點(diǎn)、直線和平面的投影課件

點(diǎn)、直線和平面的投影供建筑類各專業(yè)使用3-1點(diǎn)的投影點(diǎn)、線、面是構(gòu)成各種形體的基本幾何元素

空間點(diǎn)A在P面上的投影是過(guò)投影中心S和A的投射線與P面的交點(diǎn)a。一、點(diǎn)的三面投影及其規(guī)律

空間點(diǎn)A放置在三面投影體系中，過(guò)點(diǎn)A分別作垂直于H面、V面、W面的投影線

投影線與H面的交點(diǎn)（即垂足點(diǎn)）a稱為A點(diǎn)的水平投影（H投影）；投影線與V面的交點(diǎn)a′稱為A點(diǎn)的正面投影（V投影）；投影線與W面的交點(diǎn)a″稱為A點(diǎn)的側(cè)面投影（W投影）。空間點(diǎn)A的三面投影分別用a、a′、a″表示。一般只畫(huà)出投影軸，不畫(huà)投影面的邊框XYZHVOAaa

axa

'

ayazWHVOX點(diǎn)的兩面投影在正投影的條件下，點(diǎn)的單面投影不能唯一確定該點(diǎn)的空間位置，那么，兩面投影呢？Aaa

點(diǎn)的兩面投影能夠唯一確定點(diǎn)的空間位置。兩面投影體系的建立：V——正面投影面H——水平投影面OX——投影軸ax點(diǎn)的兩面投影圖的形成Aaa

HVOXaxa

VHaaxOXa

aaxOX展開(kāi)

去邊框點(diǎn)的兩面投影圖的性質(zhì)Aaa

HVOXaxa

aaxOX正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸；正面投影到OX軸的距離等于A點(diǎn)的高度；水平投影到OX軸的距離等于A點(diǎn)的深度；1、點(diǎn)的水平投影和正面投影的連線垂直于OX軸。

2、點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于空間點(diǎn)到V面的距離；點(diǎn)的正面投影到OX軸的距離等于空間點(diǎn)到H面的距離。

點(diǎn)A的二面投影[過(guò)渡]

投影是人眼觀物得到的圖形，眼光被稱作視線，因此，投影圖也叫作視圖。

三視圖的形成及其投影規(guī)律

要點(diǎn)：

1、清楚三視圖的由來(lái)。

2、重點(diǎn)了解三視圖的三個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系（位置、三等、方位）。

3、會(huì)畫(huà)簡(jiǎn)單物體的三視圖。舉例：將下列不同物體向同一投影面投射，得到同樣的視圖。三視圖的必要性結(jié)論：一個(gè)視圖不能反映空間物體的真實(shí)形狀，需用多個(gè)視圖，常用三視圖。

三視圖的形成

1.建立三投影體系

用三個(gè)互相垂直的平面組成三個(gè)投影面，即正面（V表示）、水平面（H表示）、側(cè)面（W表示）。三面的交線稱為投影軸，OX軸是V和H面交線，OY軸是H和W面交線，OZ軸是V和W面交線，三軸交于O點(diǎn)。主視圖：正立面（V）投影俯視圖：水平面（H）投影左視圖：側(cè)立面（W）投影2、三視圖的形成

三視圖需要展平在同一平面上（H面下轉(zhuǎn)90°，W面右轉(zhuǎn)90°）。將空間物體放在三維體系當(dāng)中，向三面投影，得到三視圖。

以主視圖為準(zhǔn)，俯視圖在它的正下方，左視圖在它的正右側(cè)，位置固定，不必標(biāo)注。三視圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系1、位置關(guān)系

主、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正。主、左視圖高平齊。俯、左視圖寬相等。2、三視圖之間的“三等”關(guān)系

HVOXYZ點(diǎn)的三面投影Aaa

axa

'

ayaz通常我們用大寫(xiě)字母表示空間的點(diǎn)，相應(yīng)的小寫(xiě)字母表示其水平投影，小寫(xiě)字母加一撇表示其正面投影，小寫(xiě)字母加兩撇表示其側(cè)面投影。WAHVOXYZaa

axa

'ayazWa

aa

'OXYHZYW點(diǎn)的三面投影圖axayazaya

aa

'OXYHZYW點(diǎn)的投影規(guī)律axayazay水平投影和正面投影的連線垂直于OX軸（長(zhǎng)對(duì)正）；正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸（高平齊）；水平投影到OX軸的距離等于側(cè)面投影到OZ軸的距離（寬相等）?？傻贸鳇c(diǎn)的投影特性如下：（1）點(diǎn)的投影的連線垂直于相應(yīng)的投影軸。（2）點(diǎn)的投影到投影軸的距離，反映該點(diǎn)到相應(yīng)的投影面的距離?！纠?】已知點(diǎn)A的水平投影a和正面投影a′，求其側(cè)面投影a″解:作圖步驟如下二、點(diǎn)的投影與坐標(biāo)

