人教版高中數(shù)學(xué)選修（1-2）1.1.3回歸分析基本思想及其初步應(yīng)用第三課時(shí)

選修1-2

1.1.3回歸分析基本思想及其初步應(yīng)用第三課時(shí)（谷楊華）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.核心素養(yǎng)：

通過學(xué)習(xí)回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用，初步形成基本的數(shù)據(jù)分析能力.

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）1.1.3.1溫習(xí)線性回歸模型，.理解建立回歸模型的基本步驟.

（2）1.1.3.2通過非線性回歸分析，能將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型.

（3）1.1.3.3通過非線性回歸分析，判斷幾種不同模型的擬合程度.

3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

通過非線性回歸分析，能將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型.

4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

通過非線性回歸分析，判斷幾種不同模型的擬合程度

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課前設(shè)計(jì)

1.預(yù)習(xí)任務(wù)

任務(wù)1

閱讀教材P6—P8,思考在回歸分析中，建立回歸模型的基本步驟是什么？

任務(wù)2

當(dāng)兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，如何建立回歸模型？

2.預(yù)習(xí)自測

1.有下列數(shù)據(jù):

X123

y35.9912.01

下列四個(gè)函數(shù)中，模擬效果最好的為（）

A.y=3x2'T

B.y=log,x

C.y=3x

D.y=x2

解：

2.已知回歸方程$=2x+l,而試驗(yàn)得到一組數(shù)據(jù)是(2,4.9),(3,7.1),(4,9.1),則殘差平

方和是()

A.0.01

B.0.02

C.0.03

D.0.04

解：C

(二)課堂設(shè)計(jì)

1.知識(shí)回顧

____

AAAA—>)工七毛一〃》,Aa

(1)線性回歸方程：y=bx+a,其中.i------——=號(hào)......-,a=y-bx

￡(西-幻2一〃1

/=1i=l

(2)線性回歸模型：產(chǎn)法+a+e其中。和人為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差.

(3)數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱

6=y-y：(i=l,2,3,…，n)為殘差.由％=.玉+a,得已=y(.-hx,.-a(z=1,2,3,…，〃).

〃

t(x-UA

(4)相關(guān)系指數(shù)：甯=1-號(hào)....—

E(y,--y)2

i=\

(5)R2是刻畫回歸效果的量，除了表示回歸模型的擬合效果，也表示解釋變量和預(yù)報(bào)變量

的線性相關(guān)關(guān)系(在線性回歸模型中).R2越大，說明殘差平方和越小，模型的擬合效果越好,

在線性回歸模型中，f越接近于1,回歸的效果越好(因?yàn)樾脑浇咏?,表示解釋變量和

預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng))

2.問題探究

問題探究一建立回歸模型的基本步驟是什么？

?活動(dòng)一歸納提升，總結(jié)一般方法

例1某城區(qū)為研究城鎮(zhèn)居民月家庭人均生活費(fèi)支出和月人均收入的相關(guān)關(guān)系，隨機(jī)抽

取10戶進(jìn)行調(diào)查，其結(jié)果如下:

月人均收入X/元3003904205205707007608008501080

月人均生活費(fèi)y/元255324335360450520580600630750

試預(yù)測人均月收入為1100元和人均月收入為1200元的兩個(gè)家庭的月人均生活費(fèi).

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

詳解：作出散點(diǎn)分布圖如圖，由圖可知，月人均生活費(fèi)與人均收入之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

__101010

通過計(jì)算可知x=639,>=480.4,=4610300,2=2540526,Z%y=3417560,

i=li=li=\

10___

aa_

所以。=鼻--------------?0.6599.a=y-bx^58.751,

22

fxy-10x

/=1

所以回歸直線方程為y=0.6599x+58.751.

計(jì)算相關(guān)系數(shù)得『0.993136,故月人均收入與月人均生活費(fèi)之間具有顯著相關(guān)關(guān)系.

作殘差圖如圖，由圖可知，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型

比較合適.

t

30

20

10

O

—10

-20

-30

-40

-50

計(jì)算相關(guān)指數(shù)得R?=0.9863,說明城鎮(zhèn)居民的月人均生活費(fèi)的差異有98.63%是由月人均

收入引起的.

