有理數(shù)知識詳解和基本典型例題解析

有理數(shù)知識詳解和基本典型例題解析(第一部分)

目錄

一、有理數(shù)的意義

二、數(shù)軸與相反數(shù)

三、絕對值

四、有理數(shù)的加減法

五、有理數(shù)的乘除

六、有理數(shù)的乘方及混合運算

七、科學記數(shù)法與近似數(shù)

八、《有理數(shù)》全章復習與鞏固

一、有理數(shù)的意義要點梳理+基本典型例題解析

【學習目標】

1.掌握用正負數(shù)表示實際問題中具有相反意義的量；

2.理解正數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)的概念；

3.掌握有理數(shù)的分類方法，初步建立分類討論的思想.

【要點梳理】

要點一、正數(shù)與負數(shù)

像+3、+1.5、+-,+584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)；像一3、一1.5、—584等

22

在正數(shù)前面加“一”號的數(shù)，叫做負數(shù).

要點詮釋：

(1)一個數(shù)前面的“+”是這個數(shù)的性質符號，“+”常省略，但“-”不能省略.

(2)用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量時，哪種為正可任意選擇，但習慣把“前進、上

升”等規(guī)定為正，而把“后退、下降”等規(guī)定為負.

(3)0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，它是正數(shù)和負數(shù)的分界線.

要點二、有理數(shù)的分類

(1)按整數(shù)、分數(shù)的關系分類：(2)按正數(shù)、負數(shù)與0的關系分類：

正整數(shù).正整數(shù)

正有理數(shù)＜

整數(shù)，0正分數(shù)

有理數(shù)＜〔負整數(shù)

有理數(shù)?0

.正分數(shù)

分數(shù)，頃整數(shù)

.負分數(shù)負有理數(shù)＜

貝分數(shù)

要點詮釋：

(1)有理數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù).

(2)分數(shù)與有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)可以互化，所以有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可看作分數(shù),

但無限不循環(huán)小數(shù)不是分數(shù)，例如萬.

（3）正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)；負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù).

【典型基礎例題】

類型一、正數(shù)與負數(shù)

C1.（2016?廣州）中國人很早開始使用負數(shù)，中國古代數(shù)學著作《九章算術》的“方

程”一章，在世界數(shù)學史上首次正式引入負數(shù).如果收入100元記作+100元.那么-80元

表示（）

A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元

【思路點撥】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示.

【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，收入100元記作+100元，

貝!］-80表示支出80元.

故選：C.

【總結升華】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對

具有相反意義的量.

舉一反三：

【變式1】（2015?太倉市模擬）一種大米的質量標識為"（50±0.5）千克”，則下列各袋

大米中質量不合格的是（）

A.50.0千克B.50.3千克C.49.7千克D.49.1千克

【答案】D.

解：“50±0.5千克”表示最多為50.5千克，最少為49.5千克.

【變式2］（1）如果收入300元記作+300元，那么支出500元用表示，0元

表示?

（2）若購進50本書，用-50本表示，則盈利30元如何表示？

【答案】（1）-500元；既沒有收入也沒有支出.（2）不是一對具有相反意義的量，不能表示.

【變式3］如果60nl表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示為（）.

A.-20mB.—40mC.20mD.40m

【答案】B

V2.體育課上，華英學校對九年級男生進行了引體向上測試，以能做7個為標準，超過

的次數(shù)記為正數(shù)，不足的次數(shù)記為負數(shù)，其中8名男生的成績?nèi)缦拢?,T,0,3,-2,-3,

1,0

（1）這8名男生有百分之幾達到標準？

（2）他們共做了多少引體向上？

【答案與解析】（1）由題意可知：正數(shù)或0表示達標，

而正數(shù)或0的個數(shù)共有5個，所以百分率為：jxl00%-62.5%;

答：這8名男生有62.5%達到標準.

（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（個）

答：他們共做了引體向上56個.

【總結升華】一定要先弄清“基準”是什么.

類型二、有理數(shù)的分類

V3.下面說法中正確的是（）.

A.非負數(shù)一定是正數(shù).

B.有最小的正整數(shù)，有最小的正有理數(shù).

C.一4一定是負數(shù).

D.正整數(shù)和正分數(shù)統(tǒng)稱正有理數(shù).

【答案】D

【解析】（A）不對，因為非負數(shù)還包括0；（B）最小的正整數(shù)為1,但沒有最小的正有理數(shù)；

（C）不對，當。為負數(shù)或0時，則一。為正數(shù)或0,而不是負數(shù)；（D）對

【總結升華】一個有理數(shù)既有性質符號，又有除性質符號外的數(shù)值部分，兩者合在一起才表

示這個有理數(shù).

舉一反三：

【變式1】判斷題：

（1）0是自然數(shù)，也是偶數(shù).（）（2）0既可以看作是正數(shù)，也可以看成是負數(shù).（）

（3）整數(shù)又叫自然數(shù).（）（4）非負數(shù)就是正數(shù)，非正數(shù)就是負數(shù).（）

【答案】J,X,X,X

【變式2】下列四種說法，正確的是（）.

