2015屆高三數(shù)學(xué)黃金考點(diǎn)匯編13三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)理(含解析)

考點(diǎn)13三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)(理)

【考點(diǎn)分類】

熱點(diǎn)一三角函數(shù)的圖像

1.12014浙江高考理第4題】為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖像，可以將函數(shù)

y=&sin3x的圖像()

jrn

A.向右平移七個(gè)單位B.向左平移七個(gè)單位

44

TTTT

C.向右平移三個(gè)單位D.向左平移三個(gè)單位

1212

答案：D

解析：y=sin3x+cos3x=V2sin-.十二，￡：只需將i，=gsin3x向左平移二個(gè)單位.

4J,12

考■點(diǎn)：三角函數(shù)化簡(jiǎn).圖像平移.

2.12014高考上海理科第12題】設(shè)常數(shù)a使方程sinx+JJcosx=a在閉區(qū)間［0,2乃］上恰

有三個(gè)解貝1］++工2+工3=_______」

【答案】—3

【解析】原方程可變?yōu)閍=2sin(x+1),力二國(guó)作中叫放j=Lm(x+［，xw［(X2；r］的圖象，再作直線

33

y=a,從圖象可知函數(shù)j=2sin(x+1)―02用在「二；上述噌，隹，二］上遞誠(chéng)在［二二刈上遞

二6666

噌，只有當(dāng)々時(shí)，直線j=〃與函數(shù)j~二［1<+三)：工W“：2用的圖冢有三個(gè)交點(diǎn)，x1=0,七=三，

33

7式

x3=27Tf所以甬+x：+x?=T

【考點(diǎn)】解三角方程，方程的解與函數(shù)圖象的交點(diǎn).

3.【2014遼寧高考理第9題】將函數(shù)y=3sin（2x+^）的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得

圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)（）

TT77r7萬(wàn)

A.在區(qū)間［上,二］上單調(diào)遞減B.在區(qū)間［土,3］上單調(diào)遞增

12121212

C.在區(qū)間［-工，工］上單調(diào)遞減D.在區(qū)間［-工，工］上單調(diào)遞增

6363

【答案】B

【解析】

試題分析：將函數(shù)j=3sin（2x+1）的圖象向右平移三外呈位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為

丁=3sin（2x-三），令一二+2k;r?2:、一三W,kez,即y=3sin（2x-三）的噌區(qū)間

32323

為［三+左匹］；+太幻.kwz,令40,咱可知3正確.

考點(diǎn)：函數(shù)丁=4sin（公v+3）的性質(zhì)

4.12014高考江蘇卷第5題】已知函數(shù)〉=cosx與函數(shù)y=sin（2x+，）（0K。＜）），它們的

TT

圖像有一個(gè)橫坐標(biāo)為y的交點(diǎn)，則（P的值是.

7F

【答案】-

6

【解析】由題意cos］=sin（2x1+9）,即＜n（蘭+3）-上蘭+夕=匕工+（一廳春，（kwZ）,因?yàn)?/p>

式

Q＜（p＜^,所以@=工.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)與已知三角的初值求角.

5.【2014全國(guó)1高考理第6題】如圖，圖0的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn),

角x的始邊為射線0A,終邊為射線0P,過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M,將點(diǎn)M到直線

0P的距離表示成x的函數(shù)/&）,則y=/（x）在［0,淚的圖像大致為（）

【答案】C

【解析】

試題分析：如圖所示，當(dāng)OWxS二時(shí)，在Rt'OPZ中，OM=OPcosx=cosx.在Rt'O'ID中，HD=

jr

OMsinx=cosxsinx=—sin2x?當(dāng)；vx￡；r時(shí)在KfAOPl/中，

OM=OPcos(^-x)=-cosx,在KrAOJA?卬，MD=OMsin(zT-x)=-cosxsinx=-^-sin2x>所

以當(dāng)女時(shí)，］=/仁)的圖象大致為€；.

【考點(diǎn)定位】1.解直角三角形；2、三角函數(shù)的圖象.

6.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)?考試（四川卷）理科】函數(shù)

“x)=2sin(s+e)3>(),4<*<g的部分圖象如圖所不’則引的值分

別是()

nn

(A)2,——(B)2,——

36

7171

(C)4,--(D)4,-

63

【答案】A

【解析】由圖知，周期7滿足27二2一（一上），???7=7「、0＞0,.?.。=2,故/（x）=2sin（2x+°）,

4123

圖象的最高點(diǎn)為—.2＞于是由“五點(diǎn)法”對(duì)，知二/二+。=二，解得。=-上，選A.