由以上分析可知，我們可以利用回歸方程R0.6599X+58.751.來作為月生活費(fèi)的預(yù)報(bào)值.

將x=1100代入回歸方程得＞=784.59元；將x=1200代入回歸方程得y=850.58元.

故預(yù)測月人均收入分別為1100元和1200元的兩家庭的月人均生活費(fèi)分別為784.59元和

850.58元.

點(diǎn)撥：建立回歸模型的基本步驟

（1）確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量.

（2）畫出解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在線性關(guān)系等）.

（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如果我們觀察到詩句呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程）.

（4）按一定的規(guī)則（如最小二乘法）估計(jì)回歸方程中的參數(shù).

（5）得出結(jié)論后分析殘差圖是否有異常（如個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差絕對值過大，殘差呈現(xiàn)不隨

機(jī)的規(guī)律性等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤或模型是否合適等.

問題探究二若兩變量為非線性相關(guān)關(guān)系，如何建立回歸模型？|重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)C

?活動(dòng)一整合舊知，發(fā)現(xiàn)新問題

當(dāng)兩個(gè)變量呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，我們通過模擬線性回歸模型，用回歸分析的基本思想對

兩個(gè)變量進(jìn)行研究.若當(dāng)有些變量間的關(guān)系并不是線性相關(guān)，怎樣確定回歸模型？

例2一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，試建

立y與x之間的回歸方程.

編號(hào)1234567

溫度x/℃21232527293235

產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

詳解：根據(jù)收集數(shù)據(jù)，作散點(diǎn)圖：

產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)產(chǎn)卵致。溜朦的關(guān)系

?活動(dòng)二觀察發(fā)現(xiàn)，尋找新模型

樣本點(diǎn)并沒有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，因此兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，即不能直接用線

性回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系.怎樣確定回歸模型？

首先要作出散點(diǎn)圖，如果散點(diǎn)圖中的樣本點(diǎn)并沒有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，則兩個(gè)變量

不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，不能直接利用回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系，根據(jù)已有的函數(shù)

知識(shí)，觀察樣本點(diǎn)是否呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系或二次函數(shù)關(guān)系，選定適當(dāng)?shù)幕貧w模型.

根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，從散點(diǎn)圖中可以看到樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲的

周圍.

?活動(dòng)三非線性轉(zhuǎn)化為線性問題

如果兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性相關(guān)關(guān)系，怎樣求出回歸方程？

可以通過對解釋變量進(jìn)行變換，如對數(shù)變換或平方變換，先得到另外兩個(gè)變量間的回歸

方程，再得到所求兩個(gè)變量的回歸方程.

現(xiàn)在，我們通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，即

對〉='d/兩邊取自然對數(shù)

c

Iny=In{c}e-'=Inq+Ine—=Inq+c2xIne=Inq+c2Inegr

令z=lny,建立z與x之間的線性回歸方程z=Inc1+C2%

令。=In卬b=c2,EPz=a+bx

分析X與Z之間的關(guān)系，通過畫散點(diǎn)圖（如下圖），可知X與Z之間是存在著線性回歸關(guān)

系，可以用最小二乘法求出線性回歸方程2=4+如

由表1的數(shù)據(jù)可以得到變換后的樣本數(shù)據(jù)表

X21232527293235

Zz1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784

列表計(jì)算出各個(gè)量

編號(hào)1234567合計(jì)

溫度x/℃21232527293235192

產(chǎn)卵數(shù)W個(gè)711212466115325569

z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.78425.285

Xi2441529625729841102412255414

XiZi40.955.276.185.8121.5151.8202.4733.7

5=27.4291=3.612

，？n

J＞：=5414%=733.71

1=1/=l

-rixz

733.7-7x27.43x3.61

b=i=\=0.272

n2

25414-7x27.43

項(xiàng)-nx—2

Zi=l

2=2一九元=-3.843

2=0.272x-3.843

因?yàn)閦=lny,所以ln$=0.272x-3.843,KPy=e^-^\

問題探究三能否用其它模型來擬合上述問題?如何判斷各種的模型的擬合效果?

?活動(dòng)一二次曲線模型

樣本點(diǎn)還可以看作是分布在二次函數(shù)曲線y=c/2+（:2的周圍.

