河南省駐馬店市上蔡縣第二高級中學(xué)2024年高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

河南省駐馬店市上蔡縣第二高級中學(xué)2024年高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列中，若為前項(xiàng)和，，則的值是（）A．156 B．124 C．136 D．1802．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作，已知復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，復(fù)數(shù):滿足.則等于（）A． B． C． D．3．點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，，，，，且，則（）A． B． C． D．4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為（）A．5 B．3 C． D．25．已知、，，則下列是等式成立的必要不充分條件的是（）A． B．C． D．6．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A．12 B．11 C．6 D．37．已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則|FA|=（）A．1 B．2 C．3 D．48．函數(shù)的最小正周期是，則其圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A．2 B． C．4 D．10．某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A．45 B．50 C．55 D．6011．是正四面體的面內(nèi)一動點(diǎn)，為棱中點(diǎn)，記與平面成角為定值，若點(diǎn)的軌跡為一段拋物線，則（）A． B． C． D．12．設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面，對下列四種情形：①x、y、z均為直線；②x、y是直線，z是平面；③z是直線，x、y是平面；④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是（）A．③④ B．①③ C．②③ D．①②二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與圓相切于點(diǎn)，且與雙曲線的右支相交于點(diǎn)，若是上的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_______．14．已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，其展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)__________．15．下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的S的值是______.16．已知二面角α﹣l﹣β為60°，在其內(nèi)部取點(diǎn)A，在半平面α，β內(nèi)分別取點(diǎn)B，C．若點(diǎn)A到棱l的距離為1，則△ABC的周長的最小值為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知橢圓離心率為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線斜率的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，．（1）求，；（2）猜想的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．19．（12分）某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機(jī)芯片進(jìn)行測評，該公司隨機(jī)調(diào)查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為五個(gè)小組（所調(diào)查的芯片得分均在內(nèi)），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機(jī)公司進(jìn)行測試，該手機(jī)公司將每顆芯片分別裝在3個(gè)工程手機(jī)中進(jìn)行初測。若3個(gè)工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；若3個(gè)工程手機(jī)中只要有2個(gè)評分沒達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片不合格；若3個(gè)工程手機(jī)中僅1個(gè)評分沒有達(dá)到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個(gè)工程手機(jī)中進(jìn)行二測，二測時(shí)，2個(gè)工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；2個(gè)工程手機(jī)中只要有1個(gè)評分沒達(dá)到11萬分，手機(jī)公司將認(rèn)定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機(jī)中的得分相互獨(dú)立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)與手機(jī)公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個(gè)工程手機(jī)中的測試費(fèi)用均為300元，每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格，將不再進(jìn)行后續(xù)測試，現(xiàn)手機(jī)公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費(fèi)為10萬元，試問預(yù)算經(jīng)費(fèi)是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．20．（12分）如圖，三棱錐中，（1）證明：面面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.22．（10分）己知的內(nèi)角的對邊分別為.設(shè)（1）求的值；（2）若，且，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

因?yàn)?，可得，根?jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)定義和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù)，進(jìn)而得出，由得出可計(jì)算出，由此可計(jì)算出.【詳解】由于復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，，則，，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

確定點(diǎn)為外心，代入化簡得到，，再根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】由可知，點(diǎn)為外心，則，，又，所以①因?yàn)?，②?lián)立方程①②可得，，，因?yàn)?，所以，即．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了向量模長的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、D【解析】

由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,由拋物線的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點(diǎn)的橫坐標(biāo),即為中點(diǎn)到軸的距離.【詳解】解：由拋物線方程可知，，即，.設(shè)則，即，所以.所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和.5、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù)，由得出，分、、三種情況討論，利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則，，所以，函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，；當(dāng)時(shí)，，.由得.①若，則，即，不合乎題意；②若，則，則，此時(shí)，，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，；③若，則，則，此時(shí)，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，.綜上所述，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，解題時(shí)要注意對的取值范圍進(jìn)行分類討論，考查推理能力，屬于中等題.6、B【解析】

畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后轉(zhuǎn)化求解，即可得出結(jié)果．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，令，由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個(gè)或三個(gè)（時(shí)有三個(gè)，時(shí)有兩個(gè)），所以關(guān)于的方程只能有一個(gè)根（若有兩個(gè)根，則關(guān)于的方程有四個(gè)或五個(gè)根），由，可得的值分別為，則故選B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于?？碱}型.7、C【解析】

方法一：設(shè)，利用拋物線的定義判斷出是的中點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義求得，進(jìn)而求得.方法二：設(shè)出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由拋物線的定義，結(jié)合求得的關(guān)系式，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】方法一：由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線恒過定點(diǎn)，過分別作于，于，連接，由，則，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，所以，又所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，所以．方法二：拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線由題意設(shè)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，則由拋物線定義得又①②由①②得.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.8、D【解析】

由三角函數(shù)的周期可得，由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為，再求其對稱軸方程即可.【詳解】解：函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)，經(jīng)過平移后得到函數(shù)解析式為，由，得，當(dāng)時(shí)，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.9、A【解析】

對復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算，并計(jì)算得到，從而得到虛部為2.【詳解】因?yàn)椋詚的虛部為2.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念，計(jì)算過程要注意.10、D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率＝小矩形的高×組距計(jì)算成績低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量求出班級人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴樣本容量（即該班的學(xué)生人數(shù)）是60（人）.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了頻率的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題11、B【解析】

