2023-2024學年江西省上饒上饒縣聯(lián)考中考四模數(shù)學試題含解析

2023-2024學年江西省上饒上饒縣聯(lián)考中考四模數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．在正方體的表面上畫有如圖1中所示的粗線，圖2是其展開圖的示意圖，但只在A面上畫有粗線，那么將圖1中剩余兩個面中的粗線畫入圖2中，畫法正確的是()A． B． C． D．2．我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問有多少匹大馬、多少匹小馬？若設大馬有x匹，小馬有y匹，那么可列方程組為（）A． B． C． D．3．如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學從建筑物底端B出發(fā)，先沿水平方向向右行走20米到達點C，再經(jīng)過一段坡度（或坡比）為i=1：0.75、坡長為10米的斜坡CD到達點D，然后再沿水平方向向右行走40米到達點E（A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi)）．在E處測得建筑物頂端A的仰角為24°，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米4．不等式2x﹣1＜1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．5．如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E為BC的中點,將ABE沿AE折疊,使點B落在矩形內(nèi)點F處,連接CF,則CF的長為（）A． B． C． D．6．下列命題是真命題的是（）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B．兩條對角線相等的四邊形是平行四邊形C．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形D．平行四邊形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形7．若0＜m＜2，則關于x的一元二次方程﹣（x+m）（x+3m）＝3mx+37根的情況是（）A．無實數(shù)根B．有兩個正根C．有兩個根，且都大于﹣3mD．有兩個根，其中一根大于﹣m8．如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點，沿CE折疊△CDE，點D恰好落在AC的中點F處，若CD＝，則△ACE的面積為（）A．1 B． C．2 D．29．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動點P滿足S△PAB＝S矩形ABCD，則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值為（）A． B． C．5 D．10．太原市出租車的收費標準是：白天起步價8元（即行駛距離不超過3km都需付8元車費），超過3km以后，每增加1km，加收1.6元（不足1km按1km計），某人從甲地到乙地經(jīng)過的路程是xkm，出租車費為16元，那么x的最大值是（）A．11 B．8 C．7 D．511．把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個18邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．1912．小明乘出租車去體育場，有兩條路線可供選擇：路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一時的平均車速能提高80%，因此能比走路線一少用10分鐘到達．若設走路線一時的平均速度為x千米/小時，根據(jù)題意，得A．25x-C．30(1+80%)x-二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．若二次根式有意義，則x的取值范圍為__________．14．計算：2a×（﹣2b）=_____．15．如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．當點E、F在BC、CD上滑動時，則△CEF的面積最大值是____．16．將直線y＝x＋b沿y軸向下平移3個單位長度，點A(－1，2)關于y軸的對稱點落在平移后的直線上，則b的值為____．17．在平面直角坐標系xOy中，將一塊含有45°角的直角三角板如圖放置，直角頂點C的坐標為（1，0），頂點A的坐標（0，2），頂點B恰好落在第一象限的雙曲線上，現(xiàn)將直角三角板沿x軸正方向平移，當頂點A恰好落在該雙曲線上時停止運動，則此時點C的對應點C′的坐標為_____．18．請你算一算：如果每人每天節(jié)約1粒大米，全國13億人口一天就能節(jié)約_____千克大米?。ńY果用科學記數(shù)法表示，已知1克大米約52粒）三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）計算：﹣22+（π﹣2018）0﹣2sin60°+|1﹣|20．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，DE垂直于對角線AC，垂足是E，連接BE．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AB=BE=2，sin∠ACD=，求四邊形ABCD的面積．21．（6分）某校對學生就“食品安全知識”進行了抽樣調(diào)查（每人選填一類），繪制了如圖所示的兩幅統(tǒng)計圖（不完整）。請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出扇形統(tǒng)計圖中的值，并補全條形統(tǒng)計圖。（2）該校共有學生900人，估計該校學生對“食品安全知識”非常了解的人數(shù).22．（8分）如圖，已知A（3，0），B（0，﹣1），連接AB，過B點作AB的垂線段BC，使BA＝BC，連接AC．如圖1，求C點坐標；如圖2，若P點從A點出發(fā)沿x軸向左平移，連接BP，作等腰直角△BPQ，連接CQ，當點P在線段OA上，求證：PA＝CQ；在（2）的條件下若C、P，Q三點共線，求此時∠APB的度數(shù)及P點坐標．23．（8分）如圖，分別與相切于點，點在上，且，，垂足為．求證：；若的半徑，，求的長24．（10分）如圖，平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），點B（，0），連接AB，若對于平面內(nèi)一點C，當△ABC是以AB為腰的等腰三角形時，稱點C是線段AB的“等長點”．（1）在點C1（﹣2，3+2），點C2（0，﹣2），點C3（3+，﹣）中，線段AB的“等長點”是點________；（2）若點D（m，n）是線段AB的“等長點”，且∠DAB=60°，求點D的坐標；（3）若直線y=kx+3k上至少存在一個線段AB的“等長點”，求k的取值范圍．25．（10分）已知一次函數(shù)y＝x+1與拋物線y＝x2+bx+c交A（m，9），B（0，1）兩點，點C在拋物線上且橫坐標為1．（1）寫出拋物線的函數(shù)表達式；（2）判斷△ABC的形狀，并證明你的結論；（3）平面內(nèi)是否存在點Q在直線AB、BC、AC距離相等，如果存在，請直接寫出所有符合條件的Q的坐標，如果不存在，說說你的理由．26．（12分）某校初三進行了第三次模擬考試，該校領導為了了解學生的數(shù)學考試情況，抽樣調(diào)查了部分學生的數(shù)學成績，并將抽樣的數(shù)據(jù)進行了如下整理．（1）填空_______，_______，數(shù)學成績的中位數(shù)所在的等級_________．（2）如果該校有1200名學生參加了本次模擬測，估計等級的人數(shù)；（3）已知抽樣調(diào)查學生的數(shù)學成績平均分為102分，求A級學生的數(shù)學成績的平均分數(shù)．①如下分數(shù)段整理樣本等級等級分數(shù)段各組總分人數(shù)48435741712②根據(jù)上表繪制扇形統(tǒng)計圖27．（12分）已知，如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．求證：DE是⊙O的切線；若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半徑．

