D.

【詳解】由題，r(x)=3f_i,令〃力＞0得x＞且或

令r(x)＜o(jì)得一走＜》＜立，

33

所以“X)在(_oo,_g),「?,+00)上單調(diào)遞增，(一乎，迫)上單調(diào)遞減，所以x=±#是極值點(diǎn)，故

A正確；

因-*)=1+竽＞0，/哼)=1一￥＞0,/(-2)=-5＜°，

所以，函數(shù)“X)在-00,一上有一個(gè)零點(diǎn),

、

當(dāng)時(shí)，f(-V)f即函數(shù)/(x)在+°o上無零點(diǎn),

3I31137

綜上所述，函數(shù)/(x)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤;

令〃0)=X3一元，該函數(shù)的定義域?yàn)镽,h(-X)=(-X)3-(-X)=-X3+X=-/z(x),

則力(X)是奇函數(shù)，(0,0)是力(幻的對(duì)稱中心,

將力(x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到/*)的圖象，

所以點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱中心，故C正確；

令/'(x)=3f_l=2,可得x=±l,又/⑴=/(—1)=1,

當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線方程為y=2x-l,當(dāng)切點(diǎn)為(一1,1)時(shí)?，切線方程為y=2x+3,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)41,1)在拋物線C：x2=2py(〃>0)上，過點(diǎn)B(0,-l)的直線交C于P,。兩

點(diǎn)，貝IJ()

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線A3與。相切

C.\OP\-\OQ\>\O^D.\BP\-\BQ\>\BA\1

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出拋物線方程可判斷A,聯(lián)立A8與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B,利用距離公式及弦長公式

可判斷C、D.

【詳解】將點(diǎn)A的代入拋物線方程得1=2”，所以拋物線方程為f=y,故準(zhǔn)線方程為y=一,，A錯(cuò)

4

誤；

kAB=—^=2,所以直線A5的方程為y=2x-l,

1~0

y=2x-l

聯(lián)立〈，，可得V-2x+l=0,解得x=l,故B正確；

x=y

設(shè)過B的直線為/,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線c只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以，直線/的斜率存在，設(shè)其方程為丁=丘-1,P(x?yi),Q(x2,y2),

y=kx-\

聯(lián)立〈，得Ax+l=O，

x2=y

△=公一4>0

所以<x^x2=k,所以&>2或攵<一2,%必=（用W）2=1，

xxx2=1

又1。尸1=Jx；+y：=Jx+犬，1。。=￡=M+￡，

所以ICPI?Ic。1=Jx%（i+x）（i+必）=x依2=1攵l>2=|O4『,故c正確;

因?yàn)锽Q

|8P|=Jl+/|x",Ih71+FIx2I.

所以|BPHBQb（l+/）|x/2l=l+/>5,而|BA『=5,故D正確.

故選：BCD

12.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域均為R,記g(x)=/'(x),若-g(2+x)均為偶

I，J

函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g(-；)=0C./(-l)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】

【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)

判斷即可得解.

【詳解】［方法一］:對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究

對(duì)于/(x),因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以/?1_2x)=/(g+2x)即=+①，所以

3

/(3-x)=/(x),所以/*)關(guān)于x=2對(duì)稱，則/(-1)=/(4),故C正確；

對(duì)于g(x),因?yàn)間(2+x)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，

由①求導(dǎo)，和g(x)=7'(x)，得

（（3

|+xo-g---FX,所以

（2

g(3—x)+g(x)=O,所以g(x)關(guān)于g,0)對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽,所以g(g)=O,結(jié)合g(x)關(guān)于

x=2對(duì)稱，從而周期T=4x(2_1')=2,所以==0,g(-l)=g(l)=_g(2),故B

正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)/(*)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定了(X)的函數(shù)值,

故A錯(cuò)誤.

故選：BC.

［方法二］:【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.

由方法一知g(x)周期為2,關(guān)于x=2對(duì)稱，故可設(shè)g(x)=cos(7tr),則/(x)=Lsin(7rx)+c,顯然

兀

A,D錯(cuò)誤，選BC.

