運算方法與運算器改

運算方法與運算器改本章內(nèi)容：2.1數(shù)據(jù)與文字的表示方法

2.2定點加法、減法運算

2.3定點乘法運算

2.4定點除法運算

2.5定點運算器的組成

2.6浮點運算方法和浮點運算器本章小結(jié)運算方法和運算器第2頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.1數(shù)據(jù)與文字的表示方法2.1.1數(shù)據(jù)格式2.1.2數(shù)的機器碼表示2.1.3字符與字符串的表示方法2.1.4漢字的表示方法2.1.5校驗碼數(shù)據(jù)與文字的表示方法第3頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.1.1數(shù)據(jù)格式

計算機中常用的數(shù)據(jù)表示格式有兩種：（1）定點格式（2）浮點格式

定點格式（小數(shù)點位置固定）容許的數(shù)值范圍有限，但要求的處理硬件比較簡單。

浮點格式（小數(shù)點位置浮動）容許的數(shù)值范圍很大，但要求的處理硬件比較復(fù)雜。數(shù)據(jù)格式第4頁,共173頁，2024年2月25日，星期天1.

定點數(shù)的表示方法定點表示：約定機器中所有數(shù)據(jù)的小數(shù)點位置是按約定固定不變的，小數(shù)點就不再使用記號“.”來表示。定點數(shù)據(jù)的形式：純小數(shù)或純整數(shù)。

（設(shè)：定點數(shù)表示為ｘ＝ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn

其中：ｘ0符號位，0代表正號，1代表負(fù)號）小數(shù)點的位置約定在符號位x0的后面（不顯示）小數(shù)點的位置約定在數(shù)值位xn的后面（不顯示）定點數(shù)的表示方法第5頁,共173頁，2024年2月25日，星期天定點數(shù)例例：X=+1010110.純整數(shù)：X=01010110.正數(shù)，符號位取0Y=-1101001.純整數(shù)：Y=11101001.負(fù)數(shù)，符號位取1X=+0.11011Y=-0.10101符號位取0純小數(shù)：X=0.11011符號位取1純小數(shù)：X=1.10101第6頁,共173頁，2024年2月25日，星期天純整數(shù)：X=01010110符號位取0純整數(shù)：Y=11101001符號位取1符號位取0純小數(shù)：X=0.11011符號位取1純小數(shù)：X=1.10101注意到：無論是整數(shù)或是小數(shù)，在機器數(shù)的表示中，都不出現(xiàn)小數(shù)點“.”，只是約定其位置。定點數(shù)例第7頁,共173頁，2024年2月25日，星期天(ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn

各位均為0時最??；各位均為1時最大)純小數(shù)的表示范圍：0≤|ｘ|≤1－2－n

(2.1)

純整數(shù)的表示范圍為:

0≤|ｘ|≤2n－1

(2.2)

目前計算機中多采用定點純整數(shù)表示，因此將定點數(shù)表示的運算簡稱為整數(shù)運算。

定點數(shù)的表示方法第8頁,共173頁，2024年2月25日，星期天例：156.78 =15.678×101

=

1.5678×102

=0.15678×103=M×RE其中：M為尾數(shù)；R為基數(shù)；E為階碼（指數(shù)）。二進制數(shù)在定點計算機中，一般約定:尾數(shù)|M|<1.0，并按此原則確定各數(shù)據(jù)的浮點表示格式?！嗌侠?156.67=0.15678×103

（規(guī)格化表示法）同理：對于二進制數(shù)+1011.1101=+0.10111101×2+4

=0.10111101×2+100=M×RE那么，計算機中究竟采用哪種數(shù)據(jù)形式？顯然存在多種數(shù)據(jù)形式浮點數(shù)的表示方法2、浮點數(shù)的表示方法第9頁,共173頁，2024年2月25日，星期天浮點數(shù)表示可見：一個機器浮點數(shù)由階碼E和尾數(shù)M及其符號位組成。約定：尾數(shù)M用定點小數(shù)表示，給出有效數(shù)字的位數(shù)，M決定了浮點數(shù)的表示精度；

階碼E：用整數(shù)形式表示，指明小數(shù)點在數(shù)據(jù)中的位置，其決定了浮點數(shù)的表示范圍?！喔↑c數(shù)的一般形式為：

第10頁,共173頁，2024年2月25日，星期天注：階碼位數(shù)與尾數(shù)位數(shù)的關(guān)系在字長確定的情況下，階碼的位數(shù)增加，數(shù)的表示范圍增加；但數(shù)的尾數(shù)的位數(shù)相應(yīng)減少，則數(shù)的精度就降低。浮點數(shù)的規(guī)格化表示方法：規(guī)格化：其尾數(shù)的第一位為“1”，若不為1，則用左規(guī)的方法來實現(xiàn)。實例機器零當(dāng)一個浮點數(shù)的尾數(shù)為0，不論階碼為何值，其結(jié)果為0階碼的值遇到比它能表示的最小值還小時，不管尾數(shù)為何值，其結(jié)果為0浮點數(shù)表示第11頁,共173頁，2024年2月25日，星期天注：階碼位數(shù)與尾數(shù)位數(shù)的關(guān)系例：說明以下數(shù)值是否為規(guī)格化數(shù)據(jù)210*0.11012-10*0.1101211*0.011012-11*0.001101規(guī)格化后：210*0.110129*0.1101返回浮點數(shù)表示第12頁,共173頁，2024年2月25日，星期天注：階碼位數(shù)與尾數(shù)位數(shù)的關(guān)系例：浮點數(shù)運算把一個真值為+23.25的十進制用浮點數(shù)格式1表示，要求如下：其原碼設(shè)浮點數(shù)字長為16位，其中階碼5位，尾數(shù)10位，符號位1位。把一個真值為+23.25的十進制用浮點數(shù)格式2表示，要求如下：其原碼設(shè)浮點數(shù)字長為16位，其中階碼5位（含1位符號位），尾數(shù)11位（含1位符號位）。浮點數(shù)表示第13頁,共173頁，2024年2月25日，星期天注：階碼位數(shù)與尾數(shù)位數(shù)的關(guān)系例：浮點數(shù)運算把一個真值為+23.25的十進制用浮點數(shù)格式1表示，要求如下：其原碼設(shè)浮點數(shù)字長為16位，其中階碼5位，尾數(shù)10位，符號位1位。解1：令X=23.25表示成二進制為：10111.01用浮點數(shù)規(guī)格化表示其原碼為【X】原=2+00101*0.1011101000則在機器中表示為：或【X】原=0，00101，1011101000浮點數(shù)表示第14頁,共173頁，2024年2月25日，星期天注：階碼位數(shù)與尾數(shù)位數(shù)的關(guān)系例：浮點數(shù)運算把一個真值為+23.25的十進制用浮點數(shù)格式1表示，要求如下：其原碼設(shè)浮點數(shù)字長為16位，其中階碼5位，尾數(shù)10位，符號位1位。解2：令X=23.25表示成二進制為：10111.01用浮點數(shù)規(guī)格化表示其原碼為【X】原=2+00101*0.1011101000則在機器中表示為：或【X】原=0，0101，0，1011101000浮點數(shù)表示第15頁,共173頁，2024年2月25日，星期天浮點數(shù)表示按照IEEE754的標(biāo)準(zhǔn)，32位浮點數(shù)（和64位）浮點數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)格式為：其中：Ｓ=浮點數(shù)的符號位，0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)。