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、A【解析】

解：可把A、B、C、D選項折疊，能夠復原（1）圖的只有A．故選A．2、C【解析】

設大馬有x匹，小馬有y匹，根據(jù)題意可得等量關系：①大馬數(shù)＋小馬數(shù)＝100；②大馬拉瓦數(shù)＋小馬拉瓦數(shù)＝100，根據(jù)等量關系列出方程組即可．【詳解】解：設大馬有x匹，小馬有y匹，由題意得：，故選C．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程組．3、A【解析】

作BM⊥ED交ED的延長線于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根據(jù)tan24°=，構建方程即可解決問題.【詳解】作BM⊥ED交ED的延長線于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵，設CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四邊形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=，∴0.45=，∴AB=21.7（米），故選A．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．4、D【解析】

先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】移項得，2x＜1+1，合并同類項得，2x＜2，x的系數(shù)化為1得，x＜1．在數(shù)軸上表示為：．故選D．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．5、B【解析】

連接BF，由折疊可知AE垂直平分BF，根據(jù)勾股定理求得AE=5，利用直角三角形面積的兩種表示法求得BH=，即可得BF=，再證明∠BFC=90°，最后利用勾股定理求得CF=．【詳解】連接BF，由折疊可知AE垂直平分BF，∵BC=6，點E為BC的中點，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∵，∴，∴BH=，則BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故選B．【點睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及勾股定理的應用，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．6、C【解析】

根據(jù)平行四邊形的五種判定定理（平行四邊形的判定方法：①兩組對邊分別平行的四邊形；②兩組對角分別相等的四邊形；③兩組對邊分別相等的四邊形；④一組對邊平行且相等的四邊形；⑤對角線互相平分的四邊形）和平行四邊形的性質(zhì)進行判斷．【詳解】A、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不是平行四邊形；故本選項錯誤；B、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．故本選項錯誤；C、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．故本選項正確；D、平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故本選項錯誤；故選：C．【點睛】考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．7、A【解析】

先整理為一般形式，用含m的式子表示出根的判別式△，再結合已知條件判斷△的取值范圍即可.【詳解】方程整理為，△，∵，∴，∴△，∴方程沒有實數(shù)根，故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．8、B【解析】