,,12'1223

7.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷）理】將函數(shù)丫=6＜：0$》+$出）。€2的

圖象向左平移〃?（加＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則小的最小值是（）

A.兀D.5兀

VI

［答案］B

［解析］易知J=2sin（x+!）,向左平移m個(gè)單位后得v：*n（x+F+叨），圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，貝U令

33

二+冷？=:+Z.得:t=二+舊7,又，＞、,故m的最i直為二.選3.

飛，二A

8.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（山東卷）理】將函數(shù)y=sin（2x+°）的圖象沿

1T

軸向左平移1個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則。的一個(gè)可能取值為（）

【答案】B

【解析】得到的偶函數(shù)解析式為y=sin++0=sin2x+(?+eJ，顯然。=

9.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(江西卷)理】如圖，半徑為1的半圓0與等邊三

角形ABC夾在兩平行線i“i2之間，i〃i”i與半圓相交于F,G兩點(diǎn)，與三角形ABC兩

邊相交于E,D兩點(diǎn).設(shè)弧FG的長(zhǎng)為x(0Vx<￡),y=EB+BC+CD,若i從一平行移動(dòng)到i2,則

10.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(上海卷)理】

已知函數(shù)/(x)=2sin(ox),其中常數(shù)3>0.

TT27r

(1)若y=/(x)在［-2,二］上單調(diào)遞增，求。的取值范圍;

43

(2)令0=2,將函數(shù)y=/(x)的圖像向左平移工個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)

6

y=g(X)的圖像，區(qū)間［出切(eR且。<〃)滿足：y=g(x)在［凡句上至少含有30個(gè)

零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的句中，求b-。的最小值.

【答案】【1】因?yàn)椤?gt;0，根據(jù)題意有

(2)/(x)=2sin(2x)，g(x)=2￡in(2(x+3'7=2sin(2x+g)+l

3

g(x)=0=sin(2x+^-)=-==x=、,二一方或工=k又一不兀:kwZ,

一'冤

即g(x)的零點(diǎn)相離間隔依次為二和三,

33

故若J=g(x)在心力］上至少含自3。個(gè)零點(diǎn)，貝IJ6-U的最小值為14x±+15><e=H±.

【方法規(guī)律】

1.用“五點(diǎn)法”作圖應(yīng)抓住四條：①將原函數(shù)化為丫=45畝(3+°)(4〉0,口>0)或

9ji

y=Acos(<ox+e)(A>0,刃>0)的形式；②求出周期7=-^~；③求出振幅?、芰谐鲆粋€(gè)周

期內(nèi)的五個(gè)特殊點(diǎn)，當(dāng)畫出某指定區(qū)間上的圖象時(shí)，應(yīng)列出該區(qū)間內(nèi)的特殊點(diǎn).

TT

2.y=4sin(〃M+0)的圖象有無(wú)窮多條對(duì)稱軸，可由方程5+9=攵乃+,(攵wZ)解出；它

還有無(wú)窮多個(gè)對(duì)稱中心，它們是圖象與x軸的交點(diǎn)，可山以+°=Jbr(A￡Z),解得x=

左Ji——(b左Ji——cb

-------(ASZ),即其對(duì)稱中心為(------0)U6Z).

33

TT

3.相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為5,相鄰兩對(duì)稱中心間的距離也為5.

【解題技巧】根據(jù)y=Asin(a)x+e)+k(A>0,?！?)的圖象求其解析式的問(wèn)題，主要從以下

四個(gè)方面來(lái)考慮：

(1)4的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即力=最局點(diǎn)彳最低點(diǎn);

(2)々的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即1=最』速';」最低士

9JI

(3)。的確定：結(jié)合圖象，先求出周期T,然后由7=——(。>0)來(lái)確定。；

(jj

（4）0的確定：法一：代入圖像的最高點(diǎn)坐標(biāo)區(qū)，必）或最低點(diǎn)坐標(biāo)（尤2，%），則

coxx+夕=2+2k/r（kwZ）或a）x7+°=—+2k7V（kGZ）,求夕值.

（b

法二：山函數(shù)尸4sin（3彳+0）+4最開(kāi)始與天軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一一（即令3才+。=0,

3

0

X=——3）確定0.

