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黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)哈爾濱三中2023-2024學年高考數(shù)學必刷試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.中,,為的中點,,,則()A. B. C. D.22.若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足,則公比()A.1 B.2 C.3 D.43.某幾何體的三視圖如圖所示,三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形,則該幾何體中最長的棱長為().A. B. C.1 D.4.已知,則()A. B. C. D.5.在中,D為的中點,E為上靠近點B的三等分點,且,相交于點P,則()A. B.C. D.6.已知函數(shù),,則的極大值點為()A. B. C. D.7.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體中的最長棱長為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)且的圖象恒過定點,則函數(shù)圖象以點為對稱中心的充要條件是()A. B.C. D.9.總體由編號為01,02,...,39,40的40個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是從隨機數(shù)表(如表)第1行的第4列和第5列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為()A.23 B.21 C.35 D.3210.設是雙曲線的左、右焦點,若雙曲線右支上存在一點,使(為坐標原點),且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.某高中高三(1)班為了沖刺高考,營造良好的學習氛圍,向班內(nèi)同學征集書法作品貼在班內(nèi)墻壁上,小王,小董,小李各寫了一幅書法作品,分別是:“入班即靜”,“天道酬勤”,“細節(jié)決定成敗”,為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰寫的,班主任對三人進行了問話,得到回復如下:小王說:“入班即靜”是我寫的;小董說:“天道酬勤”不是小王寫的,就是我寫的;小李說:“細節(jié)決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的,則“入班即靜”的書寫者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李12.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:對任意都有零點;則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.有以下四個命題:①在中,的充要條件是;②函數(shù)在區(qū)間上存在零點的充要條件是;③對于函數(shù),若,則必不是奇函數(shù);④函數(shù)與的圖象關于直線對稱.其中正確命題的序號為______.14.若x,y均為正數(shù),且,則的最小值為________.15.若一個正四面體的棱長為1,四個頂點在同一個球面上,則此球的表面積為_________.16.如圖,在正四棱柱中,P是側棱上一點,且.設三棱錐的體積為,正四棱柱的體積為V,則的值為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求直線和曲線的極坐標方程;(2)已知射線與曲線交于兩點,射線與直線交于點,若的面積為1,求的值和弦長.18.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)不存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)的兩個極值點為,,求的最小值.19.(12分)為了打好脫貧攻堅戰(zhàn),某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進行調(diào)研,力爭有效地改良玉米品種,為農(nóng)民提供技術支援,現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計,獲得莖葉圖如圖(單位:厘米),設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米.(1)求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù);(2)根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表:抗倒伏易倒伏矮莖高莖(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為抗倒伏與玉米矮莖有關?附:,0.0500.0100.0013.8416.63510.82820.(12分)已知函數(shù)的最小正周期是,且當時,取得最大值.(1)求的解析式;(2)作出在上的圖象(要列表).21.(12分)設函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若存在,使得不等式對一切恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)在中,內(nèi)角的對邊分別是,已知.(1)求角的值;(2)若,,求的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
在中,由正弦定理得;進而得,在中,由余弦定理可得.【詳解】在中,由正弦定理得,得,又,所以為銳角,所以,,在中,由余弦定理可得,.故選:D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用,考查了學生的運算求解能力.2、C【解析】
由正項等比數(shù)列滿足,即,又,即,運算即可得解.【詳解】解:因為,所以,又,所以,又,解得.故選:C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法,屬基礎題.3、B【解析】
首先由三視圖還原幾何體,進一步求出幾何體的棱長.【詳解】解:根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示,所以,該四棱錐體的最長的棱長為.故選:B.【點睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體,考查運算能力和推理能力,屬于基礎題.4、C【解析】
利用誘導公式得,,再利用倍角公式,即可得答案.【詳解】由可得,∴,∴.故選:C.【點睛】本題考查誘導公式、倍角公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意三角函數(shù)的符號.5、B【解析】
設,則,,由B,P,D三點共線,C,P,E三點共線,可知,,解得即可得出結果.【詳解】設,則,,因為B,P,D三點共線,C,P,E三點共線,所以,,所以,.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應用,屬于基礎題.6、A【解析】
求出函數(shù)的導函數(shù),令導數(shù)為零,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,求得極大值點即可.【詳解】因為,故可得,令,因為,故可得或,則在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故的極大值點為.故選:A.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值點,屬基礎題.7、C【解析】
根據(jù)三視圖,可得該幾何體是一個三棱錐,并且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,,再求得其它的棱長比較下結論.【詳解】如圖所示:由三視圖得:該幾何體是一個三棱錐,且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,則,所以,,,,該幾何體中的最長棱長為.故選:C【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體,還考查了空間想象和運算求解的能力,屬于中檔題.8、A【解析】
