2023-2024學(xué)年廣東省陽(yáng)江市高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一）

2023-2024學(xué)年廣東省陽(yáng)江市高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）直線y＝x+1的傾斜角為（）A．135° B．30° C．60° D．45°2．（5分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，若，則有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）為（）A．（1，1，1） B．（1，﹣1，﹣1） C．（1，1，﹣1） D．（﹣1，1，﹣1）3．（5分）已知為兩兩垂直的單位向量，則＝（）A．1 B． C． D．24．（5分）過(guò)點(diǎn)（2，﹣1）且方向向量為（1，2）的直線方程為（）A．y＝2x+5 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝2x﹣5 D．y＝﹣2x+55．（5分）已知平面α＝{P|?＝0}，其中點(diǎn)P0（1，2，3），法向量＝（1，1，1），則下列各點(diǎn)中不在平面α內(nèi)的是（）A．（3，2，1） B．（﹣2，5，4） C．（﹣3，4，5） D．（2，﹣4，8）6．（5分）已知點(diǎn)A（﹣3，4），B（5，10），直線l過(guò)點(diǎn)O（0，0）且與線段AB相交，則直線l的斜率的取值范圍是（）A． B． C．[2，+∞） D．7．（5分）如圖所示，已知等腰直角三角形ADE與正方形ABCD所在的平面互相垂直，且AD＝AE＝2，F(xiàn)是線段CD的中點(diǎn)，則BD與EF所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．8．（5分）如圖，已知A（5，0），B（0，5），從點(diǎn)P（1，0）射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)為（）A．2 B．2 C．2 D．4二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.（多選）9．（5分）已知直線l1與l2為兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（）A．若l1∥l2，則斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，則l1∥l2 C．若傾斜角α1＝α2，則l1∥l2 D．若l1∥l2，則傾斜角α1＝α2（多選）10．（5分）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是（）A．若非零向量滿足，則 B．任意向量滿足 C．若為空間一基底，且，則A，B，C，D四點(diǎn)共面 D．已知向量，若，則為鈍角（多選）11．（5分）下列說(shuō)法正確的是（）A．直線x﹣y﹣3＝0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是 B．若三條直線x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3﹣a不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)a的取值集合為{﹣1，1} C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣3＝0或x﹣y+1＝0 D．過(guò)（x1，y1），（x2，y2）兩點(diǎn)的直線方程為（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）（多選）12．（5分）長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AD＝AB＝1，點(diǎn)M，N分別在棱AB和BB1上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），若D1M⊥MN，下列說(shuō)法正確的是（）A．A1M⊥MN B．的最大值為0 C．△BNC面積的最大值為 D．三棱錐C1﹣A1D1M的體積不變?nèi)⑻羁疹}：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知直線l1：（a﹣1）x+2y+1＝0，l2：x﹣ay+1＝0，a∈R若l1⊥l2，則a的值為．14．（5分）已知，，則在上的投影向量為（用坐標(biāo)表示）．15．（5分）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣2，1）且與原點(diǎn)的距離為2的直線方程為．16．（5分）已知在一個(gè)二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，CD＝5，則這個(gè)二面角的度數(shù)為．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）設(shè)x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且，，（1）求；（2）求向量與夾角．18．（12分）已知直線l經(jīng)過(guò)直線3x+4y﹣2＝0與直線2x+y+2＝0的交點(diǎn)P．（1）若直線l垂直于直線x﹣2y﹣1＝0，求直線l的方程；（2）若直線l與經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（8，﹣6），B（2，2）的直線AB平行，求直線l的方程．19．（12分）已知直線l：（2a﹣1）x+（a+1）y+a﹣5＝0．（1）若直線l與直線l′：x+2y﹣1＝0平行，求a的值并求這兩條直線間的距離；（2）若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程．20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E為PD上的中點(diǎn)．（1）求證：PB∥平面AEC；（2）設(shè)PA＝AB＝1，求平面AEC與平面AED夾角的余弦值．21．（12分）已知△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x﹣y﹣5＝0，AC邊上的高BH所在的直線方程為x﹣2y﹣5＝0．（Ⅰ）求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（Ⅱ）求直線AB的方程．22．（12分）已知四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝SA＝3，點(diǎn)E在棱BC上．（1）若E為BC的中點(diǎn)，求直線SE與平面SCD所成角的正弦值；（2）是否存在一點(diǎn)E，使得點(diǎn)A到平面SDE的距離為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．【分析】求出直線的斜率，然后求解直線的傾斜角．【解答】解：直線y＝x+1的斜率為1，直線的傾斜角為α，∴tanα＝1，∴α＝45°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，基本知識(shí)的考查．2．【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，空間向量基本定理得到＝﹣﹣，再對(duì)比即可求解．【解答】解：∵平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1，∴＝++＝﹣﹣，∵，∴x＝1，y＝﹣1，z＝﹣1，∴（x，y，z）＝（1，﹣1，﹣1），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得，由此可得結(jié)果．【解答】解：由題意知：，，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積，向量模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】由題意先求出直線的斜率，再結(jié)合點(diǎn)斜式方程，即可求解．