（A）所有的正數(shù)都是整數(shù)（B）不是正數(shù)的數(shù)一定是負數(shù)

（0正有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)（D）0不是最小的有理數(shù)

【答案】D

V4.請把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號里.

7''

1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,——，0-23.

23

正整數(shù)集合：{…},負整數(shù)集合：{…},

整數(shù)集合：{…},正分數(shù)集合：{…},

負分數(shù)集合：{…},分數(shù)集合：{…},

非負數(shù)集合：{…},非正數(shù)集合：{…}.

【答案】正整數(shù)：1；負整數(shù)：-700；整數(shù)：1,0,-700；正分數(shù)：0.0708,3.14159265,

0.23.

7

負分數(shù)：-3.88,

23

,,7

分數(shù)：0.0708,3.14159265,0-23,-3.88,——

23

非負數(shù)：1,0.0708,3.14159265,0,023；

7

非正數(shù):-700,-3.88,0,——

在整數(shù)

正有理數(shù)＜

【解析】.正分數(shù)

有理數(shù)0

【總結.負整數(shù)升華】填數(shù)的方法有兩種：一種是逐個考察，一一

負有理數(shù)＜

進行填負分數(shù)寫；二是逐個填寫相關的集合，從給出的數(shù)中找出

屬于這個集合的數(shù).此外注意幾個概念：非負數(shù)包括0和正數(shù)；非正數(shù)包括。和負數(shù).

舉一反三：

【變式】（2014秋?惠安縣期末）在有理數(shù)-2、-5、3.14中，屬于分數(shù)的個數(shù)共有個.

3

【答案】2.

類型三、探索規(guī)律

C5.某校生物教師李老師在生物實驗室做實驗時，將水稻種子分組進行發(fā)芽試驗：第1

組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組取9粒，.按此規(guī)律，那么請你推測第

n組應該有種子是粒.

【答案】（2n+l）

【解析】第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組取9粒，，由此我們觀

察到的粒數(shù)與組數(shù)之間有一定關系：3=2xl+l,5=2x2+l,7=2x3+l,

9=2x4+1,,按此規(guī)律，第n組應該有種子數(shù)（2〃+1）粒.

【總結升華】研究一列數(shù)的排列規(guī)律時，其中的數(shù)與符號往往都與序數(shù)有關.

舉一反三：

【變式1】有一組數(shù)列：2,-3,2,-3,2,-3,，根據(jù)這個規(guī)律，那么第2010個數(shù)是:

【答案】-3

【變式2】觀察下列有規(guī)律的數(shù)：曇4￡4,…，根據(jù)其規(guī)律可知第9個數(shù)是:

【答案】上

90

二、數(shù)軸與相反數(shù)要點梳理+基本典型例題解析

【學習目標】

1.理解數(shù)軸的概念及三要素；

2.理解有理數(shù)與數(shù)軸上的點的關系，并會借助數(shù)軸比較兩個數(shù)的大小；

3.會求一個數(shù)的相反數(shù)，并能借助數(shù)軸理解相反數(shù)的概念及幾何意義；

4.掌握多重符號的化簡.

【要點梳理】

要點一、數(shù)軸

1.定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.

要點詮釋：

(1)原點、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可.

(2)長度單位與單位長度是不同的，單位長度是根據(jù)需要選取的代表“1”的線段，而長度

單位是為度量線段的長度而制定的單位.有km、m、dm、cm等.

(3)原點、正方向、單位長度可以根據(jù)實際靈活選定，但一經(jīng)選定就不能改動.

2.數(shù)軸與有理數(shù)的關系：任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，但數(shù)軸上的點不都

表示有理數(shù)，還可以表示其他數(shù)，比如".

要點詮釋：

(1)一般地，數(shù)軸上原點右邊的點表示正數(shù)，左邊的點表示負數(shù)；反過來也對，即正數(shù)用

數(shù)軸上原點右邊的點表示，負數(shù)用原點左邊的點表示，零用原點表示.

(2)在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

要點二、相反數(shù)

1.定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)；。的相反數(shù)是0.

要點詮釋：

(1)“只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同.

(2)“0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分，不能漏掉.

(3)相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能說是相反數(shù).

(4)求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上“-”號即可.

2.性質：

(1)互為相反數(shù)的兩數(shù)的點分別位于原點的兩旁，且與原點的距離相等(這兩個點關于原

點對稱).

(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0.

要點三、多重符號的化簡

多重符號的化簡，由數(shù)字前面“-”號的個數(shù)來確定，若有偶數(shù)個時，化簡結果為正，

如十『(-4)]}=4；若有奇數(shù)個時，化簡結果為負,如-{+『(-4)]}=-4.

要點詮釋：

(1)在一個數(shù)的前面添上一個“+”，仍然與原數(shù)相同，如+5=5,+(-5)=-5.

