2023-2024學(xué)年南京師大附中高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試卷附答案解析

-2024學(xué)年南京師大附中高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試卷考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分2024.4一、單項(xiàng)選擇題1．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．3．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合.若角的終邊繞著原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．34．若向量，滿足，，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．在中，為邊上一點(diǎn)，，，，則的值為（

）A． B． C． D．6．化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．27．如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，有下列四個(gè)說(shuō)法：

甲：；乙：；丙：；?。?；若其中有且僅有一個(gè)說(shuō)法是錯(cuò)誤的，則該錯(cuò)誤的說(shuō)法為（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．在中內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè)的面積為，若，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若，且，則有兩解B．若，且為銳角三角形，則的取值范圍為C．若，且，則的外接圓半徑為D．若，則的最大值為二、多項(xiàng)選擇題9．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若為銳角三角形，則C．若，則一定是等腰直角三角形D．若，，則一定是等邊三角形10．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為.下列條件能推出的是（

）A．B．C．，且D．，設(shè)向量，，在上的投影向量為11．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)，，分別是的重心，垂心，外心.若，則以下說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題12．在中，點(diǎn)是邊上（不包含端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.13．如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸，兩點(diǎn)之間的距離，在河岸這邊取點(diǎn)，，測(cè)得的長(zhǎng)為12千米，在點(diǎn)處測(cè)得，，在點(diǎn)處測(cè)得，.則，兩點(diǎn)間的距離為千米.（設(shè)，，，四點(diǎn)在同一平面內(nèi)）14．設(shè)，為實(shí)數(shù)，已知，，則的值為.四、解答題15．已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)設(shè)為實(shí)數(shù)，若，求的值.16．在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到下面的橫線上，并給出解答.（注：如果選擇多個(gè)條件份分別進(jìn)行解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）①；②；③向量，，.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且___________.(1)求；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.17．已知，為單位向量，設(shè)向量，.(1)若，求與的夾角；(2)若，設(shè)向量，的夾角為，求的最小值.18．在扇形中，圓心角，半徑，點(diǎn)在弧上（不包括端點(diǎn)），設(shè).(1)求四邊形的面積關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)求四邊形的面積的取值范圍；(3)托勒密所著《天文學(xué)》第一卷中載有弦表，并且講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：在圓的內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積的和.先分別在線段，上取點(diǎn)，，使得為等邊三角形，求面積的最小值.19．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，的面積為.(1)求；(2)若點(diǎn)在內(nèi)部，滿足，求的值；(3)若所在平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，求的值.1．D【分析】直接利用余弦定理解三角形即可.【詳解】，所以.故選：D.2．C【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)進(jìn)行數(shù)量積、共線、垂直和模長(zhǎng)計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C.3．A【分析】設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角為，則，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再根據(jù)兩角和的正切公式即可得解.【詳解】設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角為，則，，所以.故選：A.4．D【分析】根據(jù)向量等式關(guān)系化簡(jiǎn)，求得的值，再求出在上的投影向量即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，化?jiǎn)得，所以在上的投影向量是.故選：D.5．C【分析】由正弦定理求得，繼而求出，再根據(jù)三角形外角定理，結(jié)合兩角和的正弦公式，求得答案.【詳解】如圖示：在中，由正弦定理得：,故,而,故只能是銳角，故，所以，故選：C6．B【分析】先切化弦并整理得，再結(jié)合展開(kāi)整理即可得答案.【詳解】解：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換求函數(shù)值，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于先根據(jù)切化弦的方法整理得，再根據(jù)化簡(jiǎn)整理即可求解.7．A【分析】結(jié)合三角形重心性質(zhì)及向量線性運(yùn)算進(jìn)行合情推理即可判斷.【詳解】若，則點(diǎn)是的重心，則有，所以甲乙中必有一個(gè)是錯(cuò)誤的，所以丙丁正確，由?。褐?，點(diǎn)不是邊的中點(diǎn)，所以甲說(shuō)法錯(cuò)誤.故選：A8．D【分析】首先證明題干中的條件等價(jià)于，然后逐個(gè)選項(xiàng)判斷：對(duì)于A，直接解出兩種可能的情況即可判斷A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，用正弦定理證明，然后求的范圍即可判斷B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，求出的三邊，然后說(shuō)明是直角，從而得到，即可判斷C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，直接給出使得的一個(gè)滿足條件的例子，即可說(shuō)明D選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】若，由，可知，即，從而.若，則.從而條件等價(jià)于.對(duì)于A，若，且，由余弦定理得，即，解得或.由于當(dāng)三角形的三邊確定后，三角形唯一確定，故只有兩種可能.經(jīng)驗(yàn)證，的以下兩種情況都是可能的：①，，，，，；②，，，，，.故有兩種可能，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，若，且為銳角三角形，由于，而為銳角三角形即，，解得，從而的范圍是，故的范圍是，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，若，且，則，且，故，從而.而，故，從而，.這意味著，，，所以，從而，故，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若，由于，，故存在使得，，的，此時(shí)，，滿足條件.