令f=/,建立y與，之間的線性回歸方程y=c}t+c2

令6=《，a=c2,BPy=a+bt.

分析y與，之間的關(guān)系，通過畫散點(diǎn)圖（如下圖）,

可看到y(tǒng)與/的散點(diǎn)圖并不分布在一條直線的周圍，即不宜用線性回歸方程來擬合它，

即不宜用二次曲線y=eV+C2來擬合y與x之間的關(guān)系，這個(gè)結(jié)論還可以用殘差分析得到.

?活動(dòng)二對比提升

為比較兩個(gè)不同模型的殘差，需建立相應(yīng)的回歸模型，用線性回歸模型擬合回歸方程

y=a+bt

1234567?

MMx/℃21232527293235192

產(chǎn)■小/個(gè)711212466115325569

t=X2441529625729841102412255414

194481279841390625531441707281104857615006254652870

hyi30875819131251749655506117760398125610918

T=773.429~=81.286

nn

匯t-=4662870匯jyt=610918

i二1i1

￡XjZj—nxz

b=闿---------------=0.367a=z-bx=-202.543

Ef

，=i

所以y=0.367f-202.543

因?yàn)?=V,即y關(guān)于N的二次回歸方程為y=0.367/_202.543.

?活動(dòng)三殘差分析

指數(shù)回歸模型與二次回歸模型中哪個(gè)能更好地刻畫紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的關(guān)系？通

過什么數(shù)據(jù)說明？

一般在參數(shù)個(gè)數(shù)一定的條件下，相關(guān)指數(shù)越大或殘差平方和越小說明模型擬合得越好.計(jì)

算每個(gè)模型的相關(guān)指數(shù)，并進(jìn)行模型的比較.

指數(shù)函數(shù)模型的相關(guān)指數(shù)

編號(hào)1234567合計(jì)

溫度"C21232527293235192

產(chǎn)卵數(shù)）/個(gè)711212466115325569

y關(guān)于x的指數(shù)回歸方程尸%=27.4295=’81286

y,-6.511.219.233.157.1129.2292.1548.374

K-7-74.3-70.3-60.3-57.3-15.333.7243.70

0.5-0.21.8-9.18.9-14.232.920.6257

(…)'5518.44940.13634.43281.7233.71136.759396.778141.4

0.270.033.1083.7079.01200.321084.261450.68

U-^)2=1450.68E(y,--y)2=78141.4

i=li=\i=l

E(x-x)2

R2=1--------------=0.98

tb-y)2

/=!

二次函數(shù)模型的相關(guān)指數(shù)

編號(hào)1234567合計(jì)

溫度xFC21232527293235192

產(chǎn)卵物/個(gè)711212466115325569

y關(guān)于1?的二次回歸方程上=0.367--202.54X=27.429廠=81.286

無-40.7-8.426.865.0106.1173.3247.0569.158

-74.3-70.3-60.3-57.3-15.333.7243.70

4=匕-九47.719.4-5.8-41.0-40.1-58.378.0-0.158

(%7)'5518.44940.13634.43281.7233.71136.759396.778141.4

<=(?-y),2274.62376.2434.051681.251608.573395.166078.5415448.4

2

￡媛=￡9-九)2=15448.43zlx>-7)=78141.4

1-12=1?=1

R2=1---------=0.802

Z8-7)2

I-l

從相關(guān)指數(shù)的計(jì)算結(jié)果來看，指數(shù)函數(shù)模型的正比二次函數(shù)模型的A?更接近于1,所以

指數(shù)函數(shù)模型的回歸效果好.

再從殘差圖看：

指數(shù)回歸模型殘差圖二次回歸模型殘差圖

從圖中可看出指數(shù)函數(shù)模型的殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀域中，所以指數(shù)函數(shù)模

型擬合精度較二次函數(shù)模型的高.

點(diǎn)撥：歸納判斷模型擬合效果的方法：

（1）可以通過變換后的散點(diǎn)圖觀察兩個(gè)新變量之間是否存在線性回歸方程；

（2）通過殘差分析比較兩種模型的擬合效果.一般情況下，比較兩個(gè)模型的殘差比較困難（某

些樣本點(diǎn)上一個(gè)模型的殘差的絕對值比另一個(gè)模型的小，而另一些樣本點(diǎn)的情況則相反），故

通過比較兩個(gè)模型的殘差的平方和的大小來判斷模型的擬合效果.殘差平方和越小的模型，擬

合的效果越好.

