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2023-2024學(xué)年福建省永定高二(上)第一次段考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.(5分)下列數(shù)列是遞增數(shù)列的是()A.{1﹣2n} B. C. D.2.(5分)下列四條直線中,傾斜角最大的是()A.x﹣y﹣1=0 B.x+y﹣1=0 C. D.3.(5分)設(shè)數(shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,a1>0,且S5=S8,則下列結(jié)論正確的是()A.d>0 B.a(chǎn)8=0 C.S6>S7 D.Sn的最大值為S6或S74.(5分)若P是圓C:(x﹣2)2+(y+1)2=2上任一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=kx+1的距離的值不可能等于()A.2 B.3 C. D.5.(5分)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.若直線垂直于y軸,則該直線的一個(gè)方向向量為(1,0),一個(gè)法向量為(0,1) B.若直線的一個(gè)方向向量為(a,a+1),則該直線的斜率 C.若直線的一個(gè)法向量為,則能作為該直線的一個(gè)方向向量 D.任何直線一定存在法向量與方向向量,且兩向量是相互垂直的6.(5分)已知數(shù)列{an}中,a1=25,4an+1=4an﹣7(n∈N*),若其前n項(xiàng)和為Sn,則Sn的最大值為()A.15 B.750 C. D.7.(5分)已知點(diǎn)P是直線l:2x+y﹣6=0上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓C:(x+2)2+y2=r2(r>0)的兩條切線PM,PN,M,N為切點(diǎn).若∠MPN的最大值為60°,則r的值為()A.2 B.1 C.2 D.8.(5分)若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,x3成等差數(shù)列且滿足=,則稱x1,x2,x3成一個(gè)“β等差數(shù)列”.已知集合M={x||x|≤100,x∈Z},則由M中的三個(gè)元素組成的所有數(shù)列中,“β等差數(shù)列”的個(gè)數(shù)為()A.25 B.50 C.51 D.100二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分(多選)9.(5分)下列說(shuō)法正確的是()A.點(diǎn)(2,0)關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為(﹣1,3) B.過(guò)(x1,y1),(x2,y2)兩點(diǎn)的直線方程為 C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣2=0或x﹣y=0 D.直線x﹣y﹣4=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8(多選)10.(5分)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則下列結(jié)論中正確的是()A.?dāng)?shù)列{an2}是等比數(shù)列 B.若a3=2,a7=32,則a5=±8 C.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n﹣1+r,則r=﹣1 D.若a1<a2<a3,則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列(多選)11.(5分)下列結(jié)論正確的是()A.過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x﹣1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB的方程為2x+y﹣3=0 B.圓與圓有且僅有一條公切線,則a=36 C.已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,﹣1)且和以M(﹣3,1),N(3,2)為端點(diǎn)的線段相交,則直線l的斜率k的取值范圍為 D.若圓M:(x﹣4)2+(y﹣4)2=r2(r>0)上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)N(1,0)的距離為1,則r的取值范圍是(4,6)(多選)12.(5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),圓M:(x﹣cosθ)2+(y﹣sinθ)2=1,則下列結(jié)論正確的是()A.圓M與圓x2+y2=4內(nèi)切 B.直線xcosα+ysinα=0與圓M相離 C.圓M上到直線的距離等于1的點(diǎn)最多兩個(gè) D.過(guò)直線上任一點(diǎn)P作圓M的切線,切點(diǎn)為A,B,則四邊形PAMB面積的最小值為三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分13.(5分)已知在△ABC中,其中B(1,4),C(6,3),∠BAC的平分線所在的直線方程為x﹣y+1=0,則A點(diǎn)坐標(biāo)為.14.