高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題訓(xùn)練-概率與統(tǒng)計(jì)(1)(理科)

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題訓(xùn)練——概率與統(tǒng)計(jì)(1)(理科)概率與統(tǒng)計(jì)〔理〕(1)

江蘇5．從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，那么其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率為_(kāi)_____答案：

13

安徽理〔20〕〔本小題總分值13分〕

工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危急的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過(guò)10分鐘，假如有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)那么撤出，再派下一個(gè)人?，F(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別

p,p,p，假設(shè)p,p,p互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事項(xiàng)相互獨(dú)立.

〔Ⅰ〕假如按甲最先，乙次之，丙最末的順次派人，求任務(wù)能被完成的概率。假設(shè)轉(zhuǎn)變?nèi)齻€(gè)

人被派出的先后順次，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生改變？〔Ⅱ〕假設(shè)按某指定順次派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為q,q,q，其中

q,q,q是p,p,p的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目*的分布列和均值〔數(shù)

字期望〕E*；

〔Ⅲ〕假定ppp，試分析以怎樣的先后順次派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值〔數(shù)字期望〕達(dá)到最小。〔20〕〔本小題總分值13分〕此題考查相互獨(dú)立事項(xiàng)的概率計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量及其分

布列、均值等基本知識(shí)，考查在繁復(fù)情境下處理問(wèn)題的技能以及抽象概括技能、合情推理與演繹推理，分類(lèi)讀者論論思想，應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí).

解：〔I〕無(wú)論以怎樣的順次派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是

(1p1)(1p2)(1p3)，所以任務(wù)能被完成的概率與三個(gè)被派出的先后順次無(wú)關(guān)，并等于

1(1p1)(1p2)(1p3)p1p2p3p1p2p2p3p3p1p1p2p3.

〔II〕當(dāng)依次派出的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為q1,q2,q3時(shí)，隨機(jī)變量*的分布列為

所需派出的人員數(shù)目的均值〔數(shù)學(xué)期望〕E*是

E*q12(1q1)q23(1q1)(1q2)32q1q2q1q2.

〔III〕〔方法一〕由〔II〕的結(jié)論知，當(dāng)以甲最先、乙次之、丙最末的順次派人時(shí)，

E*32p1p2p1p2.

依據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減削所需派出的人員數(shù)目的均值.下面證明：對(duì)于p1,p2,p3的任意排列q1,q2,q3，都有

32q1q2q1q232p1p2p1p2,……〔*〕

事實(shí)上，(32q1q2q1q2)(32p1p2p1p2)

2(p1q1)(p2q2)p1p2q1q2

2(p1q1)(p2q2)(p1q1)p2q1(p2q2)

(2p2)(p1q1)(1q1)((p2q2)(1q1)[(p1p2)(q1q2)]0.

即〔*〕成立.

〔方法二〕〔i〕可將〔II〕中所求的E*改寫(xiě)為3(q1q2)q1q2q1,假設(shè)交換前兩人

的派出順次，那么變?yōu)?(q1q2)q1q2q1,.由此可見(jiàn)，當(dāng)q2q1時(shí)，交換前兩人的派出順次可減小均值.

〔ii〕也可將〔II〕中所求的E*改寫(xiě)為32q1q2q1q2，或交換后兩人的派出順次，

那么變?yōu)?2q1q3q1q3.由此可見(jiàn)，假設(shè)保持第一個(gè)派出的人選不變，當(dāng)q3q2時(shí)，交換后兩人的派出順次也可減小均值.

綜合〔i〕〔ii〕可知，當(dāng)(q1,q2,q3)(p1,p2,p3)時(shí)，E*達(dá)到最小.即完成任務(wù)概率大

的人優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的.北京理17．本小題共13分

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個(gè)四名同學(xué)的植樹(shù)棵樹(shù)。乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以*表示。

〔Ⅰ〕假如*=8,求乙組同學(xué)植樹(shù)棵樹(shù)的平均數(shù)和方差；〔Ⅱ〕假如*=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵樹(shù)Y

的分布列和數(shù)學(xué)期望。

2221

*1**2**n*，其中*為*1，*2，……*n〔注：方差s

n

2

的平均數(shù)〕

〔17〕〔共13分〕

解〔1〕當(dāng)*=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是：8，8，9，10，所以平均數(shù)為

8891035

;

44

方差為

s2[(8)2(8)2(9)2(10)2].