如：【河北省唐山市2014-2015學(xué)年度高三年級(jí)摸底考試10］將函數(shù)f（x）=sf/73x（其中。

>0）的圖象向右平移普個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于x=個(gè)對(duì)稱，則。的最小值是

26

46B.&C.4D.4

344

【答案】D

【解析】試題分析：將心）=$"郎的圖冢向左平移W務(wù)單位，與得圖象關(guān)于x=H,說(shuō)明原圖冢關(guān)于.'、=

16

一主對(duì)稱，于是“-3）=珈（一4上）=土1，:二三=收+2（拒7）,W=3；H--UGZ）,由

333324

于0,故當(dāng)4口時(shí)取得最小值三.選.，

4

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】研究三角函數(shù)圖像的變換時(shí)，要注意山y(tǒng)=Asina）x（A>0,cy>0）的圖像變換成

y=Asin(5+°)(A>0,G>0)的圖像的變換過(guò)

程：y=Asin（mx+e）=Asin［6y（x+—）］（A>0,。>0）的圖像由y=Asina）x（A>0,0>0）

co

的圖像向左（°>o）或向右（*<o）平移忸個(gè)單位長(zhǎng)度.

CD

如：【2014浙江高考第4題】為了得到函數(shù)），=sin3x+cos3x的圖像，可以將函數(shù)

y=J^sin3x的圖像（）

B.向右平移工JT個(gè)單位B.向左平移工7T個(gè)單位

44

C.向右平移27T個(gè)單位D.向左平移二7T個(gè)單位

12

答案：D

解析：y=sin3x+cos3x=yj2sinf3x+L故只需將y=V2sin3x向左平移。個(gè)單位.

考點(diǎn)：三角函數(shù)化簡(jiǎn)、圖像平移.

熱點(diǎn)二三角函數(shù)的最值

1.【2014全國(guó)2高考理第14題】函數(shù)/(x)=sin(x+20)-2sin°cos(x+e)的最大值為

【答案】1

[解析】由題意知：/(X)=sin(x+2g)-2sin夕cos，x+@)=+(x+0]-2sin0cos(x+p)

=sin9cos(x+9)+cos(Psinlx+<p]-2sin^>cos(x+^71-“sQsin[x+。)-sinpcos(x+@)

=sin[(x+0-0=sinx.即/'(x)=sinx,中二?士出，月i?以f(x)的最大值為1.

t考點(diǎn)】本小題主要考查兩角和與差的三包函數(shù)、三伊函數(shù)的最便的求解，熟練公式是解答好本類題目的

關(guān)窿

2.【2014高考湖北理第17題】某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：。C)隨時(shí)間f(單位：/?)的變

化近似滿足函數(shù)關(guān)系；

f(t)-10-V3cosf-sinz,re[0,24).

(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；

(2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11°C,則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫?

:

t答案】(1)4C;(2)在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.

【解析】

TT萬(wàn)

試題分析：(1)利用兩個(gè)角的和的正弦公式把/⑴變成〃。=10-2血(二r+二)，根據(jù)0?r<24求出

123

qr+1的取值范圍，確定sin(^r+q)的取值范圍，從而h得/(。在[。二4)上的最大值與最小值；(2)

由題意知，解三角不等式10-2sin(春I得出r的取值范圍，從而得到結(jié)論.

試題解析：(1)因?yàn)?(。=10-2-t+-^—r）=10-2sin（—r+-）

12212123

71；rrTrr

X0<f<24,所以三4三?d---<—,-l<si!i—-1,

3123k123

TTTTTTTT

當(dāng)f=2時(shí)，sin（一t——）=1；當(dāng)￡=14時(shí)，sin（一t-\——）=-1；

123123

于是/?)在［0,24)上取得最大值12,取得最小值8.

(2)依題意，當(dāng)/?)>11時(shí)實(shí)嗡室需要降溫.

由⑴得“r)=10-2sin(三什二)，

123

所以10-2sin(三7+工)>11,Fsin(—r+->-二，

1231232

X0<r<24>因此」?<」二即10<”門8,

61236

故在10時(shí)至18時(shí)實(shí)嗡室需要1r曷.

考點(diǎn)：三角函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，兩個(gè)角的和的正弦公式，三角不等式的解法.

3.12014高考江西理第16題】已知函數(shù)/(x)=sin(x+8)+acos(x+26),其中

aeR,0&

22

(1)當(dāng)4=血,。=工時(shí)，求/(x)在區(qū)間［0,何上的最大值與最小值；

4

jr

⑵若〃9=0J(萬(wàn))=1,求a,6的值.

