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文檔簡介
廣東省清遠(yuǎn)市陽山縣陽山中學(xué)2024年高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,中,點D在BC上,,將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐,分別記,與平面ADC所成角為,,則,的大小關(guān)系是()A. B.C.,兩種情況都存在 D.存在某一位置使得2.復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A. B. C. D.3.如圖1,《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),現(xiàn)被風(fēng)折斷,尖端落在地上,竹尖與竹根的距離三尺,問折斷處離地面的高為()尺.A. B. C. D.4.已知復(fù)數(shù),(為虛數(shù)單位),若為純虛數(shù),則()A. B.2 C. D.5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的右焦點為,若F到直線的距離為,則E的離心率為()A. B. C. D.6.已知是雙曲線的兩個焦點,過點且垂直于軸的直線與相交于兩點,若,則的內(nèi)切圓半徑為()A. B. C. D.7.如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點,且A、B兩點在拋物線準(zhǔn)線上的投影分別是M,N,若,則的值是()A. B. C. D.8.函數(shù)在的圖像大致為A. B. C. D.9.已知函數(shù)且,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知函數(shù)(e為自然對數(shù)底數(shù)),若關(guān)于x的不等式有且只有一個正整數(shù)解,則實數(shù)m的最大值為()A. B. C. D.11.過拋物線的焦點的直線與拋物線交于、兩點,且,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,則()A. B. C. D.12.下列說法正確的是()A.命題“,”的否定形式是“,”B.若平面,,,滿足,則C.隨機變量服從正態(tài)分布(),若,則D.設(shè)是實數(shù),“”是“”的充分不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為橢圓內(nèi)一定點,經(jīng)過引一條弦,使此弦被點平分,則此弦所在的直線方程為________________.14.若滿足,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為______.15.在△ABC中,a=3,,B=2A,則cosA=_____.16.已知,,則與的夾角為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)解不等式;(2)若均為正實數(shù),且滿足,為的最小值,求證:.18.(12分)已知函數(shù),設(shè)的最小值為m.(1)求m的值;(2)是否存在實數(shù)a,b,使得,?并說明理由.19.(12分)在中,,是邊上一點,且,.(1)求的長;(2)若的面積為14,求的長.20.(12分)某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每一位市民僅有一次參加機會,通過隨機抽樣,得到參加問卷調(diào)查的人的得分(滿分:分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果如下表所示.組別頻數(shù)(1)已知此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表),請利用正態(tài)分布的知識求;(2)在(1)的條件下,環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案.(ⅰ)得分不低于的可以獲贈次隨機話費,得分低于的可以獲贈次隨機話費;(ⅱ)每次贈送的隨機話費和相應(yīng)的概率如下表.贈送的隨機話費/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查,記為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,若,則,,.21.(12分)設(shè)函數(shù),().(1)若曲線在點處的切線方程為,求實數(shù)a、m的值;(2)若對任意恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(3)關(guān)于x的方程能否有三個不同的實根?證明你的結(jié)論.22.(10分)已知與有兩個不同的交點,其橫坐標(biāo)分別為().(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)題意作出垂線段,表示出所要求得、角,分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小,從而判斷出角的大小,即可得答案.【詳解】由題可得過點作交于點,過作的垂線,垂足為,則易得,.設(shè),則有,,,可得,.,,;,;,,,.綜上可得,.故選:.【點睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2、C【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可.【詳解】由得:本題正確選項:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運算法則的應(yīng)用,考查計算能力.3、B【解析】如圖,已知,,
∴,解得
,∴,解得
.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.4、C【解析】
把代入,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡,由實部為0且虛部不為0求解即可.【詳解】∵,∴,∵為純虛數(shù),∴,解得.故選C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.5、A【解析】
由已知可得到直線的傾斜角為,有,再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為,得直線的傾斜角為,所以,即,解得.故選:A.【點睛】本題考查橢圓離心率的問題,一般求橢圓離心率的問題時,通常是構(gòu)造關(guān)于的方程或不等式,本題是一道容易題.6、B【解析】
首先由求得雙曲線的方程,進(jìn)而求得三角形的面積,再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求解.【詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長為,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選:B【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì),考查三角形的內(nèi)心的概念,考查了轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.7、C【解析】
直線恒過定點,由此推導(dǎo)出,由此能求出點的坐標(biāo),從而能求出的值.【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為,直線恒過定點,如圖過A、B分別作于M,于N,由,則,點B為AP的中點、連接OB,則,∴,點B的橫坐標(biāo)為,∴點B的坐標(biāo)為,把代入直線,解得,故選:C.【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法,考查拋物線的性質(zhì),是中檔題,解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用,屬于中檔題.8、B【解析】
由分子、分母的奇偶性,易于確定函數(shù)為奇函數(shù),由的近似值即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,所以是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點成中心對稱,排除選項C.又排除選項D;,排除選項A,故選B.【點睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性,縮小考察范圍,通過計算特殊函數(shù)值,最后做出選擇.本題較易,注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.9、B【解析】