3.課堂總結(jié)

【知識(shí)梳理】

（1）建立回歸模型的基本步驟

①確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量.

②畫出解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在線性關(guān)系等）.

③由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如果我們觀察到詩句呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程）.

④按一定的規(guī)則（如最小二乘法）估計(jì)回歸方程中的參數(shù).

⑤得出結(jié)論后分析殘差圖是否有異常（如個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差絕對值過大，殘差呈現(xiàn)不

隨機(jī)的規(guī)律性等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤或模型是否合適等.

（2）歸納判斷模型擬合效果的方法：

①可以通過變換后的散點(diǎn)圖觀察兩個(gè)新變量之間是否存在線性回歸方程；

②通過殘差分析比較兩種模型的擬合效果.一般情況下，比較兩個(gè)模型的殘差比較困難

（某些樣本點(diǎn)上一個(gè)模型的殘差的絕對值比另一個(gè)模型的小，而另一些樣本點(diǎn)的情況則相

反），故通過比較兩個(gè)模型的殘差的平方和的大小來判斷模型的擬合效果.殘差平方和越小的

模型，擬合的效果越好.

【重難點(diǎn)突破】

（1）如果兩個(gè)變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，常見的兩個(gè)變量間的關(guān)系還有指數(shù)函數(shù)關(guān)系、

二次函數(shù)關(guān)系.

（2）兩個(gè)變量間的非線性關(guān)系可以通過對解釋變量的變換（對數(shù)變換、平方變換等）轉(zhuǎn)化

為另外兩個(gè)變量的線性關(guān)系.

（3）比較不同模型的擬合效果，可以通過殘差平方和的大小，相關(guān)指數(shù)的大小來判斷.

4.隨堂檢測

1.變量x,y的散點(diǎn)圖如圖所示，那么x,y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r最接近的值為（）

Ox

A.1

B.-0.5

C.0

D.0.5

答案：C

解析：【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

2.某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，某同學(xué)獲得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表:

X1.99345.16.12

y1.54.047.51218.01

對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出下列擬合曲線，其中擬合程度最好的是（）

A.y=2x2

B.y=b

C.y=log2X

D.y=1（x2-1）

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：D

A

4.已知方程y=0.85x—82.71是根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，其中x的單位

A

是cm,y的單位是kg,那么針對某個(gè)體（160,53）的殘差是（）

A.-0.29

B.0.29

C.-0.58

D.3

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：A

5.在研究兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)集中于某一條指數(shù)曲線y=。的周

圍，令z=lny,求得線性回歸方程為z=0.25x-2.58,則該模型的回歸方程為.

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：y=e025T8z=0.25x—2.58,z=lny,...y=e025Az58

（三）課后作業(yè)

基礎(chǔ)型自主突破

1.兩個(gè)變量有線性相關(guān)關(guān)系且殘差的平方和等于0,則（）

A.樣本點(diǎn)都在回歸直線上

B.樣本點(diǎn)都集中在回歸直線附近

C.樣本點(diǎn)比較分散

D.不存在規(guī)律

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：A

2.散點(diǎn)圖在回歸分析中的作用是（）

A.查找個(gè)體個(gè)數(shù)

B.比較個(gè)體數(shù)據(jù)大小關(guān)系

C.探究個(gè)體分類

D.粗略判斷變量是否相關(guān)

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：D

3.為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做了100次和150

次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法,求得回歸直線分別為人和/2.已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對變量x

的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是s,對變量），的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是那么下列說法正確的是（）.

All和/2有交點(diǎn)（s,f）

B./）與/2相交，但交點(diǎn)不一定是區(qū)。

C.A與h必定平行

D./1與/2必定重合

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解:A都過樣本中心點(diǎn)（s,f）,但斜率不確定.

4.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A,B兩變量做回歸分析，分別得到散點(diǎn)圖與殘差平方和

￡（%-少）2如下表

/=1

甲乙丙T

B,\B

J:,**I.