1．投影與坐標(biāo)

引入直角坐標(biāo)的概念，將三面投影體系中的三個(gè)投影面看作是直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)面，則三條投影軸相當(dāng)于坐標(biāo)軸，原點(diǎn)相當(dāng)于坐標(biāo)原點(diǎn)。

點(diǎn)A的空間位置可用其直角坐標(biāo)表示為A(x,y,z),x坐標(biāo)反映空間點(diǎn)A到W面的距離；y坐標(biāo)反映空間點(diǎn)A到V面的距離；z坐標(biāo)反映空間點(diǎn)A到H面的距離。

點(diǎn)的一個(gè)投影能反映兩個(gè)坐標(biāo)，反之點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)可確定一個(gè)投影。點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系A(chǔ)HVOXYZaa

axa

'ayazWxzyA點(diǎn)的x坐標(biāo)＝aay=a'az

A點(diǎn)的y坐標(biāo)＝aax=a''az

A點(diǎn)的z坐標(biāo)＝a'ay=a''ay【例】已知點(diǎn)A(14,10，20)，作其三面投影圖。解:作圖步驟如下（1）方法一（2）方法二

已知空間點(diǎn)B的坐標(biāo)為X=12，Y=10，Z=15，也可以寫(xiě)成B（12、10、15）。單位為mm（下同）。求作B點(diǎn)的三投影。1、分析已知空間點(diǎn)的三點(diǎn)坐標(biāo)，便可作出該點(diǎn)的兩個(gè)投影，從而作出另一投影。

2、作圖①畫(huà)投影軸，在OX軸上由O點(diǎn)向左量取12，定出bX

，過(guò)bX作OX軸的垂線，如圖a。②在OZ軸上由O點(diǎn)向上量取15，定出bZ，過(guò)bZ作OZ軸垂線，兩條線交點(diǎn)即為bˊ，如圖b③在bˊbX的延長(zhǎng)線上，從bX向下量取10得b；在bˊbZ的延長(zhǎng)線上，從bZ向右量取10得b″?；蛘哂蒪ˊ和b用圖c所示的方法作出b″。（a）

（b）

（c）由點(diǎn)的坐標(biāo)作三面投影點(diǎn)與投影面的相對(duì)位置有四類：空間點(diǎn)；投影面上的點(diǎn)；投影軸上的點(diǎn)；與原點(diǎn)O重合的點(diǎn)2．特殊位置點(diǎn)的投影（1）投影面上的點(diǎn)（2）投影軸上的點(diǎn)三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置

空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置，是以其中一個(gè)點(diǎn)為基準(zhǔn)，來(lái)判斷另一個(gè)點(diǎn)在該點(diǎn)的前或后、左或右、上或下。1、兩點(diǎn)的相對(duì)位置是指空間兩個(gè)點(diǎn)的上下、左右、前后關(guān)系，在投影圖中，是以它們的坐標(biāo)差來(lái)確定的。2、兩點(diǎn)的V面投影反映上下、左右關(guān)系；兩點(diǎn)的H面投影反映左右、前后關(guān)系；兩點(diǎn)的W面投影反映上下、前后關(guān)系。

[例]

已知空間點(diǎn)C（15，8，12），D點(diǎn)在C點(diǎn)的右方7，前方5，下方6。求作D點(diǎn)的三投影。

(xiti)D點(diǎn)在C點(diǎn)的右方和下方，說(shuō)明D點(diǎn)的X、Z坐標(biāo)小于C點(diǎn)的X、Z坐標(biāo)；D點(diǎn)在C點(diǎn)的前方，說(shuō)明D點(diǎn)的Y坐標(biāo)大于C點(diǎn)的Y坐標(biāo)?？筛鶕?jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)差作出D點(diǎn)的三投影。（a）（b）（c）（d）圖

求作D點(diǎn)的三投影在投影面的重影點(diǎn)H面的重影點(diǎn)W面的重影點(diǎn)V面的重影點(diǎn)3-2直線的投影一、直線投影的概念二、特殊位置直線三、一般位置直線四、無(wú)軸投影圖一、直線投影的概念