【答案】(1)最大值為好.最小值為-L(2).'二.

2戶二一三

t解析】

試題分析：(1)求三角函數(shù)最值，首先將其化為基本三角函數(shù)形式：當(dāng)&=也f=:時(shí)，

f(x)=sin(x--)-V2cos(.r--)=—sin.v--cosx-Visin'sin(--x),再結(jié)合基本三角函數(shù)性質(zhì)求最

42224

值：因?yàn)閺亩?-xe［-曰《］,故.”?；」；/］上的品士值為〈.最小值為-1.(2)兩個(gè)獨(dú)立條

件求兩個(gè)未知數(shù)，聯(lián)立方程組求解即可.』八2'3,.'4J又知COSHKQ：

?12ase-sinH-a=l22

I.JW1

?a=-1

解得：Q了

I6

試題解析：解(1)當(dāng)。=/,。=工時(shí)，

4

/(x)=sin(x+?)+收cos(x+§=-ysinx+cosx-\/2sinx=sin(^--x)

因?yàn)閺亩鴉———?—■］

444

故小）何。㈤上的最大值為*,最小值為-L

=0cos6(1—2〃sin6)=044

（2）由，得

2?sin^-sin.-a=r又?-萬(wàn)工-0,解得T

f(左)=1

考點(diǎn)：三角函數(shù)性質(zhì)

4.【2013年全國(guó)高考新課標(biāo)（D理科】設(shè)當(dāng)年0時(shí)，函數(shù)/'（x）=sinx—2cosx取得最大值,

貝ijcos0=_____.

【答案】一半

【解析】COS8=-p=-土

在5

【方法規(guī)律】求解涉及三角函數(shù)的值域:最色）的題目一番?可以下方法：

⑴利用sinx、esx的有界性;

⑶形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為j=.4sm〔”+廣晨的形式運(yùn)步分析&「+雄的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函

數(shù)的值域；

（3）換元法：把smx或cos.、、看作一個(gè)整單，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域?最值）問(wèn)題.

【解題技巧】求三角函數(shù)的最值問(wèn)題，最主要的題型是：通過(guò)三角恒等變形將所給解析式化

為y=Asin（m+e）+攵（4>0,（v>0）的形式，再進(jìn)行求解.

①當(dāng)xeR時(shí)，+ymin=-A+k；

②當(dāng)時(shí)，則先求m+。的范圍，再利用正弦函數(shù)》=$足「的圖像寫出函數(shù)

y=sin（5+e）的最值，再進(jìn)一步求解.

如：【2014全國(guó)2高考理第14題】函數(shù)/（x）=sin（x+2夕）一2sin夕cos（x+0）的最大值

為-

【答案】1

【解析】山題意知：

/(x)=sin(x+2(p)-2sin0cos(x+0)=sin]。+(x+0)]-2sin9cos(x+(p)

「sin夕cos(x+°)+cos°sin(x+。)-2sin°cos(x+e)=cos°sin(x+e)-

sin°cos(x+w)

-sin[(x+e)-。]-sinx,即/(x)=sinx,因?yàn)閤eR,所以/(x)的最大值為1.

【考點(diǎn)】本小題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)、三角函數(shù)的最值的求解，熟練公式是解答

好本類題目的關(guān)鍵.

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在求函數(shù)的最值時(shí)，一般思路通過(guò)三角恒等變換化成y=Asin(ox+e)+Z的形

式，但不要忽視變形中的等價(jià)性，如定義域的變化.

如：【河南省安陽(yáng)一中2015屆高三第一次月考6】函數(shù)y=c°s3x-cosx的值域是

COSX

()

A.[-4,0]B.[-4,4)C.[-4,0)D.(-4,0]

【答案】D

【解析】

試題分析：先由COSXHO=XHKT+三三)得函數(shù)的W義域?yàn)榇蝫z｝，再由

I=cos辦一cosX化簡(jiǎn)得丫=7sin：X,「臼.?；也+2.三z)所以0Ssin：x<1,從而

COST2

-4<-4sin*x<0?BP-4<>,<0?紫選D.

考點(diǎn)：三角函數(shù)的值域.

熱點(diǎn)三三角函數(shù)的性質(zhì)

1.12014高考北京版理第14題】設(shè)函數(shù)/(x)=Asin(s+e)(A,0,9是常數(shù)，A>0,。>0).