(5分)若a,b∈R,滿足a,b,a+b是等差數(shù)列,且a,b,ab是等比數(shù)列,則a=.15.(5分)已知?jiǎng)又本€m:λx﹣y+λ=0和n:x+λy﹣3﹣2λ=0,P是兩直線的交點(diǎn),A,B是兩直線m和n分別過(guò)的定點(diǎn),則|PA|?|PB|的最大值為.16.(5分)已知,,過(guò)x軸上一點(diǎn)P分別作兩圓的切線,切點(diǎn)分別是M,N,當(dāng)|PM|+|PN|取到最小值時(shí),點(diǎn)P坐標(biāo)為.四、解答題:共70分。第17題10分,第18題至第22題均12分/題,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17.(10分)在平行四邊形ABCD中,A(﹣1,2),B(1,3),C(3,﹣1),點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn).(1)求直線CD的方程;(2)求過(guò)點(diǎn)A且與直線DE垂直的直線.18.(12分)數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,證明Tn<2.19.(12分)為了保障幼兒園兒童的人身安全,國(guó)家計(jì)劃在甲、乙兩省試行政府規(guī)范購(gòu)置校車方案,計(jì)劃若干時(shí)間內(nèi)(以月為單位)在兩省共新購(gòu)1000輛校車.其中甲省采取的新購(gòu)方案是:本月新購(gòu)校車10輛,以后每月的新購(gòu)量比上一月增加50%;乙省采取的新購(gòu)方案是:本月新購(gòu)校車40輛,計(jì)劃以后每月比上一月多新購(gòu)m輛.(1)求經(jīng)過(guò)n個(gè)月,兩省新購(gòu)校車的總數(shù)S(n);(2)若兩省計(jì)劃在3個(gè)月內(nèi)完成新購(gòu)目標(biāo),求m的最小值.20.(12分)已知圓C經(jīng)過(guò)A(2,0)、B(0,4)兩點(diǎn),且圓心在直線2x﹣y﹣3=0上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)T(﹣1,0)的直線l與圓C相交于P、Q兩點(diǎn),且,求直線l的方程.21.(12分)已知等差數(shù)列{an},的前n項(xiàng)和為Sn,且a2=2,S5=15,數(shù)列{bn}滿足b1=,bn+1=bn.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)記Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,f(n)=,試問(wèn)f(n)是否存在最大值,若存在,求出最大值,若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(12分)已知點(diǎn),點(diǎn)P為曲線Γ上任意一點(diǎn)且滿足|PA|=2|PB|.(1)求曲線Γ的方程;(2)設(shè)曲線Γ與y軸交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)R是曲線Γ上異于M、N的任意一點(diǎn),直線MR、NR分別交直線l:y=3于點(diǎn)F、G.試問(wèn)在y軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)S,使得,若存在,求出點(diǎn)S的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2023-2024學(xué)年福建省永定一中高二(上)第一次段考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.【分析】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng)中數(shù)列的單調(diào)性,即可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對(duì)于A,數(shù)列{1﹣2n},有a1=﹣1,a2=﹣3,有a1>a2,不是遞增數(shù)列,對(duì)于B,數(shù)列{},有a1=3,a2=,有a1>a2,不是遞增數(shù)列,對(duì)于C,數(shù)列{5?()n﹣1},有an+1﹣an=5?()n﹣5?()n﹣1=5?()n﹣1×(﹣1)=5×>0,數(shù)列是遞增數(shù)列;對(duì)于D,數(shù)列{},有a1=,a2==,有a1>a2,不是遞增數(shù)列,故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的函數(shù)特性,涉及數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.2.【分析】根據(jù)題意,依次求出選項(xiàng)中直線的傾斜角,比較即可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對(duì)于A,x﹣y﹣1=0,其斜率k=1,傾斜角為45°,對(duì)于B,x+y﹣1=0,其斜率k=﹣1,傾斜角為135°,對(duì)于C,x﹣y﹣1=0,其斜率k=,傾斜角為60°,對(duì)于D,x+y﹣1=0,其斜率k=﹣,傾斜角為120°,則B選項(xiàng)中直線的傾斜角最大;故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的傾斜角,涉及直線的斜率與傾斜角的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.3.