設(shè)正四面體的棱長為，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出面的法向量，設(shè)的坐標(biāo)，求出向量，求出線面所成角的正弦值，再由角的范圍，結(jié)合為定值，得出為定值，且的軌跡為一段拋物線，所以求出坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出正切值．【詳解】由題意設(shè)四面體的棱長為，設(shè)為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，過垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則可得，，取的三等分點(diǎn)、如圖，則，，，，所以、、、、，由題意設(shè)，，和都是等邊三角形，為的中點(diǎn)，，，，平面，為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)榕c平面所成角為定值，則，由題意可得，因?yàn)榈能壽E為一段拋物線且為定值，則也為定值，，可得，此時(shí)，則，.故選：B.【點(diǎn)睛】考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時(shí)的情況，屬于中等題．12、C【解析】

①舉反例，如直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例，如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).【詳解】①當(dāng)直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí),不正確；②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,正確；③因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩平面平行,正確；④如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí),不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線面關(guān)系，選擇題一般可通過特殊值法進(jìn)行排除，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解析】

根據(jù)題中給的信息與雙曲線的定義可求得與,再在中,由余弦定理求解得,繼而得到各邊的長度,再根據(jù)計(jì)算求解即可.【詳解】如圖所示：設(shè)雙曲線的半焦距為.因?yàn)?,,所以由勾股定理,得.所以.因?yàn)槭巧弦粋€(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),是的中點(diǎn),所以.由雙曲線的定義可知：,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.則.則,得.則的底邊上的高為.所以.故答案為：60【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線中利用定義與余弦定理求解線段長度與面積的方法,需要根據(jù)雙曲線的定義表示各邊的長度,再在合適的三角形里面利用余弦定理求得基本量的關(guān)系.屬于難題.14、【解析】

先令可得其展開式各項(xiàng)系數(shù)的和，又由題意得，解得，進(jìn)而可得其展開式的通項(xiàng)，即可得答案.【詳解】令，則有，解得，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，則其展開式中的第4項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題時(shí)需要區(qū)分展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和與各二項(xiàng)式系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)流程圖，運(yùn)行程序即得.【詳解】第一次運(yùn)行，；第二次運(yùn)行，；第三次運(yùn)行，；第四次運(yùn)行；所以輸出的S的值是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查算法流程圖，是基礎(chǔ)題.16、【解析】

作A關(guān)于平面α和β的對稱點(diǎn)M，N，交α和β與D，E，連接MN，AM，AN，DE，根據(jù)對稱性三角形ADC的周長為AB+AC+BC＝MB+BC+CN，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)長度最短，結(jié)合對稱性和余弦定理求解.【詳解】作A關(guān)于平面α和β的對稱點(diǎn)M，N，交α和β與D，E，連接MN，AM，AN，DE，根據(jù)對稱性三角形ABC的周長為AB+AC+BC＝MB+BC+CN，當(dāng)M，B，C，N共線時(shí)，周長最小為MN設(shè)平面ADE交l于，O，連接OD，OE，顯然OD⊥l，OE⊥l，∠DOE＝60°，∠MOA+∠AON＝240°,OA＝1，∠MON＝120°，且OM＝ON＝OA＝1，根據(jù)余弦定理，故MN2＝1+1﹣2×1×1×cos120°＝3，故MN．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查求空間三角形邊長的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何性質(zhì)找出對稱關(guān)系，結(jié)合解三角形知識求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由題意可得，，，解得即可求出橢圓的C的方程；（Ⅱ）由已知設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)，(k≠0)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo)，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標(biāo)，由BF⊥HF,解得.由方程組消去y，解得，由,得到,轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式，求得k的范圍.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3，所以，因?yàn)闄E圓離心率為，所以，又，解得，，，所以橢圓的方程為；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，則，設(shè)，由得，解得，或，由題意得，從而，由（Ⅰ）知，，設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以直線的方程為，設(shè)，由消去，解得，在中，，即，所以，即，解得，或.所以直線的斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查在直線與橢圓的位置關(guān)系中由已知條件求直線的斜率取值范圍問題，還考查了由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于難題.18、,；，證明見解析【解析】

對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并通過三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式,對函數(shù)再進(jìn)行求導(dǎo)并通過三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式;根據(jù)中，的表達(dá)式進(jìn)行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】（1），其中，[，其中，（2）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，成立，②假設(shè)時(shí)，猜想成立即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，猜想成立由①②對成立【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角恒等變換、歸納與猜想和數(shù)學(xué)歸納法;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的步驟是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.19、（1）（2）預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測試完這100顆芯片，理由見解析【解析】

（1）先求出，再利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)；（2）先求出每顆芯片的測試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望，再比較得解.【詳解】（1）依題意，，故．又因?yàn)椋?，所求平均?shù)為（萬分）（2）由題意可知，手機(jī)公司抽取一顆芯片置于一個(gè)工程機(jī)中進(jìn)行檢測評分達(dá)到11萬分的概率．設(shè)每顆芯片的測試費(fèi)用為X元，則X的可能取值為600，900，1200，1500，，，故每顆芯片的測試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為（元），因?yàn)?，所以顯然預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測試完這100顆芯片．【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.20、