故選：BC.

［方法三］:

因?yàn)?(3一2》)，g(2+x)均為偶函數(shù)，

所以/(|一2%)=/(1+2%)即/(5一元)=/1?+'\|，g(2+x)=g(2—%)，

所以"3-x)=〃x),g(4-x)=g(x),則/(—1)=/(4),故C正確；

函數(shù)/(x),g(x)的圖象分別關(guān)于直線x=3,x=2對(duì)稱，

2

又g(x)=r(x),且函數(shù)〃x)可導(dǎo)，

所以g■|)=0，g(3-x)=—g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g==g(—l)=g(l)=—g(2)，故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)/(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定/*)的函數(shù)值,

故A錯(cuò)誤.

故選：BC.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該

題的通性通法；

方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.的展開式中x2y6的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【答案】-28

【解析】

【分析】可化為(x+y)8—j(x+y)8,結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】因?yàn)?1一2］(x+y)8=(x+y)8-：(x+>)8，

所以(1一:'》+)，)8的展開式中含龍2〉6的項(xiàng)為?自2,6心電3寸=_28%2卜6,

(1-2)(x+y)S的展開式中x2yb的系數(shù)為-28

故答案為：-28

14.寫出與圓f+y2=1和(X—3)2+(y—4)2=16都相切的一條直線的方程_______________

【答案】y=一二3X+5三或y7—325或x=—l

■442424

【解析】

【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

【詳解】［方法一］:

顯然直線的斜率不為0,不妨設(shè)直線方程為x+by+c=o,

〒曰?1[3+4"C」

于是否瓦」

Jl+/

故=1+。2①，|3+4Z?+c|=|4c|.于是3+4)+。=4?；?+4)+。=T。,

24,4

b=—

b-0

再結(jié)合①解得《,或《7或一《3

c-l255

c―一-_-_

~13

所以直線方程有三條，分別為x+l=O,7x—24y—25=0,3尤+4y—5=0.

(填一條即可)

［方法二J

設(shè)圓/+V=1的圓心0(0,0),半徑為4=1,

圓。一3)2+。-4)2=16的圓心。(3,4),半徑弓=4,

則|。。|=5=/;+4，因此兩圓外切，

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然x+l=0符合題意；

又由方程(x-3>+(y-4)2=16和Y+,2=1相減可得方程3x+4y—5=0,

即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，

又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為4x-3)，=0,

4

直線OC與直線x+l=()的交點(diǎn)為(一1,-§),

4k-17

設(shè)過該點(diǎn)的直線為y+—=Z(x+l),則|3|「解得k=一,

42+1

從而該切線的方程為7x-24y-25=0.(填一條即可)

［方法三］:

圓3+9=1的圓心為0(0,0),半徑為1,

圓(X-3)2+0—4)2=16的圓心01為(3,4),半徑為4,

兩圓圓心距為斤不=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切,

如圖，

433

當(dāng)切線為/時(shí)，因?yàn)閴痲=g,所以勺=一］,設(shè)方程為y=—jx+W>0)

d——f"?=1535

0到/的距離「于，解得「=己，所以/的方程為y=—±x+2,

F16444

當(dāng)切線為初時(shí)，設(shè)直線方程為"+y+〃=0,其中〃>0,k<Q,

id==i

J1+4725

由題意《，解得《,y=—X-----

的+4+p|-252424

p=一

J1+&224

當(dāng)切線為〃時(shí)，易知切線方程為％=-1,

1一，+9或1工尸生或尤=_1

故答案為:

-44-2424

15.若曲線y=(x+a)e'有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是

【答案】(f),-4)U(0,+<?)

【解析】

【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)方,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于X。的方程，

根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得。的取值范圍.

