北京第四中學(xué)高一數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

北京第四中學(xué)高一數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合M=，集合

e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.已知為第三象限角，則（

）A.，，全為正數(shù) B.，，全為負(fù)數(shù)C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)的范圍可求得正弦、余弦和正切的符號(hào)，從而得到結(jié)果.【詳解】為第三象限角

，，，可知錯(cuò)誤；則，正確，錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查各象限角三角函數(shù)值的符號(hào)問題，屬于基礎(chǔ)題.3.為圓上三點(diǎn)，且直線與直線交于圓外一點(diǎn)，若,則的范圍是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C4.過點(diǎn)（5，2），且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍的直線方程是（

）A． B．或C． D．或參考答案：B5.設(shè)>1，則圖像大致為（

）參考答案：B略6.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的組成為（）A．上面為棱臺(tái)，下面為棱柱 B．上面為圓臺(tái)，下面為棱柱C．上面為圓臺(tái)，下面為圓柱 D．上面為棱臺(tái)，下面為圓柱參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖還原實(shí)物圖．【分析】仔細(xì)觀察三視圖，根據(jù)線條的虛實(shí)判斷即可．【解答】解：結(jié)合圖形分析知上為圓臺(tái)，下為圓柱．故選C7.如圖，某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（

）A. B. C. D.3參考答案：A【分析】首先根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖，進(jìn)一步利用幾何體的體積公式求出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)幾何體得三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：故：V．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題．8.函數(shù)f（x）=lnx﹣的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（e，3） D．（e，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】分別畫出對(duì)數(shù)函數(shù)lnx和函數(shù)的圖象其交點(diǎn)就是零點(diǎn)．【解答】解：根據(jù)題意如圖：當(dāng)x=2時(shí)，ln2＜lne=1，當(dāng)x=3時(shí)，ln3=ln＞=ln=，∴函數(shù)f（x）=lnx﹣的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（2，3），故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解，主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，是一道好題．9.已知集合集合滿足則滿足條件的集合有(

)

A.7個(gè) B．8個(gè)

C.

9個(gè)

D．10個(gè)參考答案：B略10.已知等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，若a3+a9=6，則S11等于（）A．12B．33C．66D．11參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a11=a3+a9=6，代入求和公式可得答案．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a11=a3+a9=6，由求和公式可得S11===33，故選：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某小區(qū)擬對(duì)如圖一直角△ABC區(qū)域進(jìn)行改造，在三角形各邊上選一點(diǎn)連成等邊三角形,在其內(nèi)建造文化景觀。已知,則面積最小值為____參考答案：【分析】設(shè)，然后分別表示，利用正弦定理建立等式用表示，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到的最小值，從而得到面積的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，顯然，，設(shè)，則，且，則，所以，在中，由正弦定理可得：，求得，其中，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值1，則的最小值為，所以面積最小值為，【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)求解實(shí)際問題的最值，涉及到正弦定理的應(yīng)用，屬于難題.對(duì)于這類型題，關(guān)鍵是能夠選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)表示需求的量，從而建立相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解最值.12.已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的切線，是切點(diǎn)，是圓心，那么四邊形面積的最小值是________________.參考答案：略13.在△ABC中，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，給出下列結(jié)論：①由已知條件，這個(gè)三角形被唯一確定；②△ABC一定是鈍角三角形；③sinA：sinB：sinC=7：5：3；④若b+c=8，則△ABC的面積是．其中正確結(jié)論的序號(hào)是