由折疊的性質(zhì)可得CD=CF=，DE=EF，AC=，由三角形面積公式可求EF的長，即可求△ACE的面積．【詳解】解：∵點F是AC的中點，∴AF=CF=AC，∵將△CDE沿CE折疊到△CFE，∴CD=CF=，DE=EF，∴AC=，在Rt△ACD中，AD==1．∵S△ADC=S△AEC+S△CDE，∴×AD×CD=×AC×EF+×CD×DE∴1×=EF+DE，∴DE=EF=1，∴S△AEC=××1=．故選B．【點睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，熟練運用三角形面積公式求得DE=EF=1是解決本題的關鍵．9、D【解析】解：設△ABP中AB邊上的高是h．∵S△PAB=S矩形ABCD，∴AB?h=AB?AD，∴h=AD=2，∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE就是所求的最短距離．在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE===，即PA+PB的最小值為．故選D．10、B【解析】

根據(jù)等量關系，即（經(jīng)過的路程﹣3）×1.6+起步價2元≤1．列出不等式求解．【詳解】可設此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程為xkm，根據(jù)題意可知：（x﹣3）×1.6+2≤1，解得：x≤2．即此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程最多為2km．故選B．【點睛】考查了一元一次方程的應用．關鍵是掌握正確理解題意，找出題目中的數(shù)量關系．11、A【解析】

一個n邊形剪去一個角后，剩下的形狀可能是n邊形或（n+1）邊形或（n-1）邊形．故當剪去一個角后，剩下的部分是一個18邊形，則這張紙片原來的形狀可能是18邊形或17邊形或19邊形，不可能是16邊形.故選A.【點睛】此題主要考查了多邊形，減去一個角的方法可能有三種：經(jīng)過兩個相鄰點，則少了一條邊；經(jīng)過一個頂點和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過兩條鄰邊，邊數(shù)增加一條.12、A【解析】若設走路線一時的平均速度為x千米/小時，根據(jù)路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一時的平均車速能提高80%，因此能比走路線一少用10分鐘到達可列出方程．解：設走路線一時的平均速度為x千米/小時，25故選A．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、x≥﹣．【解析】

考點：二次根式有意義的條件．根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)是非負數(shù)求解．解：根據(jù)題意得：1+2x≥0，解得x≥-．故答案為x≥-．14、﹣4ab【解析】

根據(jù)單項式與單項式的乘法解答即可．【詳解】2a×（﹣2b）=﹣4ab．故答案為﹣4ab．【點睛】本題考查了單項式的乘法，關鍵是根據(jù)單項式的乘法法則解答．15、【解析】解：如圖，連接AC，∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD為等邊三角形，∴∠4=60°，AC=AB．在△ABE和△ACF中，∵∠1=∠3，AC=AC，∠ABC=∠4，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴S△ABE=S△ACF，∴S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H點，則BH=2，∴S四邊形AECF=S△ABC=BC?AH=BC?=，由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短，∴△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又∵S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF，則此時△CEF的面積就會最大，∴S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF=﹣××=．故答案為：.點睛：本題主要考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)及三角形面積的計算，根據(jù)△ABE≌△ACF，得出四邊形AECF的面積是定值是解題的關鍵．16、1【解析】試題分析：先根據(jù)一次函數(shù)平移規(guī)律得出直線y=x+b沿y軸向下平移3個單位長度后的直線解析式y(tǒng)=x+b﹣3，再把點A（﹣1，2）關于y軸的對稱點（1，2）代入y=x+b﹣3，得1+b﹣3=2，解得b=1．故答案為1．考點：一次函數(shù)圖象與幾何變換17、（，0）【解析】試題解析：過點B作BD⊥x軸于點D，∵∠ACO+∠BCD=90°，∠OAC+∠ACO=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△ACO與△BCD中，，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC=BD，OA=CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD=3，BD=1，∴B（3，1），∴設反比例函數(shù)的解析式為y=，將B（3，1）代入y=，∴k=3，∴y=，∴把y=2代入y=，∴x=，當頂點A恰好落在該雙曲線上時，此時點A移動了個單位長度，∴C也移動了個單位長度，此時點C的對應點C′的坐標為（，0）故答案為（，0）.18、2.5×1【解析】