【分析】AB選項(xiàng),先根據(jù)題目條件得到a7=0,從而,a8=d<0,AB錯(cuò)誤;C選項(xiàng),由S7=S6+a7=S6得到C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),得到當(dāng)1≤n≤6時(shí),an>0,a7=0,當(dāng)n>7時(shí),an<0,故D正確.【解答】解:AB選項(xiàng),因?yàn)镾5=S8,所以a6+a7+a8=0,因?yàn)閿?shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列,所以a6+a8=2a7,故a6+a7+a8=3a7=0,解得a7=0,又a1>0,所以,a8=a7+d=d<0,AB錯(cuò)誤;C選項(xiàng),S7=S6+a7=S6,故C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),由于a1>0,a7=0,d<0,故當(dāng)1≤n≤6時(shí),an>0,當(dāng)n>7時(shí),an<0,故Sn的最大值為S6或S7,D正確.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì),求和公式的應(yīng)用,屬于中檔題.4.【分析】由題意最遠(yuǎn)距離為圓心到直線的距離加半徑,當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線與直線垂直時(shí)最大,求出最大值,直線與圓有交點(diǎn)時(shí)距離最小,由此求出距離的范圍.【解答】解:因?yàn)橹本€y=kx+1恒過(guò)定點(diǎn)A(0,1)點(diǎn),當(dāng)直線與AC垂直時(shí),點(diǎn)P到直線y=kx+1距離最大,等于|AC|+r,又因?yàn)閳A心坐標(biāo)為:(2,﹣1),半徑為,所以距離最大為+=3,當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)距離最小為,所以點(diǎn)P到直線y=kx﹣1距離的范圍是:[,],故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式及直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.5.【分析】根據(jù)題意,由直線方向向量與法向量的定義,對(duì)選項(xiàng)逐一判斷,即可得到結(jié)果.【解答】解:直線垂直于y軸,則該直線的一個(gè)方向向量為(1,0),且1×0+0×1=0,所以一個(gè)法向量為(0,1),故A正確;若a=0,直線的一個(gè)方向向量為(0,1),則該直線的斜率不存在,故B錯(cuò)誤;直線的一個(gè)法向量為,因?yàn)閤0y0+y0(﹣x0)=0,所以能作為該直線的一個(gè)方向向量,故C正確;任何直線一定存在法向量與方向向量,且兩向量是相互垂直的,故D正確.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷,考查直線的方向向量和法向量的定義等基礎(chǔ)知識(shí),是基礎(chǔ)題.6.【分析】由已知遞推式得到數(shù)列{an}為等差數(shù)列,寫出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,由二次函數(shù)最值的求法結(jié)合n∈N*求Sn的最大值.【解答】解:由4an+1=4an﹣7,得:,即.∴數(shù)列{an}是以a1=25為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列.∴=.∵n∈N*,∴當(dāng)n=15時(shí),.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推式,考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,訓(xùn)練了二次函數(shù)最值的求法,是中檔題.7.【分析】考慮當(dāng)∠MPN取得最大值時(shí),則∠MPC取得最大值,結(jié)合直角三角形的正弦函數(shù)定義,可得PC取得最小值,即C到直線l的距離,可得所求半徑r.【解答】解:圓C:(x+2)2+y2=r2(r>0)的圓心C(﹣2,0),半徑為r,結(jié)合題意,畫出圖象,當(dāng)∠MPN取得最大值時(shí),則∠MPC取得最大值,而sin∠MPC==,當(dāng)PC取得最小值時(shí),∠MPC取得最大值.故PC的最小值為C到直線2x+y﹣6=0的距離d,而d==2,故==sin30°=,解得r=,故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓的位置關(guān)系,主要是直線和圓相切,考查方程思想和數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)算能力,屬于中檔題.8.【分析】根據(jù)“好集”的定義,可解關(guān)于x1,x2,x3的方程組,用x2把另外兩個(gè)元素表示出來(lái),再根據(jù)“集合M={x||x|≤100,x∈Z},通過(guò)x1,x2,x3∈M”構(gòu)造出關(guān)于x2的不等式,求出x2中最大的元素.