【詳解】?.,y=(x+a)e',y'=(x+l+a)e",

設(shè)切點(diǎn)為(％%)則％=(4+a)e%,切線斜率左=(%+1+。)6%,

切線方程為：y-(x()+a)e*=(N)+l+a)e*(x-x(J,

???切線過原點(diǎn)，，一(而+a)e*=(玉)+1+。)&"(一天)，

整理得：x^+axo-a=O,

?.?切線有兩條，.?.△=/+4?！?,解得。<-4或。>0,

的取值范圍是(7,-4)(0,+的)，

故答案為：(-°。,-4)(0,-KQ)

22

16.已知橢圓C:5+±=l(a>b>0),C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,離心率為過耳且垂

直于A々的直線與C交于。，E兩點(diǎn)，|?！陓=6,則工4￡)￡的周長是.

【答案】13

【解析】

22

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為f+六=1,BP3X2+4/-12C2=0,根據(jù)離心率得到直線

A工的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線。石的方程：x=#y-c,代入

橢圓方程城+4丁-12c2=0,整理化簡得到：13y2-6瘋7-9。2=(),利用弦長公式求得c=一,得

8

13

a=2c=一,根據(jù)對(duì)稱性將.ADE的周長轉(zhuǎn)化為△居。石的周長，利用橢圓的定義得到周長為4。=13.

4

c

【詳解】??,橢圓的離心率為e=—=—1,，Q=2C,???從=〃2一/=302,??.橢圓的方程為

a2

v-2V2

}+g=1,BP3X2+4/-12C2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為片，右焦點(diǎn)為鳥，如圖所示，:

7T

AF2=a,OF【=c,a=2c,NA片O=§,.?.△Af；鳥為正三角形，???過6且垂直于A心的直線與C

交于。，E兩點(diǎn)，DE為線段AF,的垂直平分線，.?.直線。石的斜率為立，斜率倒數(shù)為有，直線。E

3

的方程：x=6y-c,代入橢圓方程#+4丫2_12/=0,整理化簡得到：13y2一6百cy-9c2=0,

判別式△=（6&『+4X13X9C2=62X16XC2,

|DE|=J1+(6)|X-%|=2X*=2X6X4XR=6,

13--13

c=—,得a=2c=—,

84

???￡>￡為線段A行的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，AD=DF2,AE=EF2,：.ADE的周長等于△6OE

的周長，利用橢圓的定義得到△鳥。E周長為

\DF2\+\EF2\+\DE\^DF2\+\EF2\+\DFt\+\EFt\^\DFt\+\DF2\+\EFt\+\EF^2a+2a^4a^13.

故答案為：13.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

fS]1

17.記S.為數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，已知q是公差為一的等差數(shù)列.

（1）求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

111c

(2)證明：---—++一<2.

a2an

〃(〃+1)

【答案】（1）

2

（2）見解析

【解析】

【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得與=1+：（〃-1）=胃，得到S“=（〃+2）.,利用和與項(xiàng)的關(guān)

an333

系得到當(dāng)〃22時(shí)，4=S,?=（"+2""_（〃+l"，i,進(jìn)而得:利用累乘法求得

a?=〃（丁,檢驗(yàn)對(duì)于n=1也成立,得到｛4｝的通項(xiàng)公式a,=?勺1）；

（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到'+」-++—=2|1一一二］,進(jìn)而證得.

4a2a?\n+ij

【小問1詳解】

,5.

a.=1,：.S=a=l,：.—=l,

ttq

*、

又???&是公差為1的等差數(shù)列，

l?J3

4,3，）33，

.?.當(dāng)時(shí)，s“

3

.?CC（〃+2”“（〃+1）%-

??%=，_51=----------------,

整理得：（〃-

a〃+1

即一n^

%n-\

為qan-\an

?a=〃|X=X」X...X"Tx——

…〃4%an-2%

134n〃+lH（n+1）

=lx—X—X...X------X------=-----------

12n-2n-12

顯然對(duì)于〃=1也成立，

...｛凡｝的通項(xiàng)公式〃“="（?1）;

【小問2詳解】

，=^=2仕」

an+\nn+\

cosA_sin2B

18.記ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

14-sinA1+cos2B

2萬

（1）若。=絲，求3；

3

（2）求二:"的最小值.