若/(x)在區(qū)間親自上具有單調(diào)性，且丐)=/(爭(zhēng)=一/(令，則/(x)的最小正周期

為

【答案】冗

【解析】

試題分析：由小)在區(qū)間/學(xué)上具陪調(diào)性，且”()[青)知，函數(shù)八X)的對(duì)稱中心為《。)，

由/(馬=/(苧)知函數(shù)F(x)的對(duì)稱軋用直線x=t[+馬=二三，設(shè)函數(shù)/(x)的最小正周期為T,

2322312

所以，即72二，所以三-三=工，解得7=兀

22631234

考點(diǎn)：函數(shù)f(x)=Hsin(3r+9)的對(duì)稱性、周期性，容易題.

2.【2014高考安徽卷理第11題】若將函數(shù)/(x)=sin(2x+?)的圖像向右平移。個(gè)單位，

所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則0的最小正值是______.

【答案】—

8

【解析】

試題分析：由題意/(x)=Wsin(2x+2),將其圖象向右平移@個(gè)單位，得

4

y/lsin[2(x-G?)+-]=>/2sin[2x-2：+-],要隹二塊關(guān)于11軸對(duì)稱，則三一2°=工+%?,解得

4442

?=,當(dāng)k=-l時(shí)，。取最小正值三.

828

考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的平移；2.三角函數(shù)恒等交換與圖象性質(zhì).

1T

3.12014陜西高考理第2題】函數(shù)/Q)=cos(2x-一)的最小正周期是()

6

TT

A.—B.KC.2乃D.4TT

2

t答案】B

【解析】

試題分析：由周期公式T=三，又，，=2,所以函*?x)=cos(2x-三)的周期7=三=加

w62

故選反

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最小正周期.

4.12014大綱高考理第16題】若函數(shù)/(x)=cos2x+asinx在區(qū)間(乙二)是減函數(shù)，則。

62

的取值范圍是.

【答案】(一二2].

【解析】/r(xl=-2sin2x+acosx=-4sinxcosx+acosx-cosxl-4sinx+a).\"xe￡￡*

!62

,、，<jr疝_、

是減函數(shù)，又cosx>0,?,?由Jx)￡0得Hi+aW0：，aW4sinx在二:三；上恒成立,

.62.

a＜(4sinxJ?.,xe：￡乃.a<

[于口丁一

【考點(diǎn)】L三角函數(shù)的單調(diào)性；2.導(dǎo)數(shù)四應(yīng)用.

5.【2014高考福建理第16題】已知函數(shù)/(x)=cosx(sinx+cosx)-；.

(1)若0＜。＜T,且sina=；-,求/(a)的值;

(2)求函數(shù)/(X)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

13ITjr

【答案】(1)4;(2)Z,[k^-—M+^];k&Z

2S

【解析】

試題分析：⑴由0<々<三，且sina=正，求出伊a的余弦直再根據(jù)函數(shù)

/(x)=cosx(sinx+cosx)-；,即可：得結(jié)論.

(2)已知函數(shù)/(x)=cosx(sinx+cos由正七與余弦的二倍角公式,以及三角函數(shù)的化一公式,

將函數(shù)/")化簡(jiǎn).根據(jù)三角函數(shù)周期的公人即可的”論.根據(jù)電位的單調(diào)遞增區(qū)間,通過(guò)解不等式即可得到

所求的結(jié)論.

41由'￡、0/0011

試題解析：(1)因?yàn)镺va<3sincz——^―.所以cosa=—^―.所以f(a)=—(―^—+—^-)——=—

⑵因?yàn)?/p>

//、.'ll.、l+cos2x1'.、1,.八兀、m、i

f(x)=sinxcosx+cosx--=-sin2xH--sin2x4--cos2x=-^-sin(2x-F-),HlrkA

T=三=乃.由2上萬(wàn)一342工+；42匕1+—kuZ：得上k-1-所以f(x)的單調(diào)

3T7T

遞增區(qū)間為［匕r-—k^+-lkeZ.

8;8

考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的性質(zhì).2.三角的恒等交修.

6.【2014高考上海理科科題】函數(shù)y=l-2cos2(2x)的最小正周期是.

【答案】-

2

2；r7T

【解析】山題意y=—cos4x,7=子=]

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期.

7.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試浙江卷理】

7T

已知函數(shù)/*)=Acos(<yx+e)(A>0,?y>0，eeR),則“/(x)是奇函數(shù)”是夕=萬(wàn)的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】函數(shù)奇偶性的判斷法則是；首先看守義域是亭關(guān)于原4:W稱，然后利用函數(shù)奇偶性定義判斷，此

題主要考查正余弦函數(shù)的奇偶性，根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).「、.)=Asinax;f(x)=Acosox后即可判斷.