Ｍ=尾數(shù)，23位，用純小數(shù)表示。Ｅ=階碼，8位，階符采用隱含方式，即采用移碼方式來表示正負(fù)指數(shù)。

一個規(guī)格化的32位浮點數(shù)x的真值可表示為：X＝(-1)S×（1.M）×2E－127

，e＝E－127

其中尾數(shù)域所表示的值是1.M。因為規(guī)格化的浮點數(shù)的尾數(shù)域最左位（最高有效位）總是1，故這一位經(jīng)常不予存儲，而認(rèn)為隱藏在小數(shù)點的左邊。第16頁,共173頁，2024年2月25日，星期天浮點數(shù)表示幾點注釋：

為了提高數(shù)據(jù)的表示精度，當(dāng)尾數(shù)的值不為

0時，其絕對值|M|應(yīng)≥0.5，即：尾數(shù)絕對值域的最高有效位應(yīng)為1，否則通過修改階碼同時左右移小數(shù)點的辦法，使其變成這一表示形式，這稱為浮點數(shù)的規(guī)格化表示。浮點數(shù)所表示的范圍顯然遠比定點數(shù)大。以下兩種情況計算機都把該浮點數(shù)看成零值，稱為機器零。⑴當(dāng)浮點數(shù)的尾數(shù)M為0；（不論其階碼E為何值）⑵當(dāng)階碼E的值＜Emin值時。（不管其尾數(shù)M為何值）

第17頁,共173頁，2024年2月25日，星期天浮點數(shù)表示[解:]將16進制數(shù)展開后，可得到二進制數(shù)格式為：01000001001101100000000000000000指數(shù)e=階碼－127=10000010－01111111=00000011=（3）10包括隱藏位1的尾數(shù)1.M=1.01101100000000000000000=1.011011于是有：x=（-1）S×1.M×2e=（-1）0＋（1.011011）×23

=＋1011.011=（11.375）10[例1]：若浮點數(shù)x的二進制存儲格式為(41360000)16，求其32位浮點數(shù)的十進制值。第18頁,共173頁，2024年2月25日，星期天浮點數(shù)表示[解:]首先分別將整數(shù)和分?jǐn)?shù)部分轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)：20.59375＝10100.10011然后移動小數(shù)點，使其在第1，2位之間

10100.10011＝1.010010011×24

小數(shù)點被左移了4位，于是得到：e＝4

尾符

S＝0，階碼

E＝4＋127＝131，尾數(shù)

M＝010010011最后得到32位浮點數(shù)的二進制存儲格式為：01000001101001001100000000000000

＝(41A4C000)16此“1”被隱藏[例2]：將十進制數(shù)20.59375轉(zhuǎn)換成位浮點數(shù)的二進制格式來存儲。第19頁,共173頁，2024年2月25日，星期天

3.十進制數(shù)串的表示方法十進制數(shù)串在計算機內(nèi)主要有兩種表示形式：

1.字符串形式字符串形式：每一個十進制的數(shù)位或符號位都用一個字節(jié)存放。如：+12

+12-38-382.壓縮的十進制數(shù)串形式壓縮的十進制數(shù)串形式：一個字節(jié)存放兩個十進制的數(shù)位。如：+123、-12

123C(＋123)012D(－12)十進制數(shù)的表示方法第20頁,共173頁，2024年2月25日，星期天

在傳統(tǒng)的計算機體系結(jié)構(gòu)中，用指令本身來說明操作數(shù)據(jù)的類型。如:定點加法表示操作數(shù)是純小數(shù)或純整數(shù)；浮點加法表示操作數(shù)是浮點數(shù)；十進制加法表示操作數(shù)是BCD數(shù)。由于操作數(shù)據(jù)類型不同，要設(shè)三種不同的指令(操作碼)來加以區(qū)分。4.自定義數(shù)據(jù)表示數(shù)串的表示第21頁,共173頁，2024年2月25日，星期天

自定義數(shù)據(jù)表示則用數(shù)據(jù)本身來說明數(shù)據(jù)類型。表示形式有兩種，即標(biāo)志符數(shù)據(jù)表示和描述符數(shù)據(jù)表示。標(biāo)志符數(shù)據(jù)表示：要求對每一個數(shù)據(jù)都附加標(biāo)志符，其格式如下：標(biāo)識符數(shù)據(jù)其中:標(biāo)志符指明后面的數(shù)據(jù)所具有的類型，如整數(shù)、浮點數(shù)、BCD數(shù)、字符串等。數(shù)串的表示第22頁,共173頁，2024年2月25日，星期天描述符數(shù)據(jù)表示:主要用來描述多維結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)類型，如向量、矩陣、記錄等。其格式為：描述符標(biāo)志位特征標(biāo)記數(shù)據(jù)塊長度數(shù)據(jù)塊起始地址

指明這是一個數(shù)據(jù)描述符指明數(shù)據(jù)的特征指明數(shù)組中元素個數(shù)指明數(shù)據(jù)塊的首地址注：描述符指令中并未給出具體數(shù)據(jù)，僅指出數(shù)據(jù)的性質(zhì)和存儲地點。標(biāo)志符與描述符表示的區(qū)別：參見教材P23數(shù)串的表示第23頁,共173頁，2024年2月25日，星期天基本思想：把符號位和數(shù)字位一起編碼來表示一個 實際的數(shù)。主要表示方法有：原碼、補碼、反碼、移碼等。各種編碼表示的數(shù)稱為機器數(shù)或機器碼；其對應(yīng)的真實數(shù)值稱為該編碼對應(yīng)的真值。數(shù)的機器碼表示2.1.2數(shù)的機器碼表示第24頁,共173頁，2024年2月25日，星期天1.原碼表示法若定點小數(shù)為x=±0.ｘ1ｘ2…ｘn，則其原碼表示的定義是：式中[ｘ]原是機器數(shù)，ｘ是真值。例如，ｘ＝+0.1001，則[ｘ]原＝0.1001ｘ＝-0.1001，則[ｘ]原＝1.1001數(shù)值符號數(shù)的原碼表示x1>x≥01-x=1+|x|0≥

x>-1第25頁,共173頁，2024年2月25日，星期天對于定點整數(shù)

x=±ｘ1ｘ2…ｘn，則原碼的定義是:對于定點整數(shù)，其原碼形式為：

[ｘ]原=ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn，

注意到：原碼機器中“+0”、“-0”