由于直線的投影一般情況下仍為直線，且兩點(diǎn)決定一直線，故要獲得直線的投影，只需作出已知直線上的兩個(gè)點(diǎn)的投影，再將它們相連即可。VHXOBAa'b'ab直線的分類直

線一般位置直線特殊位置直線投影面垂直線投影面平行線二、特殊位置直線1.投影面垂直線垂直于一個(gè)投影面，同時(shí)平行于其它兩個(gè)投影面的直線。鉛垂線——垂直于H面，同時(shí)平行于V、W面的直線。正垂線——垂直于V面，同時(shí)平行于H、W面的直線。側(cè)垂線——垂直于W面，同時(shí)平行于H、V面的直線。VWHXYZOAB鉛垂線（垂直于H面，同時(shí)平行于V、W面的直線）Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

b

a(b)a

a

b

水平投影積聚為一點(diǎn)；正面投影及側(cè)面投影平行于OZ軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。VWHXYZOAB正垂線（垂直于V面，同時(shí)平行于H、W面的直線）ZX(a

)b

b

aOYHYWa

bba

b

a

b

a正面投影積聚為一點(diǎn)；水平投影及側(cè)面投影平行于OY軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。VWXYZOABH側(cè)垂線（垂直于W面，同時(shí)平行于H、V面的直線）ba

a

b

ab

YWZXa

(b

)b

aOYHa

b側(cè)面投影積聚為一點(diǎn)；水平投影及正面投影平行于OX軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性可概括如下：（1）直線在它所垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)；（2）該直線在其他兩個(gè)投影面上的投影分別垂直于相應(yīng)的投影軸，且都等于該直線的實(shí)長(zhǎng)。

事實(shí)上，在直線的三面投影中，若有兩面投影平行于同一投影軸，則另一投影必積聚為一點(diǎn)；只要空間直線的三面投影中有一面投影積聚為一點(diǎn)，則該直線必垂直于積聚投影所在的投影面。特殊位置直線2.投影面平行線平行于一個(gè)投影面，同時(shí)傾斜于其它兩個(gè)投影面的直線。水平線——平行于H面，同時(shí)傾斜于V、W面的直線。正平線——平行于V面，同時(shí)傾斜于H、W面的直線。側(cè)平線——平行于W面，同時(shí)傾斜于H、V面的直線。ABVWHXYZO水平線（平行H面，同時(shí)傾斜于V、W面的直線）aa

b

a

bb

Xa

b

a

b

baOZYHYW

水平投影反映實(shí)長(zhǎng)及傾角，正面投影及側(cè)面投影垂直于OZ軸

VWHXYZOAB正平線（平行V面，同時(shí)傾斜于H、W面的直線）

aa

b

a

b

b正面投影反映實(shí)長(zhǎng)及傾角，水平投影及側(cè)面投影垂直于OY軸

Xa

b

a

b

baOZYHYW

VWHXYZOAB側(cè)平線（平行W面，同時(shí)傾斜于H、V面的直線）

aa

b

a

b

b側(cè)面投影反映實(shí)長(zhǎng)及傾角，水平投影及正面投影垂直于OX軸

b

XZa

b

baOYHYWa

投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性可概括如下：（1）直線在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，且反映對(duì)其他兩個(gè)投影面傾角的實(shí)形；（2）該直線在其他兩個(gè)投影面上的投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實(shí)長(zhǎng)。

事實(shí)上，在直線的三面投影中，若有兩面投影垂直于同一投影軸，而另一投影處于傾斜狀態(tài)，則該直線必平行于傾斜投影所在的投影面，且反映與其他兩投影面夾角的實(shí)形。ABVWHXYZO三、一般位置直線對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。

ZXa

b

aOYHYWa

bb

bb

a

b

aa

一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性：1）三面投影均不反映直線的實(shí)長(zhǎng)（均小于實(shí)長(zhǎng)）；2）直線與投影面之間的傾角在投影圖中均不反映實(shí)形。

事實(shí)上，只要空間直線的任意兩個(gè)投影都呈傾斜狀態(tài)，則該直線一定是一條一般位置直線。求解一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及傾角

根據(jù)一般位置直線的投影求解其實(shí)長(zhǎng)及傾角是畫(huà)法幾何綜合習(xí)題中的常遇見(jiàn)的基本問(wèn)題之一，也是工程實(shí)際中經(jīng)常需要解決的問(wèn)題。而用直角三角形法求解實(shí)長(zhǎng)及傾角最為簡(jiǎn)便、快捷。XOaba'b'ABaba'b'XOαB0直角三角形法(求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)水平投影面的夾角α)mmαABABαmAB0=ab

