2023-2024學(xué)年福建省福州市屏東中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省福州市屏東中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在△ABC中，已知a=3，b=2A.60° B.120° C.60°或1202.已知等腰梯形ABCD，現(xiàn)繞著它的較長(zhǎng)底CDA.一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B.一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐

C.兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱 D.兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái)3.水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖△A′B′C′如圖所示，已知A

A.6 B.3 C.3224.在空間中，α，β表示平面，m表示直線，已知α∩β=lA.若m/?/l，則m與α，β都平行 B.若m與α，β都平行，則m/?/l

C.若m與l異面，則m與α，β都相交 D.若m與5.在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若a2?b2=3A.5π6 B.2π3 C.6.一個(gè)正方體的外接球的表面積為S1，從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)兩兩距離相等的點(diǎn)，以其中一點(diǎn)為球心O，另三點(diǎn)都在球O的表面，球O的表面積為S2，則S1A.83 B.263 C.7.如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P為

A.?3 B.?1312 C.138.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為BDA.點(diǎn)P可以是棱BB1的中點(diǎn)

B.線段MP的最大值為32

C.點(diǎn)P的軌跡是正方形

二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是

(

)

A.圓柱的側(cè)面積為2πR2 B.圓錐的側(cè)面積為2πR2

10.已知a=(t,A.|a|的最小值為1

B.若a⊥b，則t=0

C.若t=1，與a垂直的單位向量只能為(211.在正方形ABCD中，BC=1，點(diǎn)EA.當(dāng)t=13時(shí)，AE=13AB+AD B.當(dāng)t=12.在等腰△ABC中，已知AB=4，CA=CB=8，若HA.AH?BC=0 B.A三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.計(jì)算PA?PB+14.已知向量a在向量b方向上的投影為?2b，且|b|=3，則a?15.在△ABC中，A=π3，AB邊上的高為16.平面向量a,b,c滿足|a|=|b四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知向量a，b滿足|a|=2，(a?2b)?(a+2b)=?18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為棱PC的中點(diǎn)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F．

(1)19.(本小題12分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，滿足ctanA=2asinC．

(1)求角A20.(本小題12分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為CC1的中點(diǎn)．

(Ⅰ)21.(本小題12分)

如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，BC/?/平面PAD，BC=12AD，E是PD的中點(diǎn)．

(1)求證：C22.(本小題12分)

某景區(qū)有一人工湖，湖面有A，B兩點(diǎn)，湖邊架有直線型棧道CD，長(zhǎng)為50m，如圖所示.現(xiàn)要測(cè)量A，B兩點(diǎn)之間的距離，工作人員分別在C，D兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，在C點(diǎn)測(cè)得∠ACD=45°，∠BCD=30°；在D點(diǎn)測(cè)得∠ADB=135°，∠BDC

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵a=3，b=2，B=45°，

∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinA=asinBb=3×222=32，

2.【答案】B

【解析】解：等腰梯形的底CD較長(zhǎng)，繞其所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，

相當(dāng)于兩個(gè)全等的直角三角形分別繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成兩個(gè)圓錐，

還有一個(gè)矩形繞它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)圓柱，

所以所得的幾何體為一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐．

故選：B．

先考慮兩個(gè)全等的直角三角形分別繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，再考慮一個(gè)矩形繞它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，即可得到答案．

3.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了平面圖形的三視圖，斜二測(cè)畫法，屬于基礎(chǔ)題．

將直觀圖還原成平面圖形，根據(jù)斜二側(cè)畫法原理求出平面圖形的邊長(zhǎng)，計(jì)算面積．

【解答】

解：直觀圖還原成平面圖形，則∠ACB=2∠A′C′B′=904.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了空間中的線線、線面關(guān)系，熟練掌握相關(guān)定理是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．

利用線線關(guān)系、線面關(guān)系的定理分別分別選擇．

【解答】

解：對(duì)于A，α∩β=l，m/?/l，則m與α，β可能都平行，也可能在其中一個(gè)平面內(nèi)；故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，α∩β=l，若m與α，β都平行，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可以判斷m/?/l；故B正確；

對(duì)于C，α∩β=l，若m與l異面，則m與α，β可能都相交，也可能與其中一個(gè)平面平行，與另一個(gè)平面相交；故C錯(cuò)誤；

對(duì)于5.【答案】D

【解析】解：∵由sinC=23sinB，由正弦定理可知：c=23b，代入a2?b2=3bc6.【答案】C

【解析】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則其外接球的半徑R滿足(2R)2=a2+a2+a2=3a2，所以S1=4πR2=3πa2；

如圖，取A，C7.【答案】C

【解析】解：在△ABC中，因?yàn)锳D=2DB，

所以AB=32AD，

所以AP=mAC+12AB=mAC+34AD，

又因?yàn)镃，P，D三點(diǎn)共線，

所以m+34=1，8.【答案】B

【解析】解：如圖，取棱BC的中點(diǎn)E，連接DE，B1E，ME，

因?yàn)镸，N分別為BD1，B1C1的中點(diǎn)，

所以在△BCD1中，ME//CD1，由于ME?平面CND1，CD1?平面CND1，

所以ME/?/平面CND1，

因?yàn)锽1N//CE，B1N=CE，所以，四邊形CNB1E為平行四邊形，

所以CN//B1E，因?yàn)镃N?平面CND1，B1E?平面CND1，

所以B1E//平面CND1，

因?yàn)锽1E∩ME=E，B1E，ME?平面B1EM，

所以平面B1EM//平面CND1，

由于M為體對(duì)角線BD1的中點(diǎn)，

所以，連接B1M并延長(zhǎng)，直線B1M必過D點(diǎn)，

故取A1D1中點(diǎn)F，連接B1F，F(xiàn)D，DE9.【答案】CD【解析】【分析】本題考查圓柱、圓錐的側(cè)面積和表面積，圓柱、圓錐的體積，球的表面積和體積，屬于基礎(chǔ)題．