即當(dāng)/'(x)=Hcos(0x+O)為奇函數(shù)時(shí)，(p-\會(huì)以不是充分條件；反之當(dāng)。=5?時(shí)，

函數(shù)/(X)=Acos(<yx+三)=-Asin二:奇函數(shù)，是必要條件.所以選3.

8.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(江西卷)理】函數(shù)》=5抽2犬+2石5抽21的最小

正周期T為.

【答案】n

【解析】：y=sin2x+V3(l-cos2x)=2sin(2x-y)+VJ,/.T=TT.

9.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試天津卷理科】

已知函數(shù)/(X)=-V2sin2.r+^+6sinxcosx-2cos2x+1,xeR.

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)求/(X)在區(qū)間0,y上的最大值和最小值.

【答案】II)/(%)=-0sin2x-cos-y-r/2cos2x-sin+3sin2x-cos2x

=f(x)=2sin2x-2cos2x=25/2sin(2.v-^)?

所以f(x)的最小正周期為了=—=乃.

［II)因?yàn)?(x)在區(qū)間［0,y］上是噌函數(shù)T間序二上是減函數(shù),

又f(0)=2J)=20J?)=)

87

故函數(shù)/(X)在區(qū)間jO4i上的最大值為2盧.最小值為-2.

10.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試福建卷】已知函數(shù)

/(x)=sin(wx+e)(w>0,0<e<;r)的周期為"，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(看，。)，將函數(shù)f(x)

圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向右平移個(gè)工單位

2

長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)/(X)與g(x)的解析式

7171

(2)是否存在X°€，使得/(x°),g(x°)J(x°)g(x0)按照某種順序成等差數(shù)列？若存在,

請(qǐng)確定X。的個(gè)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由；

(3)求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)"，使得尸(x)=〃x)+ag(x)在(0,〃乃)內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)

［答案］(I)由函數(shù)/(x)=sin(tyx+石的周期七a'J,得。=2

又曲線y=/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為(9.%,”也叫

T

7T7T7

故f(W)=sin(2x；+0)=O,得0=丁所以/Y力二as2x

將函數(shù)f(x)圖冢上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到江的2倍(縱球即不變)后可得］=cosx的圖象，再將

y-cosx的圖象向右平移［個(gè)單位長(zhǎng)度后得到1L雙g(x)=>inx

(II)當(dāng)xw(二.二)時(shí)，—<sinx<^-90<cos2x<—

6,4222

所以sinx>cos2x>sinxcos2"

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx*sinxcos2x^±(—'：)內(nèi)是否有解

設(shè)G(X)=sinx+sinxcos2x-2^os2x,(二：馬

64

則G'(x)=cosx+cosxcos2x+2sin2x(2-sin.

因?yàn)樗訥'(x)>05：.)在(_1,：)六單調(diào)遞噌

又G(三)=-L<0,G(-)-->0

6442

且函數(shù)G(x)的圖彖連續(xù)不斷，故可知函數(shù)G(x)在(工,2)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x：,

64

即存在唯一的汽e(?.?)滿足題意

(III)依題意，F(xiàn)(x)=asinx+cos2x,令F(x)=asinx+cos2x=0

當(dāng)x>0且x趨近于0時(shí)，〃(x)趨向于-x

當(dāng)x<1且x趨近于;T時(shí)，4(x)趨向于一工

當(dāng)x>1且x趨近于％時(shí)，h(x)趨向于+H

當(dāng)xv2莒且x趨近于2/z?時(shí)，〃(x)趨向于

故當(dāng)a>1時(shí)，直線j=a與曲線;-=h(x]K<0:.T)亡己無(wú)交廣，在(陽(yáng)2女)內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a<-l時(shí)，直線j=a與曲線》=〃。)亦\0,；7)內(nèi)有：：丁溝點(diǎn)，在(121)內(nèi)無(wú)交點(diǎn)；

當(dāng)-l<a<l時(shí)，直線j=a與曲線j=〃(x)。兀)內(nèi)有2彳乂點(diǎn)，在(漢2為內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)

由函數(shù)h(x)的周期性，可知當(dāng)aH±1的，直線j=u與曲線x--〃(x)在((Xn.T)內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，從而不

存在正整數(shù)n,使得直線y=a與曲線y-Z?(x)在y,?,T)內(nèi)愷百2013個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a=±1時(shí)，直線1=a與

曲線j=力出在(0,乃)11(兀2團(tuán)內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn),由周期性，2013=3x671,所以“=671x2=1342

綜上，當(dāng)4=±1,”=1342時(shí)，函數(shù)F(x)=/(x)+ag⑴在(0口外內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn).

