2024年雅安市高三數(shù)學(xué)（理）4月模擬聯(lián)考試卷附答案解析

年雅安市高三數(shù)學(xué)（理）4月模擬聯(lián)考試卷考生注意：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若集合，，則中元素的最大值為（

）A．4 B．5 C．7 D．102．若圓與圓外切，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，為兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若復(fù)數(shù)的實(shí)部為4，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．短軸長(zhǎng)為4的橢圓 B．實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線C．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓 D．虛軸長(zhǎng)為4的雙曲線5．函數(shù)是（

）A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)6．在平行四邊形中，，且，則四邊形的面積為（

）A．4 B． C．8 D．7．若函數(shù)的值域?yàn)镽，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．設(shè)的整數(shù)部分為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A．210 B．211 C．212 D．2139．已知函數(shù)，，則（

）A．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)10．的最小值為（

）A． B．5 C． D．611．在四棱錐中，底面為矩形，底面與底面所成的角分別為，且，則（

）A． B． C． D．12．已知0為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13．一組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為．14．若x，y滿足約束條件則的取值范圍是.15．對(duì)于1個(gè)字母串shanhushu，改變這個(gè)字母串中的字母位置順序，可以得到個(gè)新的字母串.16．已知定義在上的函數(shù)滿足，，則.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．已知甲社區(qū)有120人計(jì)劃去四川旅游，他們每人將從峨眉山與青城山中選擇一個(gè)去旅游，將這120人分為東、西兩小組，兩組的人數(shù)相等，已知東小組中去峨眉山的人數(shù)是去青城山人數(shù)的兩倍，西小組中去峨眉山的人數(shù)比去青城山的人數(shù)少10.(1)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān)；去峨眉山旅游去青城山旅游合計(jì)東小組西小組合計(jì)(2)在東小組的游客中，以他們?nèi)デ喑巧铰糜蔚念l率為乙社區(qū)游客去青城山旅游的概率，從乙社區(qū)任選3名游客，記這3名游客中去青城山旅游的人數(shù)為X，求及X的數(shù)學(xué)期望.參考公式：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，.(1)求A；(2)若D為邊上一點(diǎn)，且，證明：外接圓的周長(zhǎng)為.19．如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)若以為直徑的球的表面積為，求二面角的余弦值.20．雙曲線上一點(diǎn)到左?右焦點(diǎn)的距離之差為6，(1)求雙曲線的方程，(2)已知，過(guò)點(diǎn)的直線與交于（異于）兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由，21．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，，且，證明：.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，曲線M的方程為，曲線N的方程為，其中m為常數(shù).(1)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，求曲線M與N的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)，曲線M與N的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)C的極坐標(biāo)為，若的重心G的極角為，求t的值.[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知.(1)若，求b的取值范圍；(2)求的最大值.1．C【分析】根據(jù)B中元素的特征，只需滿足即可得解.【詳解】由題意，.故選：C2．C【分析】根據(jù)兩圓外切的條件建立方程求解即可.【詳解】由圓與圓知，圓心分別為，半徑為1，，因?yàn)閮蓤A外切，所以，解得.故選：C3．D【分析】結(jié)合圖形，利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖1，當(dāng)時(shí)，與不一定垂直，如圖2，當(dāng)時(shí)，m與n不一定垂直，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D.4．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為4得出軌跡方程，根據(jù)方程判斷軌跡即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.故選：C5．B【分析】由函數(shù)的奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性，再運(yùn)用周期定義式進(jìn)行檢驗(yàn)即得.【詳解】因?yàn)?，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，故C,D項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?顯然在上不能恒成立，故A,C項(xiàng)錯(cuò)誤；又，即是的周期，故B項(xiàng)正確.故選：B.6．C【分析】根據(jù)向量的加法、減法的幾何意義判斷平行四邊形為矩形，即可得解.【詳解】在平行四邊形中，，，因?yàn)?，所以四邊形為矩形，又，所以四邊形為正方形，所以四邊形的面積為.故選：C7．B【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求出的范圍，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解即得.【詳解】依題意，取遍所有正數(shù)，則，而，解得，所以.故選：B8．B【分析】由已知，可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可利用等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以為小于的分?jǐn)?shù)，此時(shí)，所以，則數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：.9．D【分析】作出函數(shù)，圖象，兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為它們的圖象與的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】?jī)蓚€(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出，的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)或只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn).故選：D10．B【分析】設(shè)，，，根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成拋物線上半部分一動(dòng)點(diǎn)到，距離之和的最小值，再利用拋物線的定義即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，易知點(diǎn)的軌跡是拋物線的上半部分，又，因?yàn)闉閽佄锞€的焦點(diǎn)，由拋物線的定義知，等于到準(zhǔn)線的距離，所以的最小值為，故選：A.11．