有兩種形式：對于定點小數(shù)：[+0]原=0.000…0[-0]原=1.000…0對于定點整數(shù)：[+0]原=0000…0.[-0]原=1000…0.數(shù)的原碼表示ｘ2n＞ｘ≥02n－ｘ＝2n＋|ｘ|

0≥ｘ＞－2n（2.8）符號數(shù)值第26頁,共173頁，2024年2月25日，星期天一般情況下，對于定點小數(shù)，其真值與原碼之間的轉(zhuǎn)換符合下面的規(guī)律：

x=+0.ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝0.ｘ1ｘ2…ｘnx=-0.ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝1.ｘ1ｘ2…ｘn對于定點整數(shù)，其真值與原碼之間的轉(zhuǎn)換符合下面的規(guī)律：

x=+ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝0ｘ1ｘ2…ｘn.x=-ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝1ｘ1ｘ2…ｘn.數(shù)的原碼表示第27頁,共173頁，2024年2月25日，星期天

原碼表示法的主要特點是簡單、易懂，但它的最大缺點是：由于數(shù)值部分采用絕對值表示，因而使得加減法運算比較復(fù)雜，而加減法運算正是計算機中最常使用的運算。所以，必須探討解決方法——補碼則正是一種解決方法。數(shù)的原碼表示第28頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.補碼表示法

補碼的概念（以鐘表對時為例）

假設(shè)現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)時間為4點正；而有一只表已經(jīng)7點了，為了校準(zhǔn)時間，可以采用兩種方法：一是將時針退7-4=3格；一是將時針向前撥12-3=9格。顯然：這兩種方法都能對準(zhǔn)到4點，由此可以看出，減3和加9是等價的。所以稱：當(dāng)模數(shù)Mod=12時，9是(-3)補碼。用數(shù)學(xué)公式表示：-3＝+9 （mod12）“模”表示被丟掉的數(shù)值。上式在數(shù)學(xué)上稱為同余式。

∴設(shè)某數(shù)為x，當(dāng)Mod=12時，x-3=x+9、x+7=x-5都是等價的。從這里可以得到一個啟示，就是負(fù)數(shù)用補碼表示時，可以把減法轉(zhuǎn)化為加法。數(shù)的補碼表示第29頁,共173頁，2024年2月25日，星期天補碼的定義：1、定點小數(shù)例如

ｘ＝+0.1011，則[ｘ]補＝0.1011；ｘ＝-0.1011，則[ｘ]補＝10+ｘ＝10.0000-0.1011

＝1.0101正數(shù)的補碼就是本身負(fù)數(shù)的補碼需作運算數(shù)的補碼表示x1>x≥02+x=2-|x|0≥

x≥-1(mod2)10.0000

-0.10111.0101第30頁,共173頁，2024年2月25日，星期天

根據(jù)補碼定義，求負(fù)數(shù)的補碼時需作一次減法運算，這顯然不是補碼方法的初衷。后面將介紹反碼表示法可以解決負(fù)數(shù)的求補問題。2、定點整數(shù)例：已知 x=+10111， y=-11011，

求[x]補、[y]補

(n=5)按定義：[x]補=010111 [y]補=25+1+y=1000000-11011=100101數(shù)的補碼表示x2n

>x≥0

2n+1+x=2n+1-|x|0≥

x≥-2n(mod

2n+1)

100000011011100101注：上式機器數(shù)的位數(shù)為n+1第31頁,共173頁，2024年2月25日，星期天數(shù)的補碼表示注：0的補碼只有一種形式

對于定點小數(shù):[＋0]補＝[－0]補＝0.0000

對于定點整數(shù):[＋0]補＝[－0]補＝00000.

因此，補碼的表示范圍相對于原碼、反碼來講多一種，定點小數(shù)可以表示-1，n+1位定點整數(shù)可以表示-2n。第32頁,共173頁，2024年2月25日，星期天3.反碼表示法二進制數(shù)求反：就是二進制的各位數(shù)碼0變?yōu)?，1變?yōu)?。即：若xi=0，則=1。若xi=1，則=0.對定點小數(shù)，反碼的定義參見書（2.11)式。數(shù)的反碼表示正數(shù)的反碼就是本身負(fù)數(shù)的反碼則是符號位為1，數(shù)值位求反。x1>x≥0(2-

2-n)

+x=(2-

2-n)_|x|0≥

x>-1(2.11)第33頁,共173頁，2024年2月25日，星期天由式（2.11）可以得出：[x]反+|x|=1.111…1=10.0…0-0.00…1=2-

2-n

得出：

[ｘ]反＝(2－2－n)＋ｘ

0≥

x>-1數(shù)的反碼表示第34頁,共173頁，2024年2月25日，星期天比較反碼與補碼的公式

[ｘ]反＝(2－2－n)＋ｘ

[ｘ]補＝2＋ｘ可得到：[ｘ]補＝[ｘ]反＋2－n由此可知一個由反碼求補碼的重要公式，即：一個負(fù)數(shù)的補碼，可以通過將該數(shù)符號位置1，其余取反，然后在最末位（2-n）上加1

的方法直接獲得。數(shù)的補碼與反碼關(guān)系第35頁,共173頁，2024年2月25日，星期天例：已知 x=+0.1011， y=-0.1101，

求[x]補、[y]補按定義：[x]補=0.1011 (注：正數(shù)的補碼就是該數(shù)本身）

[y]補=1.0010+0.0001 =1.0011 [y]反2-n注意到：1、0的反碼不唯一：[＋0]反＝0.00…0；[－0]反＝1.11…12、比較反碼與補碼的公式：[ｘ]反＝(2－2－n)＋ｘ

[ｘ]補＝2＋ｘ可知：補碼與反碼的關(guān)系為：[ｘ]補＝[ｘ]反＋2－n數(shù)的補碼與反碼關(guān)系第36頁,共173頁，2024年2月25日，星期天

上面的公式告訴我們，若要一個負(fù)數(shù)變補碼，其方法是符號位置1，其余各位0變1，1變0，然后在最末位(2-n)上加1。對定點整數(shù)，反碼表示的定義為：也可以用同樣的方法得出定點整數(shù)的補碼與反碼的關(guān)系，找出利用反碼求定點整數(shù)補碼的方法。x2n