先根據(jù)有理數(shù)的除法求出節(jié)約大米的千克數(shù)，再用科學計數(shù)法表示，對于一個絕對值較大的數(shù)，用科學記數(shù)法寫成的形式，其中，n是比原整數(shù)位數(shù)少1的數(shù).【詳解】1300000000÷52÷1000（千克）=25000（千克）=2.5×1（千克）．故答案為2.5×1．【點睛】本題考查了有理數(shù)的除法和正整數(shù)指數(shù)科學計數(shù)法,根據(jù)科學計算法的要求，正確確定出a和n的值是解答本題的關鍵.三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、－4【解析】分析：第一項根據(jù)乘方的意義計算，第二項非零數(shù)的零次冪等于1，第三項根據(jù)特殊角銳角三角函數(shù)值計算，第四項根據(jù)絕對值的意義化簡.詳解：原式=-4+1-2×+-1=-4點睛：本題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握乘方的意義，零指數(shù)冪的意義，及特殊角銳角三角函數(shù)，絕對值的意義是解答本題的關鍵.20、（1）證明見解析；（2）S平行四邊形ABCD=3．【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠ABC+∠DCB=180°，推出∠ADC+∠BCD=180°，根據(jù)平行線的判定得出AD∥BC，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；（2）證明△ABE是等邊三角形，得出AE=AB=2，由直角三角形的性質(zhì)求出CE和DE，得出AC的長，即可求出四邊形ABCD的面積．試題解析：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）∵sin∠ACD=，∴∠ACD=60°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，CD=AB=2，∴∠BAC=∠ACD=60°，∵AB=BE=2，∴△ABE是等邊三角形，∴AE=AB=2，∵DE⊥AC，∴∠CDE=90°﹣60°=30°，∴CE=CD=1，∴DE=CE=，AC=AE+CE=3，∴S平行四邊形ABCD=2S△ACD=AC?DE=3．21、（1）,補全條形統(tǒng)計圖見解析；（2）該校學生對“食品安全知識”非常了解的人數(shù)為135人。【解析】試題分析：（1）由統(tǒng)計圖中的信息可知，B組學生有32人，占總數(shù)的40%，由此可得被抽查學生總?cè)藬?shù)為：32÷40%=80（人），結合C組學生有28人可得：m%=28÷80×100%=35%，由此可得m=35；由80-32-28-8=12（人）可知A組由12人，由此即可補全條形統(tǒng)計圖了；（2）由（1）中計算可知，A組有12名學生，占總數(shù)的12÷80×100%=15%，結合全?？?cè)藬?shù)為900可得900×15%=135（人），即全?！胺浅Ａ私狻薄笆称钒踩R”的有135人.試題解析：（1）由已知條件可得：被抽查學生總數(shù)為32÷40%=80（人），∴m%=28÷80×100%=35%，∴m=35，A組人數(shù)為：80-32-28-8=12（人），將圖形統(tǒng)計圖補充完整如下圖所示：（2）由題意可得：900×(12÷80×100%)=900×15%=135（人）.答：全校學生對“食品安全知識”非常了解的人數(shù)為135人.22、（1）C（1，-4）．（2）證明見解析；（3）∠APB=135°，P（1，0）．【解析】

（1）作CH⊥y軸于H，證明△ABO≌△BCH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH，得到C點坐標；（2）證明△PBA≌△QBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PA=CQ；（3）根據(jù)C、P，Q三點共線，得到∠BQC=135°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BPA=∠BQC=135°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出OP，得到P點坐標．【詳解】（1）作CH⊥y軸于H，則∠BCH+∠CBH=90°，∵AB⊥BC，∴∠ABO+∠CBH=90°，∴∠ABO=∠BCH，在△ABO和△BCH中，，∴△ABO≌△BCH，∴BH=OA=3，CH=OB=1，∴OH=OB+BH=4，∴C點坐標為（1，﹣4）；（2）∵∠PBQ=∠ABC=90°，∴∠PBQ﹣∠ABQ=∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA=∠QBC，在△PBA和△QBC中，，∴△PBA≌△QBC，∴PA=CQ；（3）∵△BPQ是等腰直角三角形，∴∠BQP=45°，當C、P，Q三點共線時，∠BQC=135°，由（2）可知，△PBA≌△QBC，∴∠BPA=∠BQC=135°，∴∠OPB=45°，∴OP=OB=1，∴P點坐標為（1，0）．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵．23、（1）見解析（2）5【解析】

解：（1）證明：如圖，連接，則．∵，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．∴．（2）連接，則．∵，，，∴，．∴．∴．設，則．在中，有．∴．即．24、（1）C1，C3；（2）D（﹣，0）或D（，3）；（3）﹣≤k≤【解析】