4444416

〔Ⅱ〕當(dāng)*=9時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹(shù)棵樹(shù)是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是：9，8，9，10。分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有44=16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹(shù)總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21事項(xiàng)“Y=17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹(shù)9棵，乙組選出的同學(xué)

21.168

1111

同理可得P(Y18);P(Y19);P(Y20);P(Y21).

4448

植樹(shù)8棵”所以該事項(xiàng)有2種可能的結(jié)果，因此P〔Y=17〕=所以隨機(jī)變量Y的分布列為：

=17

11111+18+19+20+2184448

=19

福建理13．盒中裝有外形、大小完全相同的5個(gè)球，其中紅色球3個(gè)，黃色球2個(gè)。假設(shè)從中隨機(jī)取出2個(gè)球，那么所取出的2個(gè)球顏色不同的概率等于_______。

35

福建理19．〔本小題總分值13分〕

某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)*依次為1,2，，8，其中*≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，*≥為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為

6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)

〔I〕已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)*的概率分布列如下所示：

11〔II〕為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)*2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)

系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下：

35338556346347534853

8343447567

用這個(gè)樣本的頻率分布估量總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)*2的數(shù)學(xué)期望．

〔III〕在〔I〕、〔II〕的條件下，假設(shè)以“性?xún)r(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，那么哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)

買(mǎi)性？說(shuō)明理由．

注：〔1〕產(chǎn)品的“性?xún)r(jià)比”=

產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望

；

產(chǎn)品的零售價(jià)

〔2〕“性?xún)r(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性．19．本小題主要考查概率、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理技能、運(yùn)算求解技能、應(yīng)用意識(shí)，

考查函數(shù)與方程思想、必定與或然思想、分類(lèi)與整合思想，總分值13分。

解：〔I〕由于E*16,所以50.46a7b80.16,即6a7b3.2.又由*1的概率分布列得0.4ab0.11,即ab0.5.

6a7b3.2,a0.3,由解得

ab0.5.b0.2.

〔II〕由已知得，樣本的頻率分布表如下：

用這個(gè)樣本的頻率分布估量總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)*2的概率分布

所以

E*23P(*23)4P(*24)5P(*25)6P(*26)7P(*27)8P(*28)

30.340.250.260.170.180.1

4.8.

即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.〔III〕乙廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性，理由如下：

6

1.64.8

1.2.由于乙廠產(chǎn)呂的等級(jí)系數(shù)的期望等于4.8，價(jià)格為4元/件，所以其性?xún)r(jià)比為4

由于甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的期望數(shù)學(xué)等于6，價(jià)格為6元/件，所以其性?xún)r(jià)比為據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性。

廣東理6．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要在贏一次就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍，假設(shè)兩隊(duì)勝每局的概率相同，那么甲隊(duì)獲得冠軍的概率為

A．

132

B．C．253

D．

3

4

D

廣東理17．〔本小題總分值13分〕

為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采納分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測(cè)量產(chǎn)品中的微量元素*,y的含量〔單位：毫克〕．下表是乙廠的5

〔1〕已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；

〔2〕當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素*,y滿(mǎn)意*≥175，且y≥75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)

據(jù)估量乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；〔3〕從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列極其均值〔即數(shù)學(xué)期望〕。

17．〔本小題總分值13分〕

解：〔1〕

98

7,5735，即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。14

2,5

〔2〕易見(jiàn)只有編號(hào)為2，5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品

故乙廠生產(chǎn)有大約35

2

14〔件〕優(yōu)等品，5

〔3〕的取值為0，1，2。

11

C32C3C2C32331

P(

0)2,P(1),P(2)22

5C510C5C510

所以的分布列為

故的均值為E0

12.105105

2

湖北理5．已知隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布N2，a，且Ｐ〔＜4〕＝0.8，那么Ｐ〔0＜＜

C

2〕＝

Ａ．0．6

B．0．4C．0．3D．0．2

湖北理7．如圖，用K、A1、A2三類(lèi)不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)。當(dāng)K正常工作且A1、A2

至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0．9、0．8、0．8，那么系統(tǒng)正常工作的概率為