在此情況下，有，故，從而，從而此時(shí)，這表明不可能以為最大值，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理，對(duì)條件進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，以研究需要研究的參數(shù).9．ABD【分析】A選項(xiàng)根據(jù)大邊對(duì)大角結(jié)合正弦定理分析，B選項(xiàng)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷，C選項(xiàng)利用余弦定理統(tǒng)一成邊化簡(jiǎn)后可判斷，D選項(xiàng)利用余弦定理進(jìn)行判斷.【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)大角對(duì)大邊，，根據(jù)正弦定理可得，其中為三角形外接圓半徑，于是，正確；B選項(xiàng)，若為銳角三角形，則，所以，則，正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，即，整理可得，所以或，故為等腰三角形或直角三角形，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由于，，由余弦定理可得，可得，解得，所以，故是等邊三角形，正確.故選：ABD10．BC【分析】利用余弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可判斷A；利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合二倍角的正弦公式即可判斷B；根據(jù)已知結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律及向量的夾角公式即可判斷C；根據(jù)投影向量的定義結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，由余弦定理得，化?jiǎn)得，所以，又，所以，故A不能推出；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，又，所以，又，所以，所以，所以，故B能推出；對(duì)于C，由，得，兩邊平方得，即，所以，所以，又，所以，故C能推出；對(duì)于D，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以，，，即，化?jiǎn)得，此式恒成立，與角無(wú)關(guān)，故D不能推出.故選：BC.11．ABC【分析】設(shè)由，可求，進(jìn)而可求得，，進(jìn)而由正弦定理可判斷A；不妨取，由三角形外心的性質(zhì)可得可判斷C；設(shè)外心O到邊BC的距離為，由歐拉線定理可得HA=2，進(jìn)而可得，進(jìn)而可求，判斷B；由題意可得設(shè)BC邊上的中線長(zhǎng)為，由平行四邊形的性質(zhì)可得，可求得，可判斷D.【詳解】設(shè)由解得即可求得所以，故A正確；不妨取，由外心性質(zhì)可知，C中面積比等價(jià)于故C正確；設(shè)外心O到邊BC的距離為，由三角形中的歐拉線定理知三角形的外心、垂心和重心在一條直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心的距離之半(根據(jù)重心為中線的三等分點(diǎn)可證),又O在BC邊的垂直平分線上，進(jìn)而可得HA=2，所以，所以，所以，結(jié)合C選項(xiàng)，可得，故B正確；設(shè)BC邊上的中線長(zhǎng)為，設(shè)AC邊上的中線長(zhǎng)為，設(shè)AB邊上的中線長(zhǎng)為，由重心的性質(zhì)可得，設(shè)三角形ABC中，D為BC邊上的中點(diǎn)，A，B，C所對(duì)邊為，延長(zhǎng)BC邊上的中線至M，使DM=AD，連接MC，MB，可得四邊形ABMC是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得，所以可得BC邊上的中線長(zhǎng)為，結(jié)合中線長(zhǎng)公式可得，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：三角形四心的應(yīng)用，歐拉線定理是解決本題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，綜合性強(qiáng)，大量的知識(shí)是對(duì)課本知識(shí)的引申拓展，難度較大。12．##【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線可得，進(jìn)而通過(guò)向量運(yùn)算得到，與已知聯(lián)系，可得；而，進(jìn)而利用均值不等式求得最小值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是邊上（不包含端點(diǎn)），所以,即,即,所以,又已知，所以，，所以，又由得，；，當(dāng)，時(shí)取等號(hào).故答案為：.13．【分析】在中求得的值，中利用正弦定理求得的值，中利用由余弦定理求得的值.【詳解】在中，，所以；在中，，由正弦定理得，，即，所以，在中，由余弦定理，所以，即、兩點(diǎn)間的距離為.故答案為：14．##【分析】將兩式平方相加并利用平方關(guān)系和兩角和的正弦化簡(jiǎn)得，再將兩式平方相減結(jié)合化簡(jiǎn)得，即可得解.【詳解】由，，得，，相加得，即，所以，相減得，又，，所以，所以，所以，解得.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)自變量取值范圍，整體換元后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求值域；（2）由可得，根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式計(jì)算即可.【詳解】（1），因?yàn)?，所以，所以，即，故的取值范圍為；?）由可得，所以，所以.16．(1)(2)【分析】（1）選①：用正弦定理化簡(jiǎn)求解即可；選②：用兩角和差正弦公式化簡(jiǎn)求解；選③：用向量垂直的坐標(biāo)表示和余弦定理求解即可；（2）先利用余弦定理求得，然后利用基本不等式求解最值即可.【詳解】（1）若選①：，由正弦定理得，又，所以，又，所以，即，又，所以；若選②：因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以；若選③：因?yàn)橄蛄?，，，所以，化?jiǎn)得，所以，又，所以；（2）由余弦定理得，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即周長(zhǎng)的最大值為.17．(1)(2)【分析】（1）由數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合數(shù)量積的夾角公式即可求解；（2）由向量模長(zhǎng)和數(shù)量積的運(yùn)算律得，然后換元法利用函數(shù)性質(zhì)求解最值即可；【詳解】（1）因?yàn)?，為單位向量，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，，所以，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以，令，則，，因?yàn)椋?，所以，即的最小值?18．(1)，(2)(3)【分析】（1）利用三角形面積公式及兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)即可；（2）由（1）知：，，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）由托勒密定理知：，在中，由余弦定理利用基本不等式求得，利用正三角形面積公式求解即可.【詳解】（1），；（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，即四邊形的面積的取值范圍為.（3）因?yàn)?，由托勒密定理知：，化?jiǎn)得，在中，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).19．(1)或；(2)(3)【分析】（1）利用兩角和差余弦公式和弦切互化求解即可；（2）先利用面積得，設(shè)，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，從而化簡(jiǎn)求值即可；（3）按照點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)和同側(cè)討論，利用正弦定理求得，化簡(jiǎn)，再將角代入式子求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以由得，因?yàn)橛幸饬x，所以，所以，因?yàn)?，所以或；?）因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)部，所以