可以求出x2的最大值,從而確定“β等差數(shù)列的個(gè)數(shù).【解答】解:∵=,且x1+x3=2x2,可得:=,∴(x1﹣x2)(x1+2x2)=0,∴x1=x2(舍),或x1=﹣2x2,∴x3=4x2,令﹣100≤4x2≤100,得﹣25≤x2≤25,∴“β等差數(shù)列”的個(gè)數(shù)為2×25=50.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】這是一道新定義題,關(guān)鍵是理解好題意,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程(組)或不等式問(wèn)題,則問(wèn)題迎刃而解.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分9.【分析】通過(guò)對(duì)稱性判斷A;兩點(diǎn)式方程的體積判斷B;截距式方程判斷C,三角形的面積判斷D;【解答】解:點(diǎn)(2,0)與(﹣1,3)的中點(diǎn)(,)滿足直線y=x+1,并且兩點(diǎn)的斜率為﹣1,所以點(diǎn)(2,0)關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為(﹣1,3),所以A正確;當(dāng)x1≠x2,y1≠y2時(shí),過(guò)(x1,y1),(x2,y2),兩點(diǎn)的直線方程為,所以B不正確;經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣2=0或x﹣y=0,正確;直線x﹣y﹣4=0,當(dāng)x=0時(shí),y=﹣4,當(dāng)y=0時(shí),x=4,所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是:=8,所以D正確;故選:ACD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假的判斷,直線方程的求法,直線的位置關(guān)系的判斷,是基本知識(shí)的考查.10.【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)直接求解.【解答】解:由數(shù)列{an}是等比數(shù)列,知:對(duì)于A,∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,∴==q2,∴數(shù)列{an2}是等比數(shù)列,故A正確;對(duì)于B,∵a3=2,a7=32,則a5=±8,又a5=a3?q2,故a5與a3同號(hào),負(fù)值舍去,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n﹣1+r,∴a1=S1=1+r,a2=S2﹣S1=(3+r)﹣(1+r)=2,a3=S3﹣S2=(9+r)﹣(3+r)=6,∴22=(1+r)×6,解得r=﹣,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若a1<a2<a3,則a1(q﹣1)>0且a1q(q﹣1)>0,∴q>0,∴或,故D正確.故選:AD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷,考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.11.【分析】運(yùn)用圓的方程和直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系,結(jié)合直線的方程,可得結(jié)論.【解答】解:對(duì)于A,圓(x﹣1)2+y2=1的圓心C(1,0),設(shè)P(3,1),可得四點(diǎn)P,A,C,B共圓,圓心為PC的中點(diǎn)(2,),半徑為|PC|=,其方程為(x﹣2)2+(y﹣)2=,兩圓的方程相減可得2x+y﹣3=0,故A正確;對(duì)于B,圓與圓有且僅有一條公切線,可得兩圓相內(nèi)切,而C1(1,0),C2(﹣2,﹣4),半徑r1=1,r2=,則|C1C2|=|r1﹣r2|,即5=|﹣1|,解得a=36,故B正確;對(duì)于C,由P在第四象限,M在第二象限,N在第一象限,可得直線l可于線段MN垂直,即直線l的斜率不存在,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由條件可得圓M:(x﹣4)2+(y﹣4)2=r2(r>0)與圓(x﹣1)2+y2=1相交,則|r﹣1|<<r+1,解得4<r<6,故D正確.故選:ABD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程和性質(zhì),以及直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系,考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力,屬于中檔題.12.【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系即可判斷A;根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)的有界性即可判新B;根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可判斷C;根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出|MP|,利用三角的恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算即可判斷D.