BB0=AB兩點(diǎn)的高度差mabABaba'b'XOβXOaba'b'直角三角形法（求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正立投影面的夾角β）nnnA0BA0=a'b'AA0=AB兩點(diǎn)的寬度差nβABa'b'AB直角三角形法

直角三角形法的四要素：投影長(zhǎng)、坐標(biāo)差、實(shí)長(zhǎng)、傾角。已知四要素中的任意兩個(gè)，便可確定另外兩個(gè)。

解題時(shí)，直角三角形畫(huà)在任何位置都不影響解題結(jié)果，但用哪個(gè)長(zhǎng)度來(lái)作直角邊不能搞錯(cuò)。課堂練習(xí)：H1X1O1VXHO四、無(wú)軸投影圖b1a1ABa'b'baXOX1O1a'b'bab1a1把空間形體向投影面進(jìn)行正投影時(shí)，所得投影圖的大小、形狀與距離投影面的遠(yuǎn)近無(wú)關(guān)。無(wú)軸投影圖

在工程上，一般只要求投影圖能夠表達(dá)出空間形體的形狀和大小，而不需要考慮距投影面的距離，因此，投影軸也就沒(méi)有了意義，可以不必畫(huà)出。這種不需要畫(huà)出投影軸的正投影圖就叫做無(wú)軸投影圖。SB為什么線；SA、SC為什么直線

ABC判斷AB、BC、AC為什么線；例題:空間直線位置的判斷例題:空間直線位置的判斷SB為側(cè)平線；SA、SC為一般位置直線。AB、BC為水平線；AC為側(cè)垂線；3-3平面的投影一、平面的表示方法二、各類平面的投影特性基本要求一、平面的表示法1、用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)；一直線和直線外一點(diǎn)；相交二直線；平行二直線；任意平面圖形。2、平面的跡線表示法平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面可以用在它們所垂直的投影面上的跡線來(lái)表示。一、平面的表示方法下列五種方式可表達(dá)一平面：（1）不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)；（2）一直線和直線外一點(diǎn)；（3）兩相交直線；（4）兩平行直線；（5）任意平面圖形。VXWHYZACB1、用幾何元素表示平面b

a

ac

bcb

a

ac

bca

ab

c

bca

b

c

abcd

dXXXXXOOOOO2、平面的跡線表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ二、各類平面的投影特性空間平面特殊位置平面投影面垂直面投影面平行面一般位置平面1.投影面平行面

對(duì)一個(gè)投影面平行，同時(shí)垂直于其它兩個(gè)投影面的平面。水平面——平行于H面，同時(shí)垂直于V、W的平面正平面——平行于V面，同時(shí)垂直于H、W的平面?zhèn)绕矫妗叫杏赪面，同時(shí)垂直于H、V的平面VXHWYZO水平面的投影特性p'p"p水平投影反映實(shí)形；正面投影和側(cè)面投影積聚為一條直線并平行于相應(yīng)的投影軸。XYWZOYHp'p"pP水平面的跡線平面1.無(wú)水平跡線PH。2.PV平行OX軸，PW平行OYW軸，有積聚性。VXHWYZO正平面的投影特性正面投影反映實(shí)形；水平投影和側(cè)面投影積聚為一條直線并平行于相應(yīng)的投影軸。pp'p"XYWZOYHpp'p"P正平面的跡線平面1.無(wú)正面跡線Qv2.QH平行OX軸，QW平行OZ軸，有積聚性。VXHWZOY側(cè)平面的投影特性pp'p"側(cè)面投影反映實(shí)形；水平投影和正面投影積聚為一條直線并平行于相應(yīng)的投影軸。XYWZYHOpp'p"P側(cè)平面的跡線平面1.無(wú)側(cè)面跡線；2.RH平面OYH軸，RV平行OZ軸，有積聚性。總結(jié)

投影面平行面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形；（2）平面在另外兩個(gè)投影面上的投影積聚成直線，且分別平行于相應(yīng)的投影軸。

事實(shí)上，在平面的兩面投影中，若有一面投影積聚為平行于某投影軸的直線，則此平面必為該投影軸相鄰的投影面的平行面。2.投影面垂直面

垂直于一個(gè)投影面，同時(shí)傾斜于其它兩個(gè)投影面的平面。鉛垂面——垂直于H面，同時(shí)傾斜于V、W