散點(diǎn)圖????,：

01A0A0AO\A

殘差平

115106124103

方和

哪位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)擬合A,8兩變量關(guān)系的模型擬合精度高？（）

A.甲

B.乙

C.丙

D.T

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：D

5.在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時(shí)，若求得相關(guān)指數(shù)R2之,表明“氣溫解釋了85%

的熱茶銷售杯數(shù)變化”或者說“熱茶銷售杯數(shù)差異有85%是由氣溫引起的”.

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解:0.85

能力型師生共研

6.若一函數(shù)模型為丁=0?+區(qū)+以。=0），為將y轉(zhuǎn)化為關(guān)于/的線性回歸方程，則需作的變

換，=（）

A.x2

B.（x+a）2

C.（x+g）2

2a

D.以上都不對

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

答案：C

解析：丁關(guān)于，的線性回歸方程，實(shí)際上就是y關(guān)于/的一次函數(shù)，又因?yàn)?/p>

2

,b、24ac-b

y=a（x+——）+------

2a4a

7.某學(xué)生在高三學(xué)年最近九次考試中的數(shù)學(xué)成績加下表:

第X考試123456789

數(shù)學(xué)成績y（分）121119130106131123110124116

設(shè)回歸直線方程產(chǎn)區(qū)+a,則點(diǎn)（a,b）在直線x+5y-10=0的（）

A.左上方

B.左下方

C.右上方

D.右下方

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：C

8.某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，收集

數(shù)據(jù)如下：

加工零件X（個(gè)）1020304050

加工時(shí)間y（分鐘）6469758290

經(jīng)檢驗(yàn)，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，那么對于加工零件的個(gè)數(shù)X與加工時(shí)間y這兩個(gè)

變量，下列判斷正確的是（）

A.成正相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（30,75）

B.成正相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（30,76）

C.成負(fù)相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（30,76）

D.成負(fù)相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（30,75）

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：B

探究型多維突破

9.下表提供了甲產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與利潤y（萬元）的幾組對照數(shù)據(jù).

X3456

y2.5344.5

（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程9=^+3；

（2）計(jì)算相關(guān)指數(shù)后的值，并判斷線性模型擬合的效果.

￡（%-X）（K-y）￡

參考公式：6-------=——=號(hào)-----,a=y-bx,R2=1-與-----

S（七一X），Xxi2~nx'S（x->,）2

i=]i=li=l

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸方程的算法；，回歸方程的應(yīng)用】

（1）1=4.5,亍=3.5

—2.

/.nx-y=4x4.5x3.5=63,nx=4x4.5~=81,

"n

=7.5+12+20+27=66.5,=9+16+25+36=86

f=lf=l

n

13廠雇“66.5-63_o7

??u———u./Aa-y-bx=3.5-0.7x4.5=0.35

<2-286-81

~nx

i=l

，y關(guān)于x的線性回歸方程9=0.7x+0.35

(2)—5)2=(2.5—3.5尸+(3—3.5尸+(4—3.5)2(4.5—35)2=25

i=l

f(y_%了=(2.5-2.45)2+(3-3.15『+(4-3.85)2(4.5-4.55)2=0.05

1=1

￡日一訂005

，代=1一號(hào)--------=1一吧=0.98I.線性模型擬合的效果較好

V(一、22.5

1=1

10.某公司采用眾籌的方式募集資金，開發(fā)一種創(chuàng)新科技產(chǎn)品，為了解募集資金x(單位：萬元)

與收益率y之間的關(guān)系對近6個(gè)季度籌到的資金%和收益率%的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)

據(jù)表：

X2.002.202.603.203.404.00

y0.220.200.300.480.560.60

(1)通過繪制并觀察散點(diǎn)圖的分布特征后,分別選用、=。+笈與丁=。+1怛》作為眾籌到的資

金x與收益率y的擬合方式，再經(jīng)過計(jì)算，得到這兩種擬合方式的回歸方

y=0.34=0.02x,y=-0.27+1.471gx和下表統(tǒng)計(jì)數(shù)值，試運(yùn)用相關(guān)指數(shù)比較以上兩回歸方程的

擬合效果；

y=a+bxy=c+d1gx

f=l扣f)

0.150.130.01

(2)根據(jù)以上擬合效果較好的回歸方程，解答：預(yù)測眾籌資金為5萬元時(shí)的收益率.(精確到

0.0001)

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：(1)由已知，得對于方程y=0.34+0.02x,相關(guān)指數(shù)丈=1一黑。0.133；

對于方程y=-0.27+1.471gx,相關(guān)指數(shù)7?2=1-黑?0.933>0.133,

所以方程y=-0.27+1.471gx的擬合效果更好.