【解答】解:已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),圓M:(x﹣cosθ)2+(y﹣sinθ)2=1,所以圓M的圓心M(cosθ,sinθ),半徑r1=1,而圓x2+y2=4的圓心O(0,0),半徑r2=2,所以|OM|=1=r2﹣r1,利用圓與圓的位置關(guān)系,可得圓M與圓x2+y2=4內(nèi)切,A正確;利用點(diǎn)到直線的距離公式,得到圓心到直線的距離,故圓和直線相切或相交,B錯(cuò)誤;利用點(diǎn)到直線的距離公式,得到圓心M(cosθ,sinθ)到直線的距離為:,因?yàn)?,又因?yàn)閳AM的半徑為1,所以圓M上到直線的距離等于1的點(diǎn)最多兩個(gè),C正確;過(guò)直線上任一點(diǎn)P作圓M的切線,切點(diǎn)為A,B,所以四邊形PAMB面積為:,當(dāng)MP垂直直線時(shí),|MP|有最小值,且,因?yàn)?,所以|MP|min=2,則四邊形PAMB面積的最小值為,D正確.故選:ACD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分13.【分析】求出B關(guān)于直線x﹣y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)B',可得CB'的直線方程,聯(lián)立解出即可得出A的坐標(biāo).【解答】解:B(1,4)關(guān)于直線x﹣y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)B'(a,b);?,∴B'(3,2),C(6,3),∴CB'的直線方程為x﹣3y+3=0,則由角平分線以及對(duì)稱可知B'(a,b)一定在直線AC上,聯(lián)立,解得,∴A(0,1),故答案為:(0,1).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)稱性、直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.14.【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)列式求解即可.【解答】解:∵a,b∈R,滿足a,b,a+b是等差數(shù)列,且a,b,ab是等比數(shù)列,∴2b=a+a+b且b2=a?ab,且a≠0,b≠0,∴a=2,b=4.故答案為:2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差與等比數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15.【分析】直接利用基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.【解答】解:直線m:λx﹣y+λ=0和n:x+λy﹣3﹣2λ=0,故直線m恒過(guò)點(diǎn)(﹣1,0),直線n恒過(guò)定點(diǎn)(3,2);當(dāng)PA⊥PB時(shí),所以|PA|2+|PB|2=|AB|2,故|PA|2+|PB|2=(3+1)2+(2﹣0)2=20,根據(jù)基本不等式:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故答案為:10.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):基本不等式,主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.16.【分析】P(t,0),則,可看成點(diǎn)P到兩定點(diǎn),的距離和,而A,B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè),所以A,B連線與x軸的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)P.【解答】解:的圓心為O1(0,2),半徑r1=1,的圓心為O2(3,6),半徑r2=3,設(shè)P(t,0),則,,所以|PM|+|PN|=+=+,取,,則,當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào),此時(shí)AB直線:,令y=0,則,∴.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】此題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查距離公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離和的最小值,結(jié)合圖形求解,考查數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.四、解答題:共70分。第17題10分,第18題至第22題均12分/題,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17.【分析】(1)由題意,利用兩直線平行的性質(zhì),用點(diǎn)斜式求直線CD的方程.(2)由題意,利用中點(diǎn)公式求出E的坐標(biāo),再利用兩直線垂直的性質(zhì),用點(diǎn)斜式求出過(guò)點(diǎn)A且與直線DE垂直的直線的方程.