由題可得出的坐標為,再利用點對稱的性質(zhì),即可求出和.【詳解】根據(jù)題意,,所以點的坐標為,又,所以.故選:A.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點問題和函數(shù)對稱性的應用,屬于基礎題.9、B【解析】
根據(jù)隨機數(shù)表法的抽樣方法,確定選出來的第5個個體的編號.【詳解】隨機數(shù)表第1行的第4列和第5列數(shù)字為4和6,所以從這兩個數(shù)字開始,由左向右依次選取兩個數(shù)字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在編號01,02,…,39,40內(nèi)的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重復的第5個編號為21.故選:B【點睛】本小題主要考查隨機數(shù)表法進行抽樣,屬于基礎題.10、D【解析】
利用向量運算可得,即,由為的中位線,得到,所以,再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點,則由得,即;在中,為的中位線,所以,所以;由雙曲線定義知,且,所以,解得,故選:D【點睛】本題綜合考查向量運算與雙曲線的相關性質(zhì),難度一般.11、D【解析】
根據(jù)題意,分別假設一個正確,推理出與假設不矛盾,即可得出結論.【詳解】解:由題意知,若只有小王的說法正確,則小王對應“入班即靜”,而否定小董說法后得出:小王對應“天道酬勤”,則矛盾;若只有小董的說法正確,則小董對應“天道酬勤”,否定小李的說法后得出:小李對應“細節(jié)決定成敗”,所以剩下小王對應“入班即靜”,但與小王的錯誤的說法矛盾;若小李的說法正確,則“細節(jié)決定成敗”不是小李的,則否定小董的說法得出:小王對應“天道酬勤”,所以得出“細節(jié)決定成敗”是小董的,剩下“入班即靜”是小李的,符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是:小李.故選:D.【點睛】本題考查推理證明的實際應用.12、A【解析】
先分別判斷每一個命題的真假,再利用復合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當時,直線和直線,即直線為和直線互相垂直,所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件,當直線和直線互相垂直時,,解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.:“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件,故是假命題.當時,沒有零點,所以命題是假命題.所以是真命題,是假命題,是假命題,是假命題.故選:.【點睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關系,考查二次函數(shù)的圖象,考查學生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①【解析】
由三角形的正弦定理和邊角關系可判斷①;由零點存在定理和二次函數(shù)的圖象可判斷②;由,結合奇函數(shù)的定義,可判斷③;由函數(shù)圖象對稱的特點可判斷④.【詳解】解:①在中,,故①正確;②函數(shù)在區(qū)間上存在零點,比如在存在零點,但是,故②錯誤;③對于函數(shù),若,滿足,但可能為奇函數(shù),故③錯誤;④函數(shù)與的圖象,可令,即,即有和的圖象關于直線對稱,即對稱,故④錯誤.故答案為:①.【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點存在定理和對稱性、奇偶性的判斷,考查判斷能力和推理能力,屬于中檔題.14、4【解析】
由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一:,當且僅當時取等.方法二:因為,所以,所以,當且僅當時取等.故答案為:.【點睛】本題考查基本不等式在求最小值中的應用,考查學生對基本不等式的靈活使用,難度較易.15、【解析】
將四面體補成一個正方體,通過正方體的對角線與球的半徑的關系,得到球的半徑,利用球的表面積公式,即可求解.【詳解】如圖所示,將正四面體補形成一個正方體,則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個球,因為正四面體的棱長為1,所以正方體的棱長為,設球的半徑為,因為球的直徑是正方體的對角線,即,解得,所以球的表面積為.【點睛】本題主要考查了有關求得組合體的結構特征,以及球的表面積的計算,其中巧妙構造正方體,利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對角線長,得到球的半徑是解答的關鍵,著重考查了空間想象能力,以及運算與求解能力,屬于基礎題.16、【解析】
設正四棱柱的底面邊長,高,再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計算可得.【詳解】解:設正四棱柱的底面邊長,高,則,即故答案為:【點睛】本題考查柱體、錐體的體積計算,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2).【解析】
(1)先把直線和曲線的參數(shù)方程化成普通方程,再化成極坐標方程;(2)聯(lián)立極坐標方程,根據(jù)極徑的幾何意義可得,再由面積可解得極角,從而可得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),消去參數(shù)得直角坐標方程為:.轉(zhuǎn)換為極坐標方程為:,即.曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為:,化為一般式得化為極坐標方程為:.
(2)由于,得,.所以,所以,由于,所以,所以.【點睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直角坐標方程與極坐標方程的互化,熟記公式即可,屬于??碱}型.18、(1)(2)【解析】分析:(1)先求導,再令在上恒成立,得到上恒成立,利用基本不等式得到m的取值范圍.(2)先由得到,再求得,再構造函數(shù)再利用導數(shù)求其最小值.詳解:(1)由函數(shù)有意義,則由且不存在單調(diào)遞減區(qū)間,則在上恒成立,上恒成立(2)由知,令,即由有兩個極值點故為方程的兩根,,,則由由,則上單調(diào)遞減,即由知綜上所述,的最小值為.點睛:(1)本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值,意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的難點有兩個,其一是求出,其二是構造函數(shù)再利用導數(shù)求其最小值.19、(1)190(2)見解析(3)可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為抗倒伏與玉米矮莖有關.【解析】
(1)排序后第10和第11兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù);(2)由莖葉圖可得列聯(lián)表;(3)由列聯(lián)表計算可得結論.【詳解】解:(1).(2)抗倒伏易倒伏矮莖154高莖1016(3)由于,因此可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為抗倒伏與玉米矮莖有關.【點睛】本題考查莖葉圖,考查獨立性檢驗,正確認識莖葉圖是解題關鍵.20、(1);(2)見解析.【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)的最小正周期可求出的值,由該函數(shù)的最大值可得出的值,再由,結合的取值
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