八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式八大題型

19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系一次函數(shù)（≠0，為常數(shù)）.當(dāng)函數(shù)＝0時(shí)，就得到了一元一次方程，此時(shí)自變量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某一個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.

從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線（≠0，為常數(shù)），確定它與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.方程組解的幾何意義1．方程組的解的幾何意義：方程組的解對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．2．根據(jù)坐標(biāo)系中兩個(gè)函數(shù)圖象的位置關(guān)系，可以看出對(duì)應(yīng)的方程組的解的情況：根據(jù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，看出方程組的解的個(gè)數(shù)；根據(jù)交點(diǎn)的坐標(biāo)，求出（或近似估計(jì)出）方程組的解．3．對(duì)于一個(gè)復(fù)雜方程組，特別是變化不定的方程組，用圖象法可以很容易觀察出它的解的個(gè)數(shù)．題型1：一次函數(shù)圖象與一元一次方程的解1.（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖是一次函數(shù)的圖象，則關(guān)于的一次方程的解是（）A． B． C． D．【變式1-1】如圖所示，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，2），則方程kx+b＝2的解是（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．無(wú)法確定【變式1-2】已知一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0），如表是x與y的一些對(duì)應(yīng)數(shù)值，則下列結(jié)論中正確的是（）x…﹣1.5012…y…631﹣1…A．y隨x的增大而增大 B．該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一、二、三象限 C．關(guān)于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D．該函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)是（0，2）【變式1-3】如圖，根據(jù)一次函數(shù)y＝kx+b的圖象，直接寫(xiě)出下列問(wèn)題的答案：（1）關(guān)于x的方程kx+b＝0的解；（2）當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式kx+b的值；（3）關(guān)于x的方程kx+b＝﹣3的解．題型2：解一元一次方程與一次函數(shù)坐標(biāo)軸交點(diǎn)2.一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，函數(shù)y＝ax﹣b的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（a，0） D．（﹣b，0）【變式2-1】（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的方程的解是，則直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知方程的解為，則一次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A． B． C． D．【變式2-3】已知一次函數(shù)y＝2x﹣1的圖象如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖象解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出一次函數(shù)的圖象與x軸y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）寫(xiě)出方程2x﹣1＝3的解；一次函數(shù)與一元一次不等式由于任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為＞0或＜0或≥0或≤0（、為常數(shù)，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時(shí)求相應(yīng)的自變量的取值范圍.注意：求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，從“數(shù)”的角度看，就是為何值時(shí)，函數(shù)的值大于0？從“形”的角度看，確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍.如何確定兩個(gè)不等式的大小關(guān)系：（≠，且）的解集的函數(shù)值大于的函數(shù)值時(shí)的自變量取值范圍直線在直線的上方對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍．題型3：一次函數(shù)圖象與一元一次不等式解集3.（2023·福建寧德·校考二模）直線的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A． B． C． D．【變式3-1】如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，則kx+b＜2的解集是（）A．x＜0 B．x＞2 C．x＞﹣3 D．﹣3＜x＜2【變式3-2】（2023春·上海靜安·市北?？计谥校┲本€交坐標(biāo)軸于、兩點(diǎn)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【變式3-3】若k﹣3＞0，則一次函數(shù)y＝（3﹣k）x+k﹣3的圖象可能是（）A． B． C． D．一次函數(shù)與二元一次方程組每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這時(shí)的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo).注意：

1.兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)與二元一次方程組的解的聯(lián)系是：在同一直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)就是相應(yīng)的二元一次方程組的解.反過(guò)來(lái)，以二元一次方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)一定是相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn).2.當(dāng)二元一次方程組無(wú)解時(shí)，相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的直線就沒(méi)有交點(diǎn)，則兩個(gè)一次函數(shù)的直線就平行.反過(guò)來(lái)，當(dāng)兩個(gè)一次函數(shù)直線平行時(shí)，相應(yīng)的二元一次方程組就無(wú)解.3.當(dāng)二元一次方程組有無(wú)數(shù)解時(shí)，則相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的直線重合，反之也成立.題型4：一次函數(shù)圖象與二元一次方程組的解4.（2022秋·安徽·八年級(jí)期末）如圖，直線與相交于點(diǎn)，則關(guān)于x的方程的解是（）A． B． C． D．【變式4-1】已知直線和直線相交于點(diǎn)，則方程的解是()A． B． C． D．【變式4-2】（2023·陜西西安·?？级＃┰谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，直線與相交于點(diǎn)，則關(guān)于x，y的方程組的解為（

）A． B． C． D．【變式4-3】已知：如圖一次函數(shù)y1＝﹣x﹣2與y2＝x﹣4的圖象相交于點(diǎn)A．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若一次函數(shù)y1＝﹣x﹣2與y2＝x﹣4的圖象與x軸分別相交于點(diǎn)B、C，求△ABC的面積．題型5：函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)與一元一次不等式的解集5.（2023春·四川德陽(yáng)·八年級(jí)四川省德陽(yáng)市第二中學(xué)校?？计谥校└鶕?jù)圖象，可得關(guān)于x的不等式的解集是(