【方法規(guī)律】y=Asin(5+°)、y=Acos(5+e)、y=Atan(5+e)的性質(zhì):

①周期性

函數(shù)尸/sin(3x+0)和尸4cos(3才+。)的最小正周期為苫r,y=tan((^x+。)的最小

I3I

JI

正周期為丁.

②奇偶性

三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=4sin3/或尸力tan3x,而偶函數(shù)?般可化為y=4cossx

+6的形式.

③研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、對(duì)稱性等問(wèn)題，要注意整體意識(shí)，即將公+0看作一個(gè)整體.

如：【山東省荷澤市2014屆高三3月模擬考試】

已知函數(shù)/(x)=2sin69xcos69x+2\/3sin2cox-4i(切〉0)的最小正周期為兀.

(I)求函數(shù)/")的單調(diào)增區(qū)間；

(II)將函數(shù)〃x)的圖象向左平移三個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù))，=g(x)的

6

圖象；若y=g(x)在［0,句(b>0)上至少含有10個(gè)零點(diǎn),求6的最小值.

【答案】3)［七-三七+2］4Z(口：等

121212

【解析】

試題分析：(I)由/(工)=2sinG、8S?工0工-=.門=2sin(2c1)

3

根據(jù)函數(shù)j=/(x)的周期T=z,可得◎=:,從而蒲.二?=/(幻的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)

性求出了(X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)y=2sin(2x-^-)------------：-------->V=2sin,x-rl,選上出函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間0：萬(wàn)］內(nèi)

3

的零點(diǎn)，再根據(jù)函數(shù)的周期性求出原點(diǎn)右側(cè)第十4等點(diǎn)，從而確定5的取值范圍.

試題解析：

(I)由題意得：f(x)=2sinft;xcos6yx+2>/3sin2(ox-y^

=sinIcox-\/3cosIcox=2sin(2Gx-§),..................................................................2分

由周期為萬(wàn)，得&=1,得〃x)=2sin(2x_：),.............................................4分

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：2&萬(wàn)一三W2x-三42&九+工，

232

整理得上萬(wàn)一立<X<k7T+—,kGZ,

1212

所以函數(shù)〃尢)的單調(diào)增區(qū)間是［壯-展,丘+知，丘Z...................6分

(II)將函數(shù)f(x)的圖冢向左平移工I、單位，用向上平也聿位，得到J=2sm2x+1的圖氮所以

6

g(x)=2sin2x+l：.-3分

令g(x)=0,得工=無(wú)了一彳或工=-........................10分

1二12

所以在［。團(tuán)上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，

若丁=g(x)在［0向上有10個(gè)零點(diǎn)，則j,,卜亍第10個(gè)棗;E的橫坐標(biāo)即可，即b的最小值為

"@=空................................12分

1212

考點(diǎn)：1、兩角和與差的三角函數(shù)公式及二倍角公司，2、正弦工數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)的零點(diǎn)的概念.

【解題技巧】研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、對(duì)稱性等問(wèn)題，要注意整體意識(shí)，即將如+0看作

一個(gè)整體.如(上例)

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】求形如y=Asin(3x+6)或y=Acos(sx+6)(其中AW0,<*)>0)的函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間，可以通過(guò)解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：①把“3x+6(3>0)”視為一

個(gè)“整體"；②A>0(A<0)時(shí)，所列不等式的方向與y=sinx(xeR),y=cosx(x￡R)的單調(diào)

區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式方向相同(反).

41

如：求卜=5淪(：-5工)的單調(diào)遞增區(qū)間(教材第39頁(yè))

TT11TT1TT

【解析】y=sin(；-］x)=—sin(］x—g),令t=則y=—sinf的單調(diào)遞增區(qū)間

TT37r

是丁=41的單調(diào)遞減區(qū)間-+2k7r,—^2k7r(keZ),即

712)，3)“

—+2k7r<—X---<——+2K7T，

2232

解之得包+4Z萬(wàn)<》《止+4攵乃，

33

TT157r1\jr

即丁=5皿：一卻的單調(diào)遞增區(qū)間為專+4版■，子+4女乃(iteZ).