利用圓柱、圓錐、球的側(cè)面積及其體積公式，計(jì)算即可得到答案．【解答】

解：A選項(xiàng)，圓柱的側(cè)面積S=2πR×2R=4πR2，故A不正確；

B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積S=12×2πR×(2R)2+R2=5π10.【答案】AB【解析】解：已知a=(t,1),b=(2,t)，

對(duì)于選項(xiàng)A，|a|=t2+1≥1，

即|a|的最小值為1，

即選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，若a⊥b，

則t×2+1×t=0，

即t=0，

即選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，若t=1，

則a=(1,1)，

則與a垂直的單位向量為11.【答案】AD【解析】【分析】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及性質(zhì)，向量的加減與數(shù)乘混合運(yùn)算，利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，向量的數(shù)量積與向量的垂直關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

把t=13代入，利用平面向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算判斷A；把t=23代入，再由數(shù)量積求夾角判斷B；由向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系列式求解t，即可判斷【解答】

解：如圖，

當(dāng)t=13時(shí)，DE=13DC，AE=AD+DE=AD+13DC=13AB+AD，故A正確；

當(dāng)t=23時(shí)，AE=AD+23AB，BE=BC+CE=AD?13AB，

AE12.【答案】AB【解析】解：A選項(xiàng)：因?yàn)镠為垂心，為三條高線的交點(diǎn)，則AH?BC=0，選項(xiàng)A正確；

B選項(xiàng)：因?yàn)閃為外心，是三條邊中垂線的交點(diǎn)，

則AW?BC=AW?AC?AW?AB=12|AC|2?12|AB|2=32?8=24，選項(xiàng)B正確；13.【答案】0

【解析】解：PA?PB+AB=P14.【答案】?18【解析】解：向量a在向量b方向上的投影向量為|a|cosθ?b|b|=?2b15.【答案】7【解析】解：根據(jù)題意，AB邊上的高h(yuǎn)=33AB，可得S△ABC=12AB?33AB=12AB?ACsinA，

即36AB2=34AB?AC，整理得AB=316.【答案】7【解析】解：因?yàn)?a?b=1，

所以a?b=12，

因?yàn)閨a|=|b|=1，

所以設(shè)b=(1,0),a=(12,32),c=(x,y)，

所以c?2a=(x?1,y?3),c?b=(x?1,y)，

所以|c?2a|+|c?b|

=(x?117.【答案】解：(1)因?yàn)?a?2b)?(a+2b)=?12，所以|a|2?4|b|2=?12，

因?yàn)閨a|=2，所以4【解析】(1)由(a?2b)?(a18.【答案】證明：(1)如圖所示：

連接AC交BD于點(diǎn)G，連接GE，

因?yàn)锳BCD為平行四邊形，

所以G為AC的中點(diǎn)，

又E為PC的中點(diǎn)，

所以GE/?/PA，

又PA?平面BDE，GE?平面BDE，

所以PA//平面BDE；

(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，

所以AB/?/CD，

又【解析】本題考查線面平行的判定及其性質(zhì)，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

(1)連接AC交BD于點(diǎn)G，連接GE，根據(jù)ABCD為平行四邊形，得到G為AC的中點(diǎn)，再由E為PC的中點(diǎn)，得到GE/?19.【答案】解：(1)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，滿足ctanA=2asinC，

由正弦定理，可得：sinCtanA=2sinAsinC，

則cosA=12，又0<A<π，∴A=π3；

(2【解析】(1)利用正弦定理得到sinCt20.【答案】解：(Ⅰ)在正方形DCC1D1中，直線D1E與直線DC相交，

設(shè)D1E∩DC=F，連接AF，

∵F∈DC，DC?平面ABCD，則F∈平面ABCD，

∵F∈D1E，D1E?平面AD1E，∴F∈平面AD1E.

∴平面AD1E∩平面ABCD=【解析】(Ⅰ)在正方形DCC1D1中，直線D1E與直線DC相交，設(shè)D1E∩DC=F，連接AF，可證F∈平面ABCD且F∈平面AD1E，得到平面AD1E21.【答案】(1)證明：如下圖，設(shè)F為AP中點(diǎn)，連接EF、BF，

因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AP中點(diǎn)，所以EF/?/AD且EF=12AD，

因?yàn)锽C/?/平面PAD，BC?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，所以BC/?/AD，且BC=12AD，

所以EF/?/BC，且EF=BC，可得四邊形BCEF為平行四邊形，CE/?/BF，

因?yàn)镃E?平面PAB，BF?平面PAB，所以CE/?/平面PAB；

(2)【解析】(1)設(shè)F為AP中點(diǎn)，連接EF、BF，由三角形中位線定理、線面平行的性質(zhì)，證