>x≥0

(2n+1-1)+x0≥

x≥-2n(2.13)數(shù)的補碼與反碼關(guān)系第37頁,共173頁，2024年2月25日，星期天

求一個數(shù)的補碼的另一種有效的轉(zhuǎn)換方法：

對于負(fù)數(shù)，將原碼的符號位不變（或置真值的符號位至1），數(shù)值部分由低位向高位轉(zhuǎn)換，對開始遇到的0和第一個1取其原碼，以后的各位均取反。例：y=-0.110100，

求[y]補解：[y]補=1.001

100保持不變逐位取反[y]反=1.001011[y]補=1.001011+0.000001=1.001100數(shù)的補碼與反碼關(guān)系第38頁,共173頁，2024年2月25日，星期天4.移碼表示法

在計算機中，移碼通常用于表示浮點數(shù)的階碼。由于階碼一般取整數(shù)，所以移碼通常只用于整數(shù)的表示。對定點整數(shù)，移碼的定義是：

[ｘ]移＝2n＋ｘ

2n＞ｘ≥－2n（n為移碼數(shù)值部分的位數(shù)）移碼的表示方法第39頁,共173頁，2024年2月25日，星期天例：若階碼數(shù)值部分為5位，以ｘ表示真值，則

[ｘ]移＝25＋ｘ

25＞ｘ≥－25

又例：當(dāng)正數(shù)ｘ＝＋10101時，[ｘ]移＝1，10101

當(dāng)負(fù)數(shù)ｘ＝－10101時，[ｘ]移＝25＋ｘ＝25－10101＝0，01011。注意到：移碼中的逗號不是小數(shù)點，而是表示左邊一位是符號位。顯然，移碼中符號位ｘ0表示的規(guī)律與原碼、補碼、反碼相反。移碼的表示范圍和補碼一致，0只有一種表示方式，只是符號位正好相反。移碼的表示方法第40頁,共173頁，2024年2月25日，星期天機器碼表示法小結(jié)：在數(shù)據(jù)的四種機器表示法中，正數(shù)的原碼、反碼、補碼等于真值，只有負(fù)數(shù)才分別有不同的表示方法。補碼和移碼的0只有一種表示方法，因此其表示范圍相對于原碼和反碼多一種，定點小數(shù)可表示-1（移碼沒有小數(shù)形式），正數(shù)可表示-2n。移碼表示法主要用于表示浮點數(shù)的階碼，可以直接比較大小。表示范圍和補碼相同，只有最高位相反。機器碼表示法小結(jié)第41頁,共173頁，2024年2月25日，星期天由于補碼表示對加減法運算十分方便，因此目前機器中廣泛采用補碼表示法。在這類機器中數(shù)用補碼表示，補碼存儲，補碼運算。（也有些機器，數(shù)用原碼進行存儲和傳送，運算時改用補碼。還有些機器在做加減法時用補碼運算，在做乘除法時用原碼運算）機器碼表示法小結(jié)第42頁,共173頁，2024年2月25日，星期天[例3]以定點整數(shù)為例，用數(shù)軸形式說明原碼、反碼、補碼表示范圍和可能的數(shù)碼組合情況。

[解:]

原碼、反碼、補碼表示分別示于下圖。與原碼、反碼不同，在補碼表示中“0”只有一種形式，且用補碼表示負(fù)數(shù)時范圍可到－2n

。機器碼表示法小結(jié)第43頁,共173頁，2024年2月25日，星期天[例4]將十進制真值(－127，－1，0，＋1，＋127)列表表示成二進制數(shù)及原碼、反碼、補碼、移碼值。

[解:]

二進制真值ｘ及其諸碼值列于下表，其中0在[ｘ]原[ｘ]反中有兩種表示。由表中數(shù)據(jù)可知，補碼值與移碼值差別僅在于符號位不同。機器碼表示法小結(jié)第44頁,共173頁，2024年2月25日，星期天[例5]

設(shè)機器字長16位，定點表示，尾數(shù)15位，數(shù)符1位，問：

(1)定點原碼整數(shù)表示時，最大正數(shù)是多少?最小負(fù)數(shù)是多少?

(2)定點原碼小數(shù)表示時，最大正數(shù)是多少?最小負(fù)數(shù)是多少?

[解:](1)定點原碼整數(shù)表示

最大正數(shù)值＝(215－1)10＝(＋32767)10

=0111111111111111

最小負(fù)數(shù)值＝－(215－1)10＝(－32767)10

=1111111111111111

（15個1）機器碼表示法小結(jié)(2)定點原碼小數(shù)表示

最大正數(shù)值＝(1－2－15)10＝(＋0.111...11)2

最小負(fù)數(shù)值＝－(1－2－15)10＝(－0.111..11)2

第45頁,共173頁，2024年2月25日，星期天[例6]假設(shè)由S，E，M三個域組成的一個32位二進制字所表示的非零規(guī)格化浮點數(shù)ｘ，真值表示為：

ｘ＝(－1)s×(1.M)×2E－128

問：它所表示的規(guī)格化的最大正數(shù)、最小正數(shù)、最大負(fù)數(shù)、最小負(fù)數(shù)是多少？

[解:](1)最大正數(shù)11111111111111111111111111111110ｘ＝[1＋(1－2-23)]×2127(2)最小正數(shù)

00000000000000000000000000000000ｘ＝1.0×2－128機器碼表示法小結(jié)第46頁,共173頁，2024年2月25日，星期天(4)最大負(fù)數(shù)

00000000000000000000000000000000ｘ＝－1.0×2－128

11111111111111111111111111111111ｘ＝－[1＋(1－2－23)]×2127

(3)最小負(fù)數(shù)機器碼表示法小結(jié)第47頁,共173頁，2024年2月25日，星期天1.字符的表示方法

目前國際上普遍采用的字符系統(tǒng)是七單位的ASCII碼(美國國家信息交換標(biāo)準(zhǔn)字符碼)，它包括10個十進制數(shù)碼，26個英文字母和一定數(shù)量的專用符號，如$，%，＋，＝等，共128個元素，因此二進制編碼需7位，加一位偶校驗位，共8位一個字節(jié)。