A．0．960B．0．864C．0．720D．0．576B

湖北理12．在30瓶飲料中，有3瓶已過(guò)了保質(zhì)期。從這30瓶飲料中任取2瓶，那么至少取

到一瓶已過(guò)保質(zhì)期飲料的概率為?！步Y(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示〕

28145

湖北理15．給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色。當(dāng)n4時(shí)，在全部不同的著色方

案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下列圖所示：

．．．．

由此推斷，當(dāng)n6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有種，至少有兩個(gè)．．．．黑色正方形相鄰的著色方案共有種，〔結(jié)果用數(shù)值表示〕．．21，43

湖南理4

2

2

nadbc110

403020202

由K算得，K27.8．

60506050abcdacbd

C

參照附表，得到的正確結(jié)論是

A．再犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．再犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

湖南理15．如圖4，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形。

將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圖內(nèi)，用A表示事項(xiàng)“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事項(xiàng)“豆子落在扇形OHE〔陰影部分〕內(nèi)”，那么

〔1〕P〔A〕=_____________;〔2〕P〔B|A〕=．〔1〕

1

,(2)4

2

湖南理18．〔本小題總分值12分〕

試銷(xiāo)結(jié)束后〔假設(shè)該商品的日銷(xiāo)售量的分布規(guī)律不變〕，設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商

品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，假設(shè)發(fā)覺(jué)存貨少于2件，那么當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否．．那么不進(jìn)貨，將頻率視為概率。．．．

〔Ⅰ〕求當(dāng)天商品不進(jìn)貨的概率；

〔Ⅱ〕記*為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求*的分布列和數(shù)學(xué)期型。18．解〔I〕P〔“當(dāng)天商品不進(jìn)貨”〕P〔“當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為0件”〕P〔“當(dāng)天商品銷(xiāo)

153

.202210

〔Ⅱ〕由題意知，*的可能取值為2,3.

售量為1件”〕

P(*2)P〔“當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為1件”〕

51

;204

P〔P〔P(*3)P〔“當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為0件”〕“當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為2件”〕“當(dāng)

天商品銷(xiāo)售量為3件”〕

故*195

3.2022204

*的數(shù)學(xué)期望為E*2

3.444

江西理6．變量*與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為〔10，1〕，〔11.3，2〕，〔11.8，3〕，〔12.5，4〕，

〔13，5〕；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為〔10，5〕，〔11.3，4〕，〔11.8，3〕，〔12.5，

2〕，〔13，1〕，r1表示變量Y與*之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，那么A．r2r10

B．0r2r1

C．r20r1

D．r2r1

C

江西理12．小波通過(guò)做游戲的方式來(lái)確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，假設(shè)此

點(diǎn)到圓心的距離大于

11

，那么周末去看電影；假設(shè)此點(diǎn)到圓心的距離小于，那么去打籃球；24

否那么，在家看書(shū)，那么小波周末不在家看書(shū)的概率為．

1316

江西理16．〔本小題總分值12分〕

某飲料公司聘請(qǐng)了一名員工，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測(cè)試，以使確定工資級(jí)別，公司預(yù)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料，假設(shè)4杯都選對(duì)，那么月工資定為3500元，假設(shè)4杯選對(duì)3杯，那么月工資定為2800元，否那么月工資定為2100元，令*表示此人選對(duì)A飲料的杯數(shù)，假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒(méi)有鑒別技能．〔1〕求*的分布列；

〔2〕求此員工月工資的期望。16．〔本小題總分值12分〕

解：〔1〕*的全部可能取值為：0，1，2，3，4

14i

C4C4

P(*i)(i0,1,2,3,4)

C54

即

〔2那么P(Y3500)P(*4)P(Y2800)P(*3)

170

835

53

P(Y2100)P(*2)

70

11653

EY3500280021002280.

707070

所以新錄用員工月工資的期望為2280元.

遼寧理〔5〕從1，2，3，4，5中任取2各不同的數(shù)，事項(xiàng)A=“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事項(xiàng)B=“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，那么P〔B︱A〕=〔A〕B

18

〔B〕

14

〔C〕

25

〔D〕

12

概率與統(tǒng)計(jì)〔理〕(1)

江蘇5．從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，那么其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率為_(kāi)_____答案：

13

安徽理〔20〕〔本小題總分值13分〕

工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危急的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過(guò)10分鐘，假如有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)那么撤出，再派下