構(gòu)造函數(shù),判斷出的單調(diào)性和奇偶性,由此求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),由解得,所以的定義域為,且,所以為奇函數(shù),而,所以在定義域上為增函數(shù),且.由得,即,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式,屬于中檔題.10、A【解析】
若不等式有且只有一個正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值,分別畫出與的圖象,結(jié)合圖象可得.【詳解】解:,∴,設(shè),∴,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減,∴,當(dāng)時,,當(dāng),,函數(shù)恒過點,分別畫出與的圖象,如圖所示,,若不等式有且只有一個正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值,∴且,即,且∴,故實數(shù)m的最大值為,故選:A【點睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了數(shù)學(xué)運算能力.11、B【解析】
設(shè)點、,并設(shè)直線的方程為,由得,將直線的方程代入韋達(dá)定理,求得,結(jié)合的面積求得的值,結(jié)合焦點弦長公式可求得.【詳解】設(shè)點、,并設(shè)直線的方程為,將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,消去得,由韋達(dá)定理得,,,,,,,,可得,,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,解得,則拋物線的方程為,所以,.故選:B.【點睛】本題考查拋物線焦點弦長的計算,計算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵,考查計算能力,屬于中等題.12、D【解析】
由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項A;可能相交,可判斷B選項;利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項C;或,利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項D.【詳解】命題“,”的否定形式是“,”,故A錯誤;,,則可能相交,故B錯誤;若,則,所以,故,所以C錯誤;由,得或,故“”是“”的充分不必要條件,D正確.故選:D.【點睛】本題考查命題的真假判斷,涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點,利用點差法可求得直線的斜率,進(jìn)而可求得直線的點斜式方程,化為一般式即可.【詳解】設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點,由于點為弦的中點,則,得,由題意得,兩式相減得,所以,直線的斜率為,所以,弦所在的直線方程為,即.故答案為:.【點睛】本題考查利用弦的中點求弦所在直線的方程,一般利用點差法,也可以利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法來解答,考查計算能力,屬于中等題.14、-1【解析】
由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為,由圖可得,當(dāng)直線過點時,直線在軸上的截距最大,由得即,則有最大值,故答案為.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值,屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實線還是虛線);(2)找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù),最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.15、【解析】
由已知利用正弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式即可計算求值得解.【詳解】解:∵a=3,,B=2A,∴由正弦定理可得:,∴cosA.故答案為.【點睛】本題主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)已知條件,去括號得:,三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)或(2)證明見解析【解析】
(1)將寫成分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)由(1)求得最小值,由此利用基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1)當(dāng)時,恒成立,解得;當(dāng)時,由,解得;當(dāng)時,由解得所以的解集為或(2)由(1)可求得最小值為,即因為均為正實數(shù),且(當(dāng)且僅當(dāng)時,取“”)所以,即.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的求法,考查利用基本不等式證明不等式,屬于中檔題.18、(1)(2)不存在;詳見解析【解析】
(1)將函數(shù)去絕對值化為分段函數(shù)的形式,從而可求得函數(shù)的最小值,進(jìn)而可得m.(2)由,利用基本不等式即可求出.【詳解】(1);(2),若,同號,,不成立;或,異號,,不成立;故不存在實數(shù),,使得,.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的最值、基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)1;(2)5.【解析】
(1)由同角三角函數(shù)關(guān)系求得,再由兩角差的正弦公式求得,最后由正弦定理構(gòu)建方程,求得答案.(2)在中,由正弦定理構(gòu)建方程求得AB,再由任意三角形的面積公式構(gòu)建方程求得BC,最后由余弦定理構(gòu)建方程求得AC.【詳解】(1)據(jù)題意,,且,所以.所以.在中,據(jù)正弦定理可知,,所以.(2)在中,據(jù)正弦定理可知,所以.因為的面積為14,所以,即,得.在中,據(jù)余弦定理可知,,所以.【點睛】本題考查由正弦定理與余弦定理解三角形,還考查了由同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角差的正弦公式化簡求值,屬于簡單題.20、(1);(2)見解析.【解析】
(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表,利用公式計算出平均數(shù)的值,再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將、表示為,,利用題中所給數(shù)據(jù),以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對稱性,求出對應(yīng)的概率;(2)根據(jù)題意,高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為,再結(jié)合得元、元的概率,分析得出話費的可能數(shù)據(jù)都有哪些,再利用公式求得對應(yīng)的概率,進(jìn)而得出分布列,之后利用離散型隨機變量的分布列求出其數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題意可得,易知,,,;(2)根據(jù)題意,可得出隨機變量的可能取值有、、、元,,,,.所以,隨機變量的分布列如下表所示:所以,隨機變量的數(shù)學(xué)期望為.【點睛】本題考查概率的計算,涉及到平均數(shù)的求法、正態(tài)分布概率的計算以及離散型隨機變量分布列及其數(shù)學(xué)期望,在解題時要弄清楚隨機變量所滿足的分布列類型,結(jié)合相應(yīng)公式計算對應(yīng)事件的概率,考查計算能力,屬于中等題.21、(1),;(2);(3)不能,證明見解析【解析】
(1)求出,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解;(2)構(gòu)造,則原題等價于對任意恒成立,即時,,利用導(dǎo)數(shù)求最值即可,值得注意的是,可以通過代特殊值,由求出的范圍,再研究該范圍下單調(diào)性;(3)構(gòu)造并進(jìn)行求導(dǎo),研究單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)零點存在性定理證明即可.【
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