ASCII碼規(guī)定8個二進制位的最高一位為0，余下的7位可以給出128個編碼，表示128個不同的字符。字符和字符串的表示方法2.1.3字符與字符串的表示方法第48頁,共173頁，2024年2月25日，星期天表2.1ASCII字符編碼表0000010100111001011101110000NULDELSP0@Pp0001SOHDC1!1AQaq0010STXDC2“2BRbr0011ETXDC3#3CScs0100EOTDC4$4DTdt0101ENQNAK%5EUeu0110ACKSYN&6FVfv0111DELETB7GWgw1000BSCAN(8HXhx1001HTEM)9IYiy1010LFSUB*:JZjz1011VTESC+；K[k{1100FFFS，<L\1|1101CRGS-=M]m}1110SORS.>Nn~1111SIUS/?O_oDEL0-3位4-6位第49頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.字符串字符串：是指連續(xù)的一串字符，通常方式下，它們依次占用主存中連續(xù)的多個字節(jié)，每個字節(jié)存一個字符。[例]將字符串：

IF└┘A>B└┘THEN└┘READ(C)

從高位字節(jié)到低位字節(jié)依次存在主存中。[解:]設(shè)：主存單元長度由4個字節(jié)組成。每個字節(jié)中存放相應(yīng)字符的ASCII值，文字表達式中的空格“└┘”在主存中也占一個字節(jié)的位置。因而每個字節(jié)分別存放十進制的73、70、32、65、62、66、32、84、72、69、78、32、82、69、65、68、40、67、41、32。

字符和字符串的表示方法第50頁,共173頁，2024年2月25日，星期天IF空A>B空THEN空READ（C）空主存各字節(jié)單元內(nèi)容字符和字符串的表示方法第51頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.1.4漢字的表示方法1.漢字的輸入編碼包括：數(shù)字碼、拼音碼和字形碼數(shù)字碼：常用的是國標(biāo)區(qū)位碼，用數(shù)字串代表一個漢字輸入。數(shù)字編碼輸入的優(yōu)點是無重碼，且輸入碼與內(nèi)部編碼的轉(zhuǎn)換比較方便；缺點是代碼難以記憶。拼音碼：拼音碼是以漢字拼音為基礎(chǔ)的輸入方法。使用簡單方便，但漢字同音字太多，輸入重碼率很高，同音字選擇影響了輸入速度。字形碼：字形編碼是用漢字的形狀來進行的編碼（例：五筆字型）。把漢字的筆劃部件用字母或數(shù)字進行編碼，按筆劃的順序依次輸入，就能表示一個漢字。漢字的表示方法（漢字的輸入編碼）第52頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.漢字內(nèi)碼

漢字內(nèi)碼是用于漢字信息的存儲、交換、檢索等操作的機內(nèi)代碼，一般采用兩個字節(jié)表示。英文字符的機內(nèi)代碼是七位的ASCII碼，當(dāng)用一個字節(jié)表示時，最高位為“0”。為了與英文字符能相互區(qū)別，漢字機內(nèi)代碼中兩個字節(jié)的最高位均規(guī)定為“1”。注意：有些系統(tǒng)中字節(jié)的最高位用于奇偶校驗位，這種情況下用三個字節(jié)表示漢字內(nèi)碼。漢字的表示方法（漢字的內(nèi)碼）第53頁,共173頁，2024年2月25日，星期天3.漢字字模碼字模碼是用點陣表示的漢字字形代碼，它是漢字的輸出形式。例如：字模碼漢字的表示方法（漢字字模碼）漢字的字模碼為：16位×16位=32字節(jié)第54頁,共173頁，2024年2月25日，星期天注意到：字模點陣只能用來構(gòu)成漢字庫，而不能用于機內(nèi)存儲。字庫中存儲了每個漢字的點陣代碼，用于漢字的顯示輸出或打印輸出。當(dāng)顯示輸出或打印輸出時才檢索字庫，輸出字模點陣，得到字形。漢字的輸入編碼、漢字內(nèi)碼、字模碼是計算機中用于輸入、內(nèi)部處理、輸出三種不同用途的編碼，不要混為一談。漢字的表示方法（漢字字模碼）第55頁,共173頁，2024年2月25日，星期天

各種因素常常導(dǎo)致計算機在處理信息過程中出現(xiàn)錯誤。為了防止錯誤，可將信號采用專門的邏輯線路進行編碼以檢測錯誤，甚至校正錯誤。2.1.5校驗碼最簡單且應(yīng)用廣泛的檢錯碼方法是奇偶校驗法，即：采用一位校驗位的奇校驗或偶校驗的方法。設(shè)ｘ＝(ｘ0ｘ1…ｘn－1)是一個n位字，則奇校驗位Ｃ定義為：C＝ｘ0⊕ｘ1⊕…⊕ｘn－1式中⊕代表按位加，

只有當(dāng)ｘ中包含有奇數(shù)個1時，才使C＝1，即C＝0。同理，偶校驗位Ｃ定義為：C＝ｘ0⊕ｘ1⊕…⊕ｘn－1

即ｘ中包含偶數(shù)個1時，才使C＝0。效驗碼第56頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.2定點加法減法運算

2.20二進制的運算規(guī)則2.2.1補碼加法2.2.2補碼減法2.2.3溢出概念與檢驗方法2.2.4基本的二進制加法、減法器2.2.5十進制加法器定點加減法運算第57頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.2.0二進制數(shù)的運算規(guī)則算術(shù)運算：加法規(guī)則：補碼的加法0+0=0+1=1+0=1+1=01110益處例：110101+101101=110101101101+1010010第58頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.2.0二進制數(shù)的運算規(guī)則算術(shù)運算：減法規(guī)則：補碼的加法0-0=0-1=1-0=1-1=0110向高位借位例：110101-101101=110101101101-001000注：當(dāng)被減數(shù)小于減數(shù)的時候，可以將其互換位置，結(jié)果為負(fù)號。第59頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.2.0二進制數(shù)的運算規(guī)則算術(shù)運算：乘法規(guī)則：補碼的加法0*0=0*1=1*0=1*1=0001例：110101*101101=110101101101*100101第60頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.2.0二進制數(shù)的運算規(guī)則算術(shù)運算：除法規(guī)則：補碼的加法0/1=1/1=01例：110111/101=11011110110111110110110101011第61頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.2.0二進制數(shù)的運算規(guī)則邏輯運算：邏輯或規(guī)則：補碼的加法0+0=0+1=1+0=1+1=0111例：110101+101101=110101101101+111101用“V”或“+”表示：第62頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.2.0二進制數(shù)的運算規(guī)則邏輯運算：邏輯與規(guī)則：補碼的加法0。0=0。1=1。0=1。1=0001例：110101.101101=110101101101。100101用“/\”或“.”表示：第63頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.2.0二進制數(shù)的運算規(guī)則邏輯運算：邏輯非規(guī)則：補碼的加法0=1=10例：110101=001010用“-”表示：第64頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.2.0二進制數(shù)的運算規(guī)則邏輯運算：邏輯異或規(guī)則：補碼的加法0⊕0=0⊕1=1⊕0=1⊕1=0110例：110101⊕101101=110101101101⊕011000用⊕或表示：第65頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.2.1原碼加法符號位相同的原碼相加：直接相加符號位不同的原碼相加：做減法運算補碼的加法[例]：ｘ＝+0.1001，