【答案】（1）一;

6

⑵4及一5?

【解析】

【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將c°sA=化成

1+sinA1+cos28

cos（A+fi）=sinB,再結(jié)合0<3<曰，即可求出;

IT7E/72-kh2

（2）由（1）知，C=—+8,4=——26,再利用正弦定理以及二倍角公式將化成

22c2

,2

4cos23+--——5,然后利用基本不等式即可解出.

cos-3

【小問1詳解】

cosAsin252sinBcosBsinB

因?yàn)?即

1+sinA1+cos282cos2BcosB

sinB-cosAcos8-sinAsin8=cos(A+B)=-cos。=；，

而0<3<色，所以B=2；

26

【小問2詳解】

7171

由(1)知，sinB=—cosC>0,所以一<。<兀,0<3<一,

22

而sinB=-cosC=sinC--,

所以C=]+3,即有A=^—2B,所以B￡^0,—J,CG

所以=sin"：sin*=cos?23+Jcos?B

c1sin2Ccos2B

(2cos28—I)?4-1-cos2B

=4cos2B+—4——5N2際-5=4及-5?

cos2Bcos-8

當(dāng)且僅當(dāng)cos?B=乎時(shí)取等號(hào)，所以）:的最小值為40—5.

19.如圖，直三棱柱ABC—45G的體積為4,ARC的面積為2夜.

（1）求A到平面ABC的距離；

（2）設(shè)。為AC的中點(diǎn)，AA=AB,平面ABC_L平面ABgA,求二面角A—8D—C的正弦值.

【答案】（1）0

⑵—

2

【解析】

【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；

（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得BC_L平面建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.

【小問1詳解】

在直三棱柱ABC—44G中，設(shè)點(diǎn)A到平面\BC的距離為h,

則匕-ABC=§SA8C.h=3h.=匕…BC=]SA8C'AA=§匕8C-AMG—§

解得/?=友，

所以點(diǎn)A到平面ABC距離為血；

【小問2詳解】

取AB的中點(diǎn)￡連接AE,如圖，因?yàn)锳A=A8,所以AE_LAB,

又平面ABC_L平面AB4A,平面ABC'平面

且AEU平面ABBIA，所以AEJ_平面ABC,

在直三棱柱ABC—4與G中，8片J.平面ABC,

由3。u平面ABC,3。＜=平面43?？傻?￡，8。，BB,1BC,

又AE,B旦u平面AB與4且相交，所以BCJ_平面AB4A,

所以BC,BA,B片兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由（1）得AE=應(yīng)，所以AA=AB=2,仲=2板,所以8C=2,

則A（0,2,0）,4（0,2,2）,3（0,0,0）,C（2,0,0）,所以A。的中點(diǎn)，

則由）=（1,1,1）,A4=（0,2,0）,BC=（2,0,0）,

m-BD=x+y+z=0

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量相=(x,y,z),則4

m-BA=2y=0

可取加=(1,0,-1),

n?BD=〃+/?+c=0

設(shè)平面BDC的一個(gè)法向量〃=.,反c),則《

n?BC=2。=0

可取7=(0』,—1),

貝…/，〃\"m即-n=不環(huán)1=子1

73

所以二面角A-BD-C的正弦值為，1—

2

20.一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩

類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)

調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組)，得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該

疾病樂P(B\A)與品P(總B\的A)比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)

為R

P(A8)

(i)證明:

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|8),P(A|西的估計(jì)值，并利用(i)的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

〃

附K2(ad-be)?

(a+b\c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)答案見解析

(2)(i)證明見解析；(ii)R=6；

【解析】

【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出K?的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為

患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；

(ii)根據(jù)(i)結(jié)合已知數(shù)據(jù)求R.