【解答】解：直線的方向向量為（1，2），則直線的斜率為k＝，∵直線過(guò)點(diǎn)（2，﹣1），∴直線的方程為y+1＝2（x﹣2），即y＝2x﹣5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方向向量的定義，以及點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)分別求出，計(jì)算的值是否為0，從而得出結(jié)論．【解答】解：對(duì)于A，＝（2，0，﹣2），＝1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故選項(xiàng)A在平面α內(nèi)；對(duì)于B，＝（﹣3，3，1），＝1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故選項(xiàng)B不在平面α內(nèi)；對(duì)于C，＝（﹣4，2，2），＝1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故選項(xiàng)C在平面α內(nèi)；對(duì)于D，＝（1，﹣6，5），＝1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故選項(xiàng)D在平面α內(nèi)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面的法向量和空間向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合圖形以及傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解．【解答】解：直線OB，OA的斜率分別為，結(jié)合圖形可知：直線l過(guò)點(diǎn)O（0，0）且與線段AB相交時(shí)，．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出和的坐標(biāo)利用夾角公式求出余弦值即可．【解答】解：因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCD，平面ADE?平面ABCD＝AD，AE⊥AD，AE?平面ADE，所以AE⊥平面ABCD，又AB?平面ABCD，所以AE⊥AB，又AB⊥AD，所以AB，AD，AE兩兩垂直，分別以AB、AD、AE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：可得B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F(xiàn)（1，2，0），∴，，設(shè)BD與EF所成的角大小為α，則cosα＝|cos＜，＞|＝＝＝，即BD與EF所成的角的余弦值為．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了異面直線的夾角，考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，是中檔題．8．【分析】分別求出點(diǎn)P關(guān)于y軸和直線AB的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)P'，P″，從而可得光線所經(jīng)過(guò)的路程是P'P″．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'，則P'（﹣1，0），設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB：x+y﹣5＝0的對(duì)稱點(diǎn)P″（a，b），則，解得a＝5，b＝4，所以P″（5，4），則光線所經(jīng)過(guò)的路程是|P'P″|＝＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線方程的求解與應(yīng)用，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求解，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．【分析】直接利用直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，直線的斜率和直線的平行問(wèn)題的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)直線的位置關(guān)系，當(dāng)直線的斜率存在，并且相等，則直線平行；當(dāng)直線的傾斜角相等，則直線平行，當(dāng)直線平行，則傾斜角必相等．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，直線的斜率和直線的平行問(wèn)題，主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】根據(jù)向量共線定理判斷A；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷B；根據(jù)可判斷C；根據(jù)向量夾角公式求解判斷D．【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)?，，是非零向量，且滿足，故存在實(shí)數(shù)λ，μ使得，故，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，不一定共線且向量數(shù)量積為實(shí)數(shù)，故不一定成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，是空間的一組基底，故A，B，C三點(diǎn)不共線，，，即，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)與共線且反向時(shí)，有，即，所以，即，此時(shí)x＝﹣3，但不為鈍角，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積與夾角，屬于中檔題．11．【分析】選項(xiàng)A，寫出直線l與x，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解；選項(xiàng)B，分兩種情況：①三條直線相交于原點(diǎn)，可得a＝3；②直線x+ay＝3﹣a與前兩條直線平行，可得a＝﹣1或1；選項(xiàng)C，分直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，兩種情況，進(jìn)行討論；選項(xiàng)D，由直線的兩點(diǎn)式方程，即可得解．【解答】解：選項(xiàng)A，直線l與x，y軸的交點(diǎn)分別為（3，0），（0，﹣3），所以S＝×3×3＝，即A正確；選項(xiàng)B，分兩種情況：①三條直線相交于一點(diǎn)，即原點(diǎn)（0，0），此時(shí)3﹣a＝0，所以a＝3；②直線x+ay＝3﹣a與x+y＝0或x﹣y＝0平行，則﹣＝1或﹣1，所以a＝﹣1或1，所以實(shí)數(shù)a的取值集合為{﹣1，1，3}，即B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其方程為y＝2x；當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程為，所以，解得a＝3，此時(shí)直線l的方程為x+y﹣3＝0，綜上，直線l的方程為y＝2x或x+y﹣3＝0，即C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由直線的兩點(diǎn)式知，＝，即（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1），即D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的方程，兩條直線的平行關(guān)系，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．12．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)M，N坐標(biāo)，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算得參數(shù)關(guān)系，繼而判斷A，B，C，由等體積法轉(zhuǎn)化后判斷D．