(2)當(dāng)x=5時(shí),y=-0.27+1.47lg5a0.7575;

（四）自助餐

1.變量X與y之間的回歸方程表示（）

A.x與y之間的函數(shù)關(guān)系

B.X與y之間的不確定性關(guān)系

C.x與y之間的真實(shí)關(guān)系形式

D.X與y之間的真實(shí)關(guān)系達(dá)到最大限度的吻合

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：D

2.已知回歸方程》=2x+l,而試驗(yàn)得到一組數(shù)據(jù)是（2,4.9）,（3,7.1）,（4,9.1）,則殘差平

方和是（）

A.0.01

B.0.02

C.0.03

D.0.04

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：C

3.一臺(tái)機(jī)器由于使用時(shí)間較長，但還可以使用，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機(jī)器零件有一

些會(huì)有缺點(diǎn)，每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)零件的多少隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化，下表是抽樣試驗(yàn)結(jié)果:

轉(zhuǎn)速x/(rad/s)1614128

每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件數(shù)y/件11985

若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)的產(chǎn)品中有缺點(diǎn)的零件數(shù)最多為10個(gè)，那么機(jī)器的轉(zhuǎn)速應(yīng)該控制

所在的范圍是（）

A.10轉(zhuǎn)4s以下

B.15轉(zhuǎn)/s以下

C.20轉(zhuǎn)/s以下

D.25轉(zhuǎn)入以下

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：B

4.已知x,y的取值如下表：

X0134

y2.24.34.86.7

若具有線性相關(guān)關(guān)系且回歸方程為y=0.95x+a,則a的值為（）

A.0.325

B.2.6

C.2.2

D.0

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解:B由已知得了=2,9=4.5,而回歸方程過點(diǎn)（月歹），則4.5=0.95x2+“,a=2.6.

5.某工廠為了新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到

如下數(shù)據(jù)：

單位x（元）456789

銷量＞（件）908483807568

由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為5=-4x+6,若在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直

線左下方的概率為（）

I

A6

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：B

6.某企業(yè)對自己的拳頭產(chǎn)品的銷售價(jià)格（單位：元）與月銷售量（單位：萬件）進(jìn)行調(diào)查,

其中最近五個(gè)月的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

價(jià)格X99.5m10.511

銷售量y11n865

由散點(diǎn)圖可知，銷售量y與價(jià)格x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是:

A

y=-3.2x+40,且加+〃=20,貝(]〃=()

A.10

B.5

C.13

D.2

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：A

7.以下四個(gè)命題，其中正確的序號(hào)是.

①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測，

這樣的抽樣是分層抽樣；

②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1;

③在線性回歸方程9=0.2元+12中，當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量亍平均增加

0.2個(gè)單位；

④對分類變量x與y的隨機(jī)變量K2的觀測值上來說，攵越小，“x與y有關(guān)系”的把握程度越

大.

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

解：②③①是系統(tǒng)抽樣；對于④，隨機(jī)變量K2的觀測值左越小，說明兩個(gè)相關(guān)變量有

關(guān)系的把握程度越小.

8.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y有一組觀測數(shù)據(jù)⑶，y,■）（/=1,2,8）,其線性回歸方程

是g=+?，且X1+X2+X3+…+犬8=28+”+”+…+泗）=6,則實(shí)數(shù)4的值是.

【知識(shí)點(diǎn)：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】

答案：￡=』

8

解析：依題意可知樣本點(diǎn)的中心為隹，I）,則|=抬+?解得&=L

8

9.某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與醫(yī)院

抄錄了1至6月份每月10日的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：

日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日

晝夜溫差》（℃）1011131286

就診人數(shù)y（個(gè)）222529261612

該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選舉2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方

程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

（1）若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸

方程5=bx+