【考點(diǎn)剖析】

1.最新考試說(shuō)明:

(1)考查三角函數(shù)的值域與最值

(2)考查三角函數(shù)的單調(diào)性

(3)利用三角函數(shù)的值域和單調(diào)性求參數(shù)的值

2.命題方向預(yù)測(cè)：

(1)三角函數(shù)的最值以及三角函數(shù)的單調(diào)性是歷年高考的重要考點(diǎn).

(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求最值、利用單調(diào)性求參數(shù)是重點(diǎn)也是難點(diǎn).

(3)題型不限，選擇題、填空題、解答題都有可能出現(xiàn)，常與多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交匯命題.

3.課本結(jié)論總結(jié)：

⑴由y=sinx的圖象變換到y(tǒng)=4sin的圖象，有兩種變換方式：①先相位變換再

周期變換(伸縮變換)：；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是巨(。＞0)個(gè)

3

單位.原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)X而言，即X本身加減多少值，而不是依賴于

3X加減多少值.

(2)y=sinx的性質(zhì)：①定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋垡?,1］；②是周期函數(shù)，最小正周期為2萬(wàn)；③

在-5+2版'《+2"(AeZ)單調(diào)遞增，在y+2^,y+2^(keZ)單調(diào)遞減；④

TT7T

當(dāng)x=,+2kT,k￡Z時(shí)，ymax=1；當(dāng)冗=一耳+2攵乃，左EZ時(shí)，ymin=-1；⑤其對(duì)稱軸

方程為X=g+k7T(keZ),對(duì)稱中心坐標(biāo)為(br,o),keZ.

(3)y=cosx的性質(zhì)：①定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?1,1］；②是周期函數(shù)，最小正周期為2萬(wàn)；③

在［一4+2左肛2k乃］(keZ)單調(diào)遞增，在［2攵萬(wàn),乃+2%乃］(左eZ)單調(diào)遞減；④當(dāng)

x=2"■，女eZ時(shí)，ymax=1；當(dāng)x=萬(wàn)+2攵肛AeZ時(shí)，ymin=-1；⑤其對(duì)稱軸方程為

x=k7r(keZ),對(duì)稱中心坐標(biāo)為(%萬(wàn)+',()),/:eZ.

(4)y=tanx的性質(zhì)：①定義域?yàn)閤H5+左7，^z},值域?yàn)镽；②是周期函數(shù)，最

小正周期為萬(wàn)；③在(―5+女肛］+女萬(wàn))(ZeZ)單調(diào)遞增；④其對(duì)稱中心坐標(biāo)為

(容O),kwZ.

4.名師二級(jí)結(jié)論：

(1)山尸sinx的圖象變換到尸:/sin(3入+0)的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再

周期變換(伸縮變換)，平移的量是I小個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移

的量是且"(o＞。)個(gè)單位.原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)X而言，即X本身加減多

(jj

少值，而不是依賴于"X加減多少值.

(2)在由圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)，若最大值為肌最小值為加，則/1=等，k=等,3

由周期7確定，即由"=7求出，0由特殊點(diǎn)確定.

G)

⑶作正弦型函數(shù)尸/sin(3x+。)的圖象時(shí)應(yīng)注意：

①首先要確定函數(shù)的定義域；

②對(duì)于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象，就可根據(jù)周

期性作出整個(gè)函數(shù)的圖象.

(4)求三角函數(shù)值域(最值)的方法：

①利用sinx、cosx的有界性；

②形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為y=4sin(?ur+e)+k的形式逐步分析5+夕的范圍，根據(jù)正弦函

數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域；

③換元法：把sinx或cosx看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題.

5.y=Asin((av+e)、y=Acos(ftw+e)、y=4tan(?yx+e)的性質(zhì)：

①周期性

2n

函數(shù)y=Asin(a)x+和y=Jcos(a/x+。)的最小正周期為qr=tan(6)的最小

I3I

正周期為一.

(JJ

②奇偶性

三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=/sin或尸力tanax,而偶函數(shù)一般可化為/cos

+6的形式.

③研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、對(duì)稱性等問(wèn)題，要注意整體意識(shí)，即將這+0看作一個(gè)整體.

5.課本經(jīng)典習(xí)題：

⑴新課標(biāo)A版第147頁(yè)，第A9題(例題)已知y=(sinx+cosx)2+2cos?x.

①求它的遞減區(qū)間；②求它的最大值和最小值.

【解析】y=(sinx+cosx)2+2cos2x=1+2