【小問1詳解】

出口如小一^ad-bc)1_200(40X90—60X10)2

田O矢口A.———,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

又P(K?26.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

【小問2詳解】

⑴因?yàn)樾膯醓?迪&尸(硒P(A)

P(B|A)P(B\A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

所以人3.3.回

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

所以R=.四國,

P(A\B)P(A\B)

(ii)

由已知P(A|8)=型，P(A|B)=—,

100100

-60——90

又P(A|B)=——，P(A|B)=—,

100100

P(A|B)P(A\B)A

所以R=--=----------=—=Q

P(A|B)P(A\B)

21.已知點(diǎn)A(2,l)在雙曲線C：1—_=1(?>1)±,直線/交C于尸，Q兩點(diǎn)，直線AP,AQ的斜率

a-Q~_1

之和為0.

(I)求/的斜率;

(2)若tan/PAQ=2jI,求△P4Q的面積.

【答案】(1)-1；

(2)1672

9

【解析】

【分析】(1)由點(diǎn)42,1)在雙曲線上可求出“，易知直線/的斜率存在，設(shè)/:丁="+加，

。(西,乂)，。(心斗)，再根據(jù)kAP+砥°=0，即可解出/的斜率；

(2)根據(jù)直線ARAQ的斜率之和為0可知直線AP,AQ的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)tan/PAQ=2也即可求

出直線AP,AQ的斜率，再分別聯(lián)立直線AP,AQ與雙曲線方程求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)，即可得到直線PQ的

方程以及尸。的長，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A到直線PQ的距離，即可得出盤2的面積.

【小問1詳解】

V2V241

因?yàn)辄c(diǎn)A(2,l)在雙曲線。：之——2_=1(^＞1)±,所以=一一--=1,解得力=2,即雙曲線

a-a-Iaa-\

易知直線/的斜率存在，設(shè)/：丁=履+〃?，。(與％)，

y=kx+m

聯(lián)立＜/2可得，(1一242卜2一4〃血?一2加-2=0,

.萬一y=1

所以，西+/=—^^,中2="必，4=16〃二一4（2加2+2）（2公-1）＞0=/一1+2公＞0

2k—12k—1

且人±乎.

所以由Z“+MQ=0可得,三+壯。,

即（%1-2）（Ax2+m-l）+（x2-2）（Axj+m-l）=0,

即2kxix?+（m-l-2Z:）（x14-x2）-4（m-l）=0,

ll……2m2+2/1八,/4mk、4/八八

所以2"X^TT+（'"一一2"）［一^711一4（根一）二°，

化簡得，8攵2+4攵-4+4〃?（左+1）=0,即（攵+1）（2左一1+/〃）=。，

所以攵=-1或加=1一2%，

當(dāng)機(jī)=1一2左時(shí)，直線/:丁=日+加=左（兀-2）+1過點(diǎn)A（2,l）,與題意不符，舍去，

故A=-1.

【小問2詳解】

［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化

不妨設(shè)直線PAAQ的傾斜角為因?yàn)椤?>+陽°=。，所以。+￡=兀，由(1)知,

2

xix2=2m+2>0,

當(dāng)A8均在雙曲線左支時(shí)，NPAQ=2a,所以tan2a=2J5,

即&tan?a+tana—0=0，解得tana（負(fù)值舍去）

此時(shí)力與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點(diǎn)，舍去；

當(dāng)A3均在雙曲線右支時(shí)，

因?yàn)閠anNPAQ=2j5,所以tan(/7-a)=2夜，即tan2a=一2夜，

即VStan。a-tana-0=0，解得tana=血（負(fù)值舍去）,

于是，直線24:了=夜(%—2)+1,直線PB:y=—夜(x—2)+1,

>=鳳-2)+1

聯(lián)立《爐,可得，-X2+2(V2-4)X+10-4V2=0,

-----y=12

127

因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為2,所以號(hào)=10_；立,%=."二5,

同理可得，qJO+y,yQ=~4于5

5I?162+1—1―

所以尸。：x+y——=0,|尸。|=二，點(diǎn)A到直線PQ的