ｙ＝+0.0101（+0.1001）

+（+0.0101）

+0.1110

所以ｘ＋ｙ＝+0.1110第66頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.2.1原碼加法符號位相同的原碼相加：直接相加符號位不同的原碼相加：做減法運算補碼的加法[例]：ｘ＝+0.1001，

ｙ＝-0.0101（+0.1001）

-（-0.0101）

+0.1110

所以ｘ＋ｙ＝+0.1110第67頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.2.1補碼加法補碼加法的公式是：[ｘ]補＋[ｙ]補＝[ｘ＋ｙ]補(mod2)

補碼的加法[例8]：[ｘ]補＝0.1001，[ｙ]補＝0.0101[ｘ]補

0.1001＋[ｙ]補

0.0101

[ｘ＋ｙ]補

0.1110

所以ｘ＋ｙ＝＋0.1110第68頁,共173頁，2024年2月25日，星期天[例9]：ｘ＝＋0.1011，

ｙ＝－0.0101，求ｘ＋ｙ。[解:][ｘ]補＝0.1011，[ｙ]補＝1.1011[ｘ]補

0.1011＋[ｙ]補1.1011

[ｘ＋ｙ]補

10.0110

所以ｘ＋ｙ＝最高位1自行丟失可見，補碼加法的特點為：

1、符號位作為數(shù)的一部分直接參加運算；

2、要在模2的意義下相加，即超過2的進位要自動丟掉。整數(shù)的計算同樣適合，只是模不同。補碼的加法第69頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.2.2補碼減法補碼的減法公式如下：[ｘ－ｙ]補＝[ｘ]補－[ｙ]補＝[ｘ]補＋[－ｙ]補補碼的減法[例10]

已知ｘ1＝－0.1110，ｘ2＝＋0.1101，

求：[ｘ1]補，[－ｘ1]補，

[ｘ2]補，[－ｘ2]補。[解:]

[ｘ1]補＝1.0010[－ｘ1]補＝0.1110[ｘ2]補＝[－ｘ2]補＝0.11011.0011第70頁,共173頁，2024年2月25日，星期天[例11]

ｘ＝＋0.1101，

ｙ＝＋0.0110，

求ｘ－ｙ。[解]:[ｘ]補＝0.1101

[ｙ]補＝0.0110，[－ｙ]補＝1.1010[ｘ]補

0.1101＋[－ｙ]補

1.1010

[ｘ－ｙ]補

補碼的減法所以：ｘ－ｙ=＋0.011110.0111溢出、舍掉第71頁,共173頁，2024年2月25日，星期天[又例]

ｘ＝＋0.0111，ｙ＝-0.0110，求ｘ－ｙ。[解]：

[ｘ]補＝0.0111

[ｙ]補＝1.1010

[－ｙ]補＝0.0110

[ｘ]補

0.0111＋[－ｙ]補

0.0110

[ｘ－ｙ]補

所以：

ｘ－ｙ=補碼的減法0.1101>00.1101第72頁,共173頁，2024年2月25日，星期天[又例]

ｘ＝+0.0110，ｙ＝+0.1110，求ｘ－ｙ。[解]：

[ｘ]補＝0.0110

[ｙ]補＝0.1110

[－ｙ]補＝1.0010

[ｘ]補

0.0110＋[－ｙ]補

1.0010

[ｘ－ｙ]補

所以：

ｘ－ｙ＝補碼的減法1.1000-0.1000第73頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.2.3溢出概念與檢測方法

以定點小數(shù)為例：在定點小數(shù)機器中，數(shù)的表示范圍為|ｘ|<1.在運算過程中如出現(xiàn)大于1的現(xiàn)象，稱為“溢出”。（這在定點機中是不允許的）

機器定點小數(shù)表示如：兩個正數(shù)相加，結(jié)果為負(fù)（即：大于機器所能表示的最大正數(shù)），稱為上溢。而兩個負(fù)數(shù)相加，結(jié)果為正（即：小于機器所能表示的最小負(fù)數(shù))，稱為下溢。溢出概念與檢測方法第74頁,共173頁，2024年2月25日，星期天[例12]

ｘ＝＋0.1011，

ｙ＝＋0.1001，

求ｘ＋ｙ。[解:]

[ｘ]補＝0.1011，[ｙ]補＝0.1001[ｘ]補

0.1011＋[ｙ]補

0.1001[ｘ＋ｙ]補

溢出概念與檢測方法有進位無進位1.0100兩正數(shù)相加，結(jié)果為負(fù)，顯然錯誤。（運算中出現(xiàn)了“上溢”）第75頁,共173頁，2024年2月25日，星期天[又例]

ｘ＝＋0.1011，

ｙ＝＋0.0010，

求ｘ＋ｙ。[解:]

[ｘ]補＝0.1011，[ｙ]補＝0.1001[ｘ]補

0.1011＋[ｙ]補

0.0010[ｘ＋ｙ]補

溢出概念與檢測方法無進位無進位0.1101兩正數(shù)相加，結(jié)果為正，無溢出第76頁,共173頁，2024年2月25日，星期天[例13]

ｘ＝－0.1101，

ｙ＝－0.1011，

求ｘ＋ｙ。[解:]

[ｘ]補＝1.0011[ｙ]補＝1.0101

[ｘ]補

1.0011

＋[ｙ]補

1.0101[ｘ＋ｙ]補

兩負(fù)數(shù)相加，結(jié)果為正，顯然錯誤。（運算中出現(xiàn)了“下溢”）溢出概念與檢測方法10.1000有溢出第77頁,共173頁，2024年2月25日，星期天[又例]

ｘ＝－0.1101，

ｙ＝－0.1011，

求ｘ＋ｙ。[解:]

[ｘ]補＝1.0011[ｙ]補＝1.0101

[ｘ]補

1.0011

＋[ｙ]補

1.0101[ｘ＋ｙ]補

兩負(fù)數(shù)相加，結(jié)果為正，顯然錯誤。（運算中出現(xiàn)了“下溢”）溢出概念與檢測方法無進位有進位0.1000第78頁,共173頁，2024年2月25日，星期天[又例]

ｘ＝－0.1101，

ｙ＝－0.0010，

求ｘ＋ｙ。[解:]