D【分析】設(shè)，利用線面角的定義，結(jié)合正切函數(shù)的和差公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】如圖，設(shè)，因?yàn)樵诰匦沃?，，所以，因?yàn)榈酌?，所以分別是與底面所成的角，即，所以.因?yàn)?，所以，解?負(fù)根舍去)，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將看作一個(gè)整體，結(jié)合題設(shè)條件得到關(guān)于的方程，從而得解.12．A【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合分類討論，判斷其正負(fù)，得出的增減性，再結(jié)合，判斷的符號(hào)，得出增減性，驗(yàn)證函數(shù)的極小值點(diǎn)為0即可.【詳解】，令的導(dǎo)函數(shù)為.若，，在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，符合題意.若，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，符合題意.若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，不符合題意.若，當(dāng)時(shí)，，，可得時(shí)，，時(shí)，，所以在遞增，在上單調(diào)遞減，不符合題意.綜上，的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解過(guò)程中，需要對(duì)再次求導(dǎo)，利用的導(dǎo)函數(shù)，分類討論判斷正負(fù)，得出的增減性，再結(jié)合，得出的正負(fù)，據(jù)此得出函數(shù)的單調(diào)性，驗(yàn)證0是否為函數(shù)極小值點(diǎn),解題的關(guān)鍵要具備清晰的邏輯關(guān)系，把握，，三者關(guān)系.13．【分析】將數(shù)據(jù)從小到大重新排成一列，根據(jù)眾數(shù)及中位數(shù)的定義，即可求出結(jié)果.【詳解】將樣本數(shù)據(jù)，從小排到大得到，由眾數(shù)及中位數(shù)的定義知：眾數(shù)為，中位數(shù)為，故答案為：，.14．【分析】作出可行域，利用截距式數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】作出約束條件表示的可行域，設(shè)，即，聯(lián)立，解得，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，縱截距取得最大值3，所以的取值范圍是.故答案為：.15．15119【分析】該字母串中有2個(gè)s，3個(gè)h，1個(gè)a，1個(gè)n，2個(gè)u，可以得到的所有字母串?dāng)?shù)為，注意題目問的是新字母串的數(shù)量，因此可以得到共個(gè)新的字母串.【詳解】因?yàn)樽帜复畇hanhushu有2個(gè)s，3個(gè)h，1個(gè)a，1個(gè)n，2個(gè)u，所以改變這個(gè)字母串中的字母位置順序，在共9個(gè)位置中，選擇3個(gè)位置安排字母h，再分別選擇2個(gè)位置安排字母s和u，再將剩余兩個(gè)位置安排字母a和n，可以得到的所有字母串?dāng)?shù)為.由于題目問的是新字母串的數(shù)量，因此可以得到共個(gè)新的字母串.故答案為：1511916．【分析】令得出函數(shù)關(guān)系式，據(jù)此類比得出數(shù)列遞推關(guān)系式，構(gòu)造等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式，即可得解.【詳解】令，得.設(shè)數(shù)列滿足，，則，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比也為2的等比數(shù)列，則，即，所以.故答案為：17．(1)列聯(lián)表見解析，有99%的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān).(2)，【分析】（1）根據(jù)已知列出2×2列聯(lián)表，求出，從而可得結(jié)果；（2）依題意，根據(jù)二項(xiàng)分布概率及數(shù)學(xué)期望可得結(jié)果.【詳解】（1）依題意，2×2列聯(lián)表如下.去峨眉山旅游去青城山旅游合計(jì)東小組402060西小組253560合計(jì)6555120又，所以有99%的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān).（2）在東小組的游客中，他們?nèi)デ喑巧铰糜蔚念l率為，所以乙社區(qū)游客去青城山旅游的概率為，依題意，則，.所以，X的數(shù)學(xué)期望為1.18．(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理邊角互化，再根據(jù)余弦定理，即可求解；（2）首先根據(jù)正弦定理求，再根據(jù)角的關(guān)系，以及三角形的半徑公式，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，又，所?因?yàn)?，所?（2）證明：在中，由正弦定理，得，則，則.設(shè)外接圓的半徑為，則，所以外接圓的周長(zhǎng)為.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，則，根據(jù)線面平行的判定定理證明即可.（2）建系，利用二面角的向量求法求解即可.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)橐詾橹睆降那虻谋砻娣e為，所以，解得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，豎直向上為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，因?yàn)?，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20．(1)(2)是定值，定值為【分析】（1）利用雙曲線的定義與點(diǎn)在雙曲線上得到關(guān)于的方程，解之即可得解；（2）假設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線方程得到，再由題設(shè)條件得到直線與的方程，推得兩者的交點(diǎn)在定直線上，從而得解.【詳解】（1）依題意可得，解得，故雙曲線的方程為.（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，則，，設(shè)，則，又，直線，直線，聯(lián)立，兩式相除，得，即，解得，所以點(diǎn)在定直線上，因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離為定值，且定值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21．(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用到數(shù)的幾何意義，即可求得答案；（2）設(shè)，，，原不等式即為，利用的單調(diào)性，繼而轉(zhuǎn)化為，繼而再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論.【詳解】（1）由，得，則，，.故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）證明：由，，且，不妨設(shè)，，，則證明等價(jià)于證明，，即證，從而構(gòu)造函數(shù)，利用其調(diào)性證明結(jié)論.令，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，故，，即，，則，要證，只需證.令，則，令，得.令，，則，令，，則在上恒成立，則，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，則，則，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，則，在單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，即在上恒成立，從?【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，難點(diǎn)就在于不等式的證明，解答時(shí)要將原不等式轉(zhuǎn)化為，繼而構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明成立.22．(1)，(2)2【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式求解即可；（2）利用重心坐標(biāo)公式求出重心坐標(biāo)，再根