（1）直接利用線段AB的“等長點”的條件判斷；（2）分兩種情況討論，利用對稱性和垂直的性質(zhì)即可求出m，n；（3）先判斷出直線y=kx+3與圓A，B相切時，如圖2所示，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出結論．【詳解】（1）∵A（0，3），B（，0），∴AB=2，∵點C1（﹣2，3+2），∴AC1==2，∴AC1=AB，∴C1是線段AB的“等長點”，∵點C2（0，﹣2），∴AC2=5，BC2==，∴AC2≠AB，BC2≠AB，∴C2不是線段AB的“等長點”，∵點C3（3+，﹣），∴BC3==2，∴BC3=AB，∴C3是線段AB的“等長點”；故答案為C1，C3；（2）如圖1，在Rt△AOB中，OA=3，OB=，∴AB=2，tan∠OAB==，∴∠OAB=30°，當點D在y軸左側(cè)時，∵∠DAB=60°，∴∠DAO=∠DAB﹣∠BAO=30°，∵點D（m，n）是線段AB的“等長點”，∴AD=AB，∴D（﹣，0），∴m=，n=0，當點D在y軸右側(cè)時，∵∠DAB=60°，∴∠DAO=∠BAO+∠DAB=90°，∴n=3，∵點D（m，n）是線段AB的“等長點”，∴AD=AB=2，∴m=2；∴D（，3）（3）如圖2，∵直線y=kx+3k=k（x+3），∴直線y=kx+3k恒過一點P（﹣3，0），∴在Rt△AOP中，OA=3，OP=3，∴∠APO=30°，∴∠PAO=60°，∴∠BAP=90°，當PF與⊙B相切時交y軸于F，∴PA切⊙B于A，∴點F就是直線y=kx+3k與⊙B的切點，∴F（0，﹣3），∴3k=﹣3，∴k=﹣，當直線y=kx+3k與⊙A相切時交y軸于G切點為E，∴∠AEG=∠OPG=90°，∴△AEG∽△POG，∴，∴=，解得：k=或k=（舍去）∵直線y=kx+3k上至少存在一個線段AB的“等長點”，∴﹣≤k≤，【點睛】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了新定義，銳角三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，對稱性，解（1）的關鍵是理解新定義，解（2）的關鍵是畫出圖形，解（3）的關鍵是判斷出直線和圓A，B相切時是分界點．25、（1）y＝x2﹣7x+1；（2）△ABC為直角三角形．理由見解析；（3）符合條件的Q的坐標為（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．【解析】

（1）先利用一次函數(shù)解析式得到A（8，9），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）先利用拋物線解析式確定C（1，﹣5），作AM⊥y軸于M，CN⊥y軸于N，如圖，證明△ABM和△BNC都是等腰直角三角形得到∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝8，BN＝1，從而得到∠ABC＝90°，所以△ABC為直角三角形；（3）利用勾股定理計算出AC＝10，根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑的計算公式得到Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑＝2，設△ABC的內(nèi)心為I，過A作AI的垂線交直線BI于P，交y軸于Q，AI交y軸于G，如圖，則AI、BI為角平分線，BI⊥y軸，PQ為△ABC的外角平分線，易得y軸為△ABC的外角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷點P、I、Q、G到直線AB、BC、AC距離相等，由于BI＝×2＝4，則I（4，1），接著利用待定系數(shù)法求出直線AI的解析式為y＝2x﹣7，直線AP的解析式為y＝﹣x+13，然后分別求出P、Q、G的坐標即可．【詳解】解：（1）把A（m，9）代入y＝x+1得m+1＝9，解得m＝8，則A（8，9），把A（8，9），B（0，1）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴拋物線解析式為y＝x2﹣7x+1；故答案為y＝x2﹣7x+1；（2）△ABC為直角三角形．理由如下：當x＝1時，y＝x2﹣7x+1＝31﹣42+1＝﹣5，則C（1，﹣5），作AM⊥y軸于M，CN⊥y軸于N，如圖，∵B（0，1），A（8，9），C（1，﹣5），∴BM＝AM＝8，BN＝CN＝1，∴△ABM和△BNC都是等腰直角三角形，∴∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝8，BN＝1，∴∠ABC＝90°，∴△ABC為直角三角形；（3）∵AB＝8，BN＝1，∴AC＝10，∴Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑＝，設△ABC的內(nèi)心為I，過A作AI的垂線交直線BI于P，交y軸于Q，AI交y軸于G，如圖，∵I為△ABC的內(nèi)心，∴AI、BI為角平