【解答】解:(1)∵平行四邊形ABCD中,A(﹣1,2),B(1,3),C(3,﹣1),∴CD直線的斜率,即直線AB的斜率,為=,故直線CD的方程為y+1=(x﹣3),即x﹣2y﹣5=0.(2)∵點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn),∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(2,1),BC的斜率為=﹣2,故過(guò)點(diǎn)A且與直線DE垂直的直線的斜率為,故過(guò)點(diǎn)A且與直線DE垂直的直線為y﹣1=(x﹣2),即x﹣2y=0.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線段的中點(diǎn)公式、兩直線平行、垂直的性質(zhì),用點(diǎn)斜式求直線的方程,屬于基礎(chǔ)題.18.【分析】(1)利用累加法,即可得出答案;(2)由(1)得,利用裂項(xiàng)相消法求和,即可證明結(jié)論.【解答】解:(1)∵an+1=an+n+1,即an+1﹣an=n+1,∴當(dāng)n≥2時(shí),a2﹣a1=2,a3﹣a2=3,?,an﹣an﹣1=n,由累加法得,∴,又當(dāng)n=1時(shí),也符合上式,故;(2)證明:由(1)得,則,∴.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差、等比的定義和性質(zhì),累加法求通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)相消求和,屬中檔題.19.【分析】(1)設(shè)an,bn分別為甲省,乙省在第n月新購(gòu)校車的數(shù)量.依題意,{an}是首項(xiàng)為10,公比為1+50%=的等比數(shù)列;{bn}是首項(xiàng)為40,公差為m的等差數(shù)列,求出相應(yīng)數(shù)列的和,即可求經(jīng)過(guò)n個(gè)月,兩省新購(gòu)校車的總數(shù)S(n);(2)若計(jì)劃在3個(gè)月內(nèi)完成新購(gòu)目標(biāo),則S(3)≥1000,可得不等式,解不等式,即可得出結(jié)論.【解答】解:(1)設(shè)an,bn分別為甲省,乙省在第n月新購(gòu)校車的數(shù)量.依題意,{an}是首項(xiàng)為10,公比為1+50%=的等比數(shù)列;{bn}是首項(xiàng)為40,公差為m的等差數(shù)列.{an}的前n項(xiàng)和An=,{bn}的前n項(xiàng)和Bn==40n+.所以經(jīng)過(guò)n個(gè)月,兩省新購(gòu)校車的總數(shù)為S(n)=An+Bn=+40n+=20[()n﹣1]+40n+=20?()n+n2+(40﹣)n﹣20.(8分)(2)若計(jì)劃在3個(gè)月內(nèi)完成新購(gòu)目標(biāo),則S(3)≥1000,所以S(3)=20()3+×32+(40﹣)×3﹣20≥1000,解得m≥277.5.又m∈N*,所以m的最小值為278.(13分)【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的運(yùn)用,考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,確定數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列是關(guān)鍵.20.【分析】(1)求出線段AB的垂直平分線的方程,與直線2x﹣y﹣3=0的方程,可得出圓心C的坐標(biāo),求出圓C的半徑,即可得出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)說(shuō)明直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程,通過(guò)向量的數(shù)量積,轉(zhuǎn)化求解圓心到直線l的距離,求出k的值,即可求解直線l的方程.【解答】解:(1)圓C經(jīng)過(guò)A(2,0)、B(0,4)兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為(1,2),直線AB的斜率為﹣2,所以線段AB的中垂線方程為y﹣2=(x﹣1),即x﹣2y+3=0,圓心C為AB的中垂線與直線x+2y﹣9=0的交點(diǎn),聯(lián)立,解得x=y(tǒng)=3,故圓心為C(3,3),圓C的半徑r==,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣3)2+(y﹣3)2=10;(2)過(guò)點(diǎn)T(﹣1,0)的直線l與圓C相交于P、Q兩點(diǎn),且,可得=﹣5,可得∠PCQ=120°,所以C到PQ的距離為:,可知直線l的斜率存在,設(shè)為k,直線l:y=k(x+1),即kx﹣y+k=0,可得,解得k=或k=,直線l的方程:x﹣3y+1=0或13x﹣9y+13=0.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,斜率的數(shù)量積的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,是中檔題.21.【分析】(1)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求

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