[ｘ]補＝1.0011[ｙ]補＝1.1110

[ｘ]補

1.0011

＋[ｙ]補

1.1110[ｘ＋ｙ]補

1.0001兩負(fù)數(shù)相加，結(jié)果為負(fù)，無溢出。溢出概念與檢測方法有進位有進位第79頁,共173頁，2024年2月25日，星期天產(chǎn)生“溢出”的原因：

分析可知，當(dāng)最高有效數(shù)值位的運算進位與符號位的運算進位不一致時，將產(chǎn)生運算“溢出”。進一步結(jié)論：

當(dāng)最高有效位產(chǎn)生進位而符號位無進位時，產(chǎn)生上溢；當(dāng)最高有效位無進位而符號位有進位時，產(chǎn)生下溢。溢出概念與檢測方法第80頁,共173頁，2024年2月25日，星期天“溢出”檢測方法：

為了判斷“溢出”是否發(fā)生，可采用兩種檢測的方法。第一種方法：采用雙符號位法，這稱為“變形補碼”或“模4補碼”，從而可使模2補碼所能表示的數(shù)的范圍擴大一倍。變形補碼定義為(mod4)

：x2>x≥04+x=4-|x|0≥

x≥-2(2.22)溢出概念與檢測方法或用同余式表示：[ｘ]補＝4＋ｘ(mod4)下式也同樣成立：

[ｘ]補＋[ｙ]補＝[ｘ＋ｙ]補

(mod4)第81頁,共173頁，2024年2月25日，星期天

1.兩個符號位都看作數(shù)碼一樣參加運算。

2.兩數(shù)進行以4位模的加法，即最高符號位上產(chǎn)生的進位要丟掉。

采用變形補碼后，如果兩個數(shù)相加后，其結(jié)果的符號位出現(xiàn)“01”或“10”兩種組合時，表示發(fā)生溢出。這是因為兩個絕對值小于1的數(shù)相加，其結(jié)果不會大于或等于2。所以，最高符號位所表示的是結(jié)果的正確符號。溢出概念與檢測方法為了得到兩數(shù)變形補碼之和等于兩數(shù)之和的變形補碼，

同樣必須：第82頁,共173頁，2024年2月25日，星期天

[例14]

ｘ＝＋0.1100，

ｙ＝＋0.1000，求ｘ＋ｙ。溢出概念與檢測方法[解]

:

[ｘ]補＝00.1100，[ｙ]補＝00.1000

[ｘ]補

00.1100

＋[ｙ]補

00.1000

兩個符號位出現(xiàn)“01”，表示已溢出，即結(jié)果大于＋1。上溢01.0100第83頁,共173頁，2024年2月25日，星期天

[又例]

ｘ＝＋0.1100，

ｙ＝＋0.0001，求ｘ＋ｙ。溢出概念與檢測方法[解]

:

[ｘ]補＝00.1100，[ｙ]補＝00.1000

[ｘ]補

00.1100

＋[ｙ]補

00.0001

兩個符號位=“00”，表示無溢出。00.1101第84頁,共173頁，2024年2月25日，星期天

[例15]

ｘ＝－0.1100，

ｙ＝-0.1000，求ｘ＋ｙ。溢出概念與檢測方法[解]

:

[ｘ]補＝11.0100，[ｙ]補＝11.1000

[ｘ]補

11.0100＋[ｙ]補

11.1000

兩個符號位出現(xiàn)“10”，表示已溢出，即結(jié)果小于－1。下溢10.1100第85頁,共173頁，2024年2月25日，星期天

[又例]

ｘ＝－0.0100，

ｙ＝-0.1000，求ｘ＋ｙ。溢出概念與檢測方法[解]

:

[ｘ]補＝11.1100，[ｙ]補＝11.1000

[ｘ]補

11.1100＋[ｙ]補

11.1000

兩個符號位出現(xiàn)“11”，表示無溢出。11.0100第86頁,共173頁，2024年2月25日，星期天溢出概念與檢測方法由此可以得出如下結(jié)論：1.當(dāng)以模4補碼運算，運算結(jié)果的二符號位相異時，表示溢出；相同時，表示未溢出。故溢出邏輯表達式為

V＝Sf1⊕Sf2，其中Sf1和Sf2分別為最高符號位和第二符號位。此邏輯表達式可用異或門實現(xiàn)。2.模4補碼相加的結(jié)果，不論溢出與否，最高符號位始終指示正確的符號。

第87頁,共173頁，2024年2月25日，星期天溢出概念與檢測方法

第二種溢出檢測方法：采用“單符號位法”。從例1和例2中看到:(1).當(dāng)最高有效位產(chǎn)生進位而符號位無進位時，產(chǎn)生上溢；(2).當(dāng)最高有效位無進位而符號位有進位時，產(chǎn)生下溢。

故：溢出邏輯表達式為：

V＝Cr⊕Co其中:

Cf為符號位產(chǎn)生的進位，Co為最高有效位產(chǎn)生的進位。（顯然：此邏輯關(guān)系可用異或門方便地實現(xiàn)）。

在定點機中，當(dāng)運算結(jié)果發(fā)生溢出時，機器通過邏輯電路自動檢查出溢出故障，并進行中斷處理。

第88頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.3定點乘法運算

2.3.1原碼一位乘法及其實現(xiàn)2.3.2定點補碼一位乘法及其實現(xiàn)2.3.3原碼兩位乘法2.3.4補碼兩位乘法2.3.5定點除法及其實現(xiàn)定點乘法運算第89頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.3.1原碼一位乘法及其實現(xiàn)在定點計算機中，用兩個原碼表示的數(shù)相乘，其乘積的符號由兩數(shù)的符號位異或得到，乘積的數(shù)值部分是兩數(shù)的絕對值相乘之積。例如，有兩個數(shù)X和Y,[X]原=XsX1X2

…Xn[Y]原=YsY1Y2

…Yn則[X*Y]原=[X]原*[Y]原。乘積的符號位為：Xs⊕Ys乘積的數(shù)值部分為：（X1X2

…Xn）*（Y1Y2

…Yn）。第90頁,共173頁，2024年2月25日，星期天例如：X=0.1001,Y=0.1101求Z=X*Y

解：0.1001X0.110110010000100110010.01110101得到相乘結(jié)果X*Y=0.01110101第91頁,共173頁，2024年2月25日，星期天 在計算機中實現(xiàn)乘法運算的方法是：移們相加，即采用部分積右移的方法。其運算規(guī)則是：根據(jù)乘數(shù)Y絕對值每個數(shù)位上的值Yi是“1”還是“0”(從最低位Y0開始)，決定本次部分積是加上被乘數(shù)X的絕對值，還是加上全“0”，得到的新部分積右移一位，再重復(fù)上面的動作，直到乘法做完為止。