)A． B． C． D．【變式5-1】如圖，已知直線y＝ax+2與直線y＝mx+b的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是﹣2．根據(jù)圖象有下列四個(gè)結(jié)論：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2；④不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-2】（2023春·河北保定·八年級(jí)保定十三中?？计谥校┤鐖D，直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)圖象信息，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．當(dāng)時(shí)，【變式5-3】如圖，直線y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣5，0），B（﹣1，4）（1）求直線AB的表達(dá)式；（2）求直線CE：y＝﹣2x﹣4與直線AB及y軸圍成圖形的面積；（3）根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出關(guān)于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集．題型6：一次函數(shù)與方程的面積問(wèn)題6.（2023春·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．(1)求的面積；(2)利用函數(shù)圖象直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，的取值范圍．【變式6-1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，與直線交于點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)A．(1)求直線的解析式；(2)求四邊形的面積．【變式6-2】（2023春·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線的函數(shù)關(guān)系式為，且與x軸交于點(diǎn)D，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，直線與交于點(diǎn)C．(1)求直線的函數(shù)關(guān)系式；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P在y軸上，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．題型7：一元一次函數(shù)與數(shù)形結(jié)合的綜合問(wèn)題7.如圖：直線l1：y＝kx與直線l2：y＝mx+n相交于點(diǎn)P（1，1），且直線l2與x軸，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，△POA的面積是1．（1）求△POB的面積；（2）直接寫(xiě)出kx＞mx+n的解集．【變式7-1】如圖，直線l是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象，點(diǎn)A、B在直線l上，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出方程kx+b＝0的解；（2）寫(xiě)出不等式kx+b＞2的解集；（3）若直線l上的點(diǎn)P（m，n）在線段AB上移動(dòng)，則m、n的取值范圍分別是什么？【變式7-2】如圖，直線y＝kx+2與直線y＝x相交于點(diǎn)A（3，1），與x軸交于點(diǎn)B．（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式組0＜kx+2＜x的解集．題型8：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題8.甲騎自行車(chē)、乙騎摩托車(chē)沿相同路線由A地到B地，行駛過(guò)程中路程y（千米）與時(shí)間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖：（1）誰(shuí)先出發(fā)？先出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間？誰(shuí)先到達(dá)終點(diǎn)？先到多長(zhǎng)時(shí)間？（2）分別求出甲、乙兩人的行駛速度；（3）請(qǐng)根據(jù)圖象回答：在甲行駛途中，在什么時(shí)間段內(nèi)：①甲在乙的前面？②兩人相遇？③甲在乙的后面？（不包括起點(diǎn)和終點(diǎn)）【變式8-1】如圖所示，L1，L2分別表示一種白熾燈和一種節(jié)能燈的費(fèi)用y（費(fèi)用＝燈的售價(jià)+電費(fèi)，單位：元）與照明時(shí)間x（h）的函數(shù)關(guān)系圖象，假設(shè)兩種燈的使用壽命都是2000h，照明效果一樣．（1）根據(jù)圖象分別求出L1，L2的函數(shù)關(guān)系式．（2）當(dāng)照明時(shí)間為多少時(shí)，兩種燈的費(fèi)用相等？（3）小亮房間計(jì)劃照明500h，他買(mǎi)了一個(gè)白熾燈和一個(gè)節(jié)能燈，觀察圖象，用哪種燈照明最省錢(qián)？（簡(jiǎn)要說(shuō)明理由即可）．【變式8-2】甲、乙兩列火車(chē)分別從A、B兩城同時(shí)勻速駛出，甲車(chē)開(kāi)往B城，乙車(chē)開(kāi)往A城．由于墨跡遮蓋，圖中提供的是兩車(chē)距B城的路程S甲（千米）、S乙（千米）與行駛時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)圖象的一部分．（1）分別求出S甲、S乙與t的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出t的取值范圍）；（2）求A、B兩城之間的距離，及t為何值時(shí)兩車(chē)相遇；（3）當(dāng)兩車(chē)相距300千米時(shí)，求t的值．一、單選題1．一次函數(shù)的圖像如圖所示，則一元一次不等式解集為(

)A．＞-2 B．＜-2 C． D．2．如圖，函數(shù)y=3x與y=kx+b的圖象交于點(diǎn)A（2,6）,則不等式3x＜kx+b的解集為（

）A．x＜4 B．x＜2 C．x＞2 D．x＞43．直線與直線的交點(diǎn)為（

）A． B． C． D．4．關(guān)于一次函數(shù)y=x﹣1，下列說(shuō)法：①圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣1）；②y隨x的增大而增大；③圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；④直線y=x﹣1可以看作由直線y=x向右平移1個(gè)單位得到．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．如圖所示，直線l1：y1＝與直線l2：y2＝交于點(diǎn)P（﹣2，3），不等式＞的解集是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2二、填空題6．如圖，已知函數(shù)和的圖象交點(diǎn)為，則不等式的解集為_(kāi)_____．7．如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b和y＝mx＋n的圖象交于點(diǎn)P（1，2），則不等式（k﹣m）x≥n﹣b的解集是____．8．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說(shuō)法：隨x的增大而減??；；關(guān)于x的方程的解為；當(dāng)時(shí)，其中正確的是______請(qǐng)你將正確序號(hào)填在橫線上三、解答題9．已知在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn).（1）求這個(gè)一次函數(shù)解析式；（2）若