．參考答案：②③【考點(diǎn)】正弦定理；命題的真假判斷與應(yīng)用；余弦定理．【分析】由已知可設(shè)b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），然后分別求出a、b、c的值，即可求出它們的比值，結(jié)合正弦定理即可求出sinA：sinB：sinC，利用余弦定理求出角A的余弦值即可判定A為鈍角，根據(jù)面積公式即可求出三角形ABC的面積，再與題目進(jìn)行比較即可．【解答】解：由已知可設(shè)b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），則a=k，b=k，c=k，∴a：b：c=7：5：3，∴sinA：sinB：sinC=7：5：3，∴③正確；同時(shí)由于△ABC邊長(zhǎng)不確定，故①錯(cuò)；又cosA==﹣＜0，∴△ABC為鈍角三角形，∴②正確；若b+c=8，則k=2，∴b=5，c=3，又A=120°，∴S△ABC=bcsinA=，故④錯(cuò)．故答案：②③14.給出下列四個(gè)函數(shù)：①

，②，③

，④，若的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過，則符合條件的函數(shù)的序號(hào)是

。

參考答案：②④15.若函數(shù)在R上為增函數(shù)，則a取值范圍為_____.參考答案：[1,2]函數(shù)在上為增函數(shù)，則需，解得，故填[1,2].16.在軸上與點(diǎn)和點(diǎn)等距離的點(diǎn)的坐標(biāo)為

．參考答案：17.方程組的解集為

_____

參考答案：｛﹙1,2﹚｝三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△中，角所對(duì)的邊分別為，已知,，．

（1）求的值；

（2）求的值.

參考答案：解：（1）由余弦定理 …………2分得

…………4分（2）

…………5分由正弦定理

…………8分略19.求函數(shù)的最大值和最小值，并求使其取得最大值和最小值的x的集合．參考答案：【考點(diǎn)】H2：正弦函數(shù)的圖象．【分析】利用正弦函數(shù)的最值，求得函數(shù)的最值，以及取得最值時(shí)的x的集合．【解答】解：對(duì)于函數(shù)，它的最大值為2，最小值為﹣2，使其取得最大值2時(shí)，3x+=2kπ+，k∈Z，求得x=+，故函數(shù)取得最大值時(shí)的x的集合為{x|x=+，k∈Z}；使其取得最小值﹣2時(shí)，3x+=2kπ﹣，k∈Z，求得x=﹣，故函數(shù)取得最大值時(shí)的x的集合為{x|x=﹣，k∈Z}．20.已知函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1．設(shè)f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）若f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）由函數(shù)g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化為2x+﹣2≥k?2x，故有k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最小值，從而求得k的取值范圍．（3）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0?|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，則t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），構(gòu)造函數(shù)h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通過數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想即可求得k的范圍．【解答】解：（1）函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因?yàn)閍＞0，所以g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，故，即，解得．（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k?2x≥0可化為2x+﹣2≥k?2x，可化為1+（）2﹣2?≥k，令t=，則k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上恒成立．記h（t）=t2﹣2t+1，因?yàn)閠∈[，2]，故h（t）min=h（1）=0，所以k的取值范圍是（﹣∞，0]．（3）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0可化為：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，則方程化為t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，∴由t=|2x﹣1|的圖象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有兩個(gè)根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．記h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），則，或∴k＞0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查函數(shù)恒成立問題問題，考查數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．21.已知圓C1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓C2的圓心坐標(biāo)為(2,1)．(1)若圓C1與圓C2相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝，求點(diǎn)C1到直線AB距離；(2)若圓C1與圓C2相內(nèi)切，求圓C2的方程．參考答案：(1)．(2)(x－2)2＋(y－1)2＝12＋8．【分析】(1)知直線C1C2垂直平分公共弦AB．設(shè)直線AB與C1C2的交點(diǎn)為P，再解直角三角形得到點(diǎn)C1到直線AB的距離.(2)由兩圓相內(nèi)切得|C1C2|＝|r1－r2|求出r2＝2＋2，即得圓C2的方程．【詳解】(1)由題設(shè)，易知直線C1C2垂直平分公共弦AB．設(shè)直線AB與C1C2的交點(diǎn)為P，則在Rt△APC1中，∵|AC1|＝2，|AP|＝|AB|＝，∴點(diǎn)C1到直線AB的距離為|C1P|＝.(2)由題設(shè)得，圓C1的圓心為C1