第92頁,共173頁，2024年2月25日，星期天【例4.20】X=+11010，Y=+10110，求Z=X*Y

解：[X]原=0.11010，[Y]原=0.10110乘積的符號位Z0=0⊕0=0乘積的數(shù)值部分是兩數(shù)的絕對值相乘。開始時，部分積為全“0”。第93頁,共173頁，2024年2月25日，星期天所得結(jié)果Z=+0.1000111100。有時部分積的符號位出現(xiàn)“1”，并不是出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，而是部分積的值超出了“1”，右移時符號位應(yīng)補“0”。

第94頁,共173頁，2024年2月25日，星期天部分積乘數(shù)判別位0.000000101101

X=110101,y=101101,求x*y+0.110101101101

+0.110101101101

+0.011010110110

1

+0.000000110110

1

+0.011010110110

1

+0.001101011011

0

1

+0.110101011011

01+1.000010011011

01第95頁,共173頁，2024年2月25日，星期天部分積乘數(shù)判別位X=110101,y=101101,求x*y+1.000010011011

01+0.1000010

01101

1

01+0.1101010

01101

1

01+1.0101100

01101

1

01+0.1010110

0

0110

1

1

01+0.0000000

0

0110

1

1

01+0.1010110

0

0110

1

1

01+0.01010110

0

01

1

0

1

1

01+0.11010110

0

01

1

0

1

1

01+1.00101010

0

01

1

0

1

1

01+0.100101010

0

01

1

0

1

1

01第96頁,共173頁，2024年2月25日，星期天要實現(xiàn)原碼一位乘法，乘積的符號可以用異或門實現(xiàn)，異或門的兩個輸入為相乘兩數(shù)的符號，輸出即為乘積的符號。下圖給出了實現(xiàn)原碼一位乘法的邏輯電路框圖，以實現(xiàn)對相乘兩數(shù)的數(shù)值位相乘。

實現(xiàn)原碼一位乘法的邏輯電路框圖

RS基本觸發(fā)器時鐘脈沖判別位第97頁,共173頁，2024年2月25日，星期天主要組成部件有：寄存器A，存放計算的部分積Z，具有自動移位功能；寄存器B，存放被乘數(shù)X；寄存器C，存放乘數(shù)Y，具有自動移位功能；加法器F，進行部分積和被乘數(shù)相加；計數(shù)器i，用來控制逐位相乘的次數(shù)?？刂菩盘朅→F、B→F分別通過與門控制部分積、被乘數(shù)送入加法器F進行相加；控制信號A/2→A、C/2→C分別控制寄存器A、C自行右移一位。第98頁,共173頁，2024年2月25日，星期天2.3.2定點補碼一位乘法及其實現(xiàn)(重點)假設(shè)兩個數(shù)X和Y相乘，X=x0.x1x2x3…xn;Y=y0.y1y2y3…y兩個正數(shù)補碼數(shù)相乘，其結(jié)果應(yīng)直接得到乘積的補碼： [X]補*[Y]補=[X*Y]補因為：

[X*Y]補=X*Y=[X]原*[Y]原=[X]補*[Y]補那么：X、Y為任意符號呢？第99頁,共173頁，2024年2月25日，星期天⑴當(dāng)被乘數(shù)X的符號為任意，乘數(shù)Y的符號為正。因為Y≥0，[Y]補=Y，則[X]補*[Y]補=[X]補*Y=[X*Y]補由于：[X]補*[Y]補=[X]補*Y =[X]補*（0.y1y2y3…yn）

=[X*Y]補第100頁,共173頁，2024年2月25日，星期天⑵當(dāng)被乘數(shù)X的符號為任意，乘數(shù)Y的符號為負(fù)。因為Y<0，則（3）綜上所述：這種情況，結(jié)果應(yīng)該進行修正，把【X】補*2n作為修正值，其運算規(guī)則如下：A、符號位參加運算，結(jié)果和符號由運算結(jié)果得出，重復(fù)執(zhí)行N步右移操作進行相加；B、當(dāng)乘數(shù)Y為負(fù)數(shù)時，需進行N+1步操作，進行修正。C、當(dāng)被乘數(shù)X與乘數(shù)Y均為任意的情況時，應(yīng)該用比較法補碼乘法。既BOOTH法第101頁,共173頁，2024年2月25日，星期天⑶BOOTH法假設(shè)兩個數(shù)X和Y相乘，X=x0.x1x2x3…xn;Y=y0.y1y2y3…y當(dāng)被乘數(shù)X和乘數(shù)Y的符號都任意時侯。

[X*Y]補=[X]補*（0.y1y2y3…yn）-[X]補*y0

=[X]補*（-y0+0.y1y2y3…yn）

=[X]補*（-y0+y1*2-1+y2*2-2+y3*2-3…yn*2-n)=[X]補*{(y1-y0)+(y2-y1)*2-1+(y3-y2)*2-2+(y4-y3) *2-3…(yn-yn-1)*2-(n-1)+(0-yn)*2-n}第102頁,共173頁，2024年2月25日，星期天寫成遞推公式：[Z0]補=0[Z1]補=2-1*{[Z0]補+(Yn+1-Yn)*[X]補

}

Yn+1=0[Z2]補=2-1*{([Z1]補+(Yn-Yn-1)*[X]補)}[Z3]補=2-1*{([Z2]補+(Yn-1-Yn-2)*[X]補)} ┇[Zi]補=2-1*{([Zi-1]補+(Yn-i+2-Yn-i+1)*[X]補)} ┇[Zn+1]補=([Zn]補+(Y1-Y0)*[X]補)最后乘積為[Zn+1]補式中，Yn+1為附加位，在Yn+1以后，Yn+1=0。第103頁,共173頁，2024年2月25日，星期天由此，可以總結(jié)出比較法補碼乘法的規(guī)則：在作補碼一位乘法時，在乘數(shù)的最末位后面再加一位附加位yn+1。開始時，yn+1=0，第一步運算是根據(jù)yn+1yn這兩位的值判斷后決定，然后再根據(jù)ynyn-1這兩位的值判斷第二步該作什么運算，再根據(jù)yn-2yn-3這兩位的值判斷第三步該作什么運算，如此等等。因為每進行一步，乘數(shù)都要右移一位，yn-1yn

就移到y(tǒng)nyn+1位置上。作第三步時，原來的yn-2yn-1移到了yn-1yn位置上。所以每次只要判斷ynyn+1這兩位