一道平面向量高考題的解法和變式探究

一道平面向量高考題的解法和變式探究解答及變式探究：平面向量引言：平面向量是高中數(shù)學(xué)中的一個重要概念，也是數(shù)學(xué)與物理學(xué)等科學(xué)中常用的工具和方法。它能幫助我們解決直角三角形的面積、坐標(biāo)計算、力和速度等問題。本文將以一道典型的高考題為例，探究平面向量的解法和變式，并結(jié)合實際問題進(jìn)行分析。1.問題描述：已知平面內(nèi)的三個向量a=2i+j-k,b=i-j+k,c=3i-4j+4k，求向量a與向量b的數(shù)量積、向量積，以及向量c與向量a、b的夾角。解法1：數(shù)量積計算向量a與向量b的數(shù)量積定義為：a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分別表示向量a和b的模，θ表示向量a與向量b之間的夾角。因此，我們可以先計算向量a的模，再計算向量b的模，最后帶入公式計算得出數(shù)量積。步驟：1)計算向量a的模：|a|=√(22+12+(-1)2)=√6。2)計算向量b的模：|b|=√(12+(-1)2+12)=√3。3)計算向量a與向量b的數(shù)量積：a·b=(2)(1)+(1)(-1)+(-1)(1)=0。解法2：向量積計算向量a與向量b的向量積定義為：a×b=|a||b|sinθn，其中|a|和|b|分別表示向量a和b的模，θ表示向量a與向量b之間的夾角，n表示兩向量所在平面的法向量。我們可以通過行列式的方法計算向量積。步驟：1)計算向量積行列式：a×b=|ijk||21-1||1-11|=(1)(1-(-1))-(-1)(2-(-1))+(1)(2-1)=5i+3j-3k。解法3：向量夾角計算向量a與向量b的夾角θ可以通過求解向量a與向量b的數(shù)量積公式得到：a·b=|a||b|cosθ。帶入已知量，解方程即可求得。步驟：1)設(shè)向量a與向量b的夾角為θ，代入數(shù)量積公式：2·1+1·(-1)+(-1)·1=√6√3cosθ。2)化簡得：1=3cosθ。3)解方程得到夾角θ=arccos(1/3)。總結(jié)：通過以上解法，我們得到了向量a與向量b的數(shù)量積、向量積，以及向量c與向量a、b的夾角的解答。變式探究：1.假設(shè)向量a、b、c在空間中，求向量c在向量a、b張成的平面上的投影。步驟：1)計算向量a與向量b的向量積，即n=a×b。2)計算向量c在n上的投影，即c'=(c·n/|n|2)n。2.設(shè)向量a與向量b的夾角θ為60°，向量a的模為3，向量b的模為4，求向量a與向量b的數(shù)量積和向量積。步驟：1)根據(jù)已知條件，可以得到：a·b=|a||b|cosθ=(3)(4)cos60°=6。2)計算向量a與向量b的向量積：a×b=|a||b|sinθn=(3)(4)sin60°n=6√3n。結(jié)論：通過以上變式探究，我們可以進(jìn)一步應(yīng)用平面向量的知識解決投影問題以及利用已知條件計算其他平面向量的性質(zhì)。結(jié)語：平面向量作為高中數(shù)學(xué)的基本概念之一，對于解題和實際問題的分析提供了很大的幫助。通過以上的解答和變式探究，我們探究了平面向量的解法以及應(yīng)用，并對平面向量的概念和計算方