【解答】解：長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AD＝AB＝1，點(diǎn)M，N分別在棱AB和BB1上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），D1M⊥MN，如圖，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AM＝m（0＜m＜1），BN＝n（0＜n＜2），則A1（1，0，2），B1（1，1，2），D1（0，0，2），M（1，m，0），N（1，1，n），，，由，得﹣m2+m﹣2n＝0，對(duì)于A，由，∴，∴A1M⊥MN，故A正確；對(duì)于B，，∵0＜m＜1，∴m2﹣m＜0，即沒(méi)有最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由﹣m2+m﹣2n＝0，得，∴當(dāng)時(shí)，n取得最大值，∴△BNC面積，故C正確；對(duì)于D，△A1C1D1面積是定值，M到平面A1C1D1的距離為定值，∴三棱錐M﹣A1C1D1的體積為定值，∵，∴三棱錐C1﹣A1D1M的體積不變，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查長(zhǎng)方體結(jié)構(gòu)特征、向量垂直的性質(zhì)、向量數(shù)量積、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，解方程即可．【解答】解：若l1⊥l2，則（a﹣1）×1+2×（﹣a）＝0，解得a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的投影公式，即可求解．【解答】解：∵，，∴，，設(shè)在上的投影向量為＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣2，1），知：當(dāng)直線的斜率k不存在時(shí)，直線方程x＝﹣2，它到原點(diǎn)的距離是2，成立；當(dāng)直線的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線方程為y﹣1＝k（x+2），整理，得kx﹣y+2k+1＝0，由直線與原點(diǎn)的距離為2，，解得k＝，由此能得到所求的直線方程．【解答】解：∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣2，1），∴當(dāng)直線的斜率k不存在時(shí)，直線方程x＝﹣2，它到原點(diǎn)的距離是2，成立；當(dāng)直線的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線方程為y﹣1＝k（x+2），整理，得kx﹣y+2k+1＝0，∵直線與原點(diǎn)的距離為2，∴，解得k＝，∴直線為，整理，得3x﹣4y+10＝0．故所求的直線方程為：x＝﹣2或3x﹣4y+10＝0．故答案為：x＝﹣2或3x﹣4y+10＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．易錯(cuò)點(diǎn)是容易忽視直線的斜率不存在的情況．16．【分析】根據(jù)題意作圖，由勾股定理容易得到AC⊥AD，進(jìn)而可得AC⊥β，進(jìn)一步可得α⊥β，進(jìn)而得解．【解答】解：如圖，連接AD，依題意，，又，所以AC2+AD2＝CD2，則AC⊥AD，又AC⊥AB，AD∩AB＝A，AD?β，AB?β，所以AC⊥β，又AC?α，所以α⊥β，即這個(gè)二面角的度數(shù)為90°．故答案為：90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的定義，考查線面垂直以及面面垂直的判定，考查邏輯推理能力以及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．【分析】（1）利用空間向量的垂直與共線，列出方程組求解x，y的值，從而可得+的坐標(biāo)，再利用模的運(yùn)算公式求解即可；（2）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得2+﹣，計(jì)算?＝0，即可求得夾角．【解答】解：（1）x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且，，可得x+y+1＝0，＝＝，解得x＝1，y＝﹣2，則+＝（2，﹣1，2），則|+|＝＝3．（2）因?yàn)?+﹣＝（1，4，1），所以?＝2×1+（﹣1）×4+2×1＝0向量與夾角為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的垂直與共線的性質(zhì)，向量的模的求法，向量的夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】（1）聯(lián)立兩直線方程得到方程組，求出方程組的解集即可得到交點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)直線l與x﹣2y﹣1垂直，利用兩直線垂直時(shí)斜率乘積為﹣1，可設(shè)出直線l的方程，把P代入即可得到直線l的方程；（2）先求出直線l的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出直線l的方程，【解答】解：（Ⅰ）由，解得，由于點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣2，2）．則所求直線l與x﹣2y﹣1＝0垂直，可設(shè)直線l的方程為2x+y+m＝0．把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得2×（﹣2）+2+m＝0，即m＝2．所求直線l的方程為2x+y+2＝0．（2）直線AB的斜率kAB＝＝﹣，∵直線l與經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（8，﹣6），B（2，2）的直線AB平行，∴kAB＝kl＝﹣，∴直線l的方程為y﹣2＝﹣（x+2），即4x+3y+2＝0．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生會(huì)利用聯(lián)立兩直線的方程的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，掌握直線的點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（1）根據(jù)直線平行列出方程求解a，再由平行線之間的距離公式求解；（2）求出截距，再由截距相等求出a即可得解．【解答】解：（1）因?yàn)橹本€l′：x+2y﹣1＝0且l∥l′，所以，解得a＝1．當(dāng)a＝1時(shí)，直線l的方程為x+2y﹣4＝0，直線l與直線l′間的距離為．（2）令x＝0，得，即直線l在y軸上的截距為．令y＝0，得，即直線l在x軸上的截距為．因?yàn)橹本€l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以，解得a＝5或a＝2．則直線l的方程是3x+2y＝0或x+y﹣1＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行直線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】（1）根據(jù)線線平行的定理，即可證明結(jié)論；（2）建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，即可得出答案．【解答】解：（1）證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，如圖所示：則O為BD的中點(diǎn)，∵E為PD的中點(diǎn)，∴OE∥PB又OE?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC；（2）建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如上圖所示：則，∴，∴平面ADE的法向量為，設(shè)平面AEC的法向量為＝（x，y，z），則，取x＝1，則y＝﹣1，z＝1，∴平面AEC的法向量為＝（1，﹣1，1），∴，設(shè)平面AEC與平面ADE的夾角為θ，則，故平面AEC與平面ADE夾角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行和二面角，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能