第十章-1曲線積分

曲線積分與曲面積分前一章我們已經(jīng)把積分概念從積分范圍的角度從數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間推廣到平面或空間內(nèi)的一個(gè)區(qū)域，在應(yīng)用領(lǐng)域，有時(shí)常常會(huì)遇到計(jì)算密度不均勻的曲線的質(zhì)量、變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功、通過某曲面的流體的流量等，為解決這些問題，需要對(duì)積分概念作進(jìn)一步的推廣，引進(jìn)曲線積分和曲面積分的概念，給出計(jì)算方法，這就是本章的中心內(nèi)容，此外還要介紹Green公式、Gauss公式和Stokes公式，這些公式揭示了存在于各種積分之間的某種聯(lián)系。2023/5/241重點(diǎn)第二型曲線積分與曲面積分的概念和計(jì)算方法Green公式、Gauss公式曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件難點(diǎn)第二型曲面積分的計(jì)算基本要求①正確理解曲線積分和曲面積分概念②熟練掌握曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法2023/5/242③掌握幾種積分間的聯(lián)系，明確它們?cè)诟拍?、性質(zhì)、計(jì)算方法上的異同④掌握第二型曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件⑤牢固掌握Green公式及其成立條件⑥牢固掌握Gauss公式及其成立條件2023/5/243第十一章積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間平面域空間域曲線積分曲線弧曲面域曲線積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分2023/5/244第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

第十一章2023/5/245對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分及其計(jì)算一、問題的提出實(shí)例:曲線形構(gòu)件的質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割求和近似值取極限精確值2023/5/246二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念1.定義2023/5/247積分弧段被積函數(shù)積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量2023/5/2482.存在條件：3.推廣2023/5/249注意：4.性質(zhì)2023/5/2410三、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算定理2023/5/2411注意:特殊情形2023/5/24123.計(jì)算?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧2023/5/2413推廣:一代、二換、三定限代：將積分曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)，換：換弧微元定限：定積分限，下限—小參數(shù)，上限—大參數(shù)2023/5/2414例1.

計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)2023/5/2415例2計(jì)算其中L為在第二象限的部分解一將L表示為2023/5/2416解二將L表示為解三將L表示為參數(shù)方程2023/5/2417例2解2023/5/2418例3解2023/5/2419例4解例52023/5/2420解由對(duì)稱性,知注關(guān)于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的對(duì)稱性①若L關(guān)于

y

軸對(duì)稱2023/5/2421其中L1是L的關(guān)于

y

軸對(duì)稱的部分弧段②若L關(guān)于x

軸對(duì)稱其中L2是L的關(guān)于x

軸對(duì)稱的部分弧段2023/5/2422③若L關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱其中L3是L的對(duì)稱的部分弧段④若L關(guān)于直線

y=x

對(duì)稱與重積分的對(duì)稱性十分類似2023/5/2423四、幾何與物理意義2023/5/24242023/5/2425例2.計(jì)算半徑為R,中心角為的圓弧L

對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度

=1).解:

建立坐標(biāo)系如圖,則2023/5/2426五、小結(jié)1、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念2、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算3、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的應(yīng)用思考題對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義中的符號(hào)可能為負(fù)嗎？2023/5/