(2)在一個數(shù)的前面添上一個“一”，就成為原數(shù)的相反數(shù).如一(-3)就是一3的相

反數(shù)，因此，一(-3)=3.

一、【典型基礎例題】（1）

類型一、數(shù)軸的概念

@1.如圖所示是幾位同學所畫的數(shù)軸，其中正確的是（）

-2-161---J---------1---1-0123*

2-3-2-1-1-2012-0

(1)(2)（3）(4)

A.(1)(2)(3)B.⑵⑶⑷C.只有(2)D.⑴⑵⑶⑷

【答案】C

【解析】對數(shù)軸的三要素掌握不清.（1）中忽略了單位長度，相鄰兩整點之間的距離不一致;

（3）中負有理數(shù)的標記有錯誤；（4）圖中漏畫了表示方向的箭頭.

【總結升華】數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位

長度缺一不可.

類型二、相反數(shù)的概念

^^2.（2015?宜賓）-1的相反數(shù)是（）

5

A.5B.AC.-AD.-5

55

【思路點撥】解決這類問題的關鍵是抓住互為相反數(shù)的特征“只有符號不同”，所以只要將

原數(shù)的符號變?yōu)橄喾吹姆?，即可求出其相反?shù).

【答案】B

【總結升華】求一個數(shù)的相反數(shù)，只改變這個數(shù)的符號，其他部分都不變.

舉一反三：

【變式1】填空：

（1）—（—2.5）的相反數(shù)是；（2）—是-100的相反數(shù)；⑶-51是的相反數(shù)；

（4）的相反數(shù)是T.1；（5）8.2和互為相反數(shù).（6）a和互為相反數(shù).

（7）的相反數(shù)比它本身大，的相反數(shù)等于它本身.

【答案】（1）—2.5；（2）100；（3）5：；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）負數(shù)，

0.

【變式2】下列說法中正確的有（）

①一3和+3互為相反數(shù)；②符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)；③互為相反數(shù)的兩個數(shù)必定

一個是正數(shù)，一個是負數(shù)；④萬的相反數(shù)是一3.14；⑤一個數(shù)和它的相反數(shù)不可能相等.

A.0個B.1個C.2個D.3個或更多

【答案】B

▼3.（2016?泰安模擬）如圖，數(shù)軸上有A,B,C,D四個點，其中表示2的相反數(shù)的點

是（）

ABCD

I.I.▲?II>

-4-3-2-10123456

A.點AB.點BC.點CD.點D

【思路點撥】考查相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù).根據(jù)定義，結合數(shù)軸

進行分析.

【答案】A

【解析】解：???表示2的相反數(shù)的點，到原點的距離與2這點到原點的距離相等，并且與2

分別位于原點的左右兩側，

...在A,B,C,D這四個點中滿足以上條件的是A.

故選A.

【總結升華】本題考查了互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上的位置特點：分別位于原點的左右兩

側，并且到原點的距離相等.

類型三、多重符號的化簡

Qd.化簡下列各數(shù)中的符號.

(1)(2)-(+5)(3)-(-0.25)

(5)-[-(+1)](6)-(-a)

【答案】⑴一1一2；]=2；(2)-(+5)=-5

(3)-(-0.25)=0.25

(4)+[-=(5)-[-(+1)]=-(-1)=1(6)-(-a)=a

【解析】

(1)—「一2,]表示—21的相反數(shù)，而—21的相反數(shù)是2!，所以—1—2」]=2,；

L3J333I3j3

(2)-(+5)表示+5的相反數(shù)，即-5,所以-(+5)=-5；

(3)-(-0.25)表示-0.25的相反數(shù),而-0.25的相反數(shù)是0.25,所以-(-0.25)=0.25；

(4)負數(shù)前面的“+”號可以省略，所以+1—g]=—g；

(5)先看中括號內(nèi)-(+1)表示1的相反數(shù)，即T,因此-[-(+1)]=-(-1)而-(-1)表示-1的

相反數(shù)，即1,所以-「(+1)]=-(T)=1;(6)-(-a)表示-a的相反數(shù)，即a.

所以-(-a)=a

【總結升華】運用多重符號化簡的規(guī)律解決這類問題較為簡單.即數(shù)一下數(shù)字前面有多少個

負號.若有偶數(shù)個，則結果為正；若有奇數(shù)個，則結果為負.

類型四、利用數(shù)軸比較大小

Cb.在數(shù)軸上表示2.5,0,-1,-2.5,1-,3有理數(shù)，并用把它連接起

44

來.

3

【答案與解析】如圖所示，點A、B、C、D、E、F、G分別表示有理數(shù)2.5,0,——,-1,

4

—2.5,1—，3.

4

EDCBFAG

-4-3-2-101234

由上圖可得：

31

—2.5<-1<—<0<1-<2.5<3

44

【總結升華】根據(jù)數(shù)軸的三要素先畫好數(shù)軸，表示數(shù)的字母要依次對應有理數(shù)，然后根據(jù)在

數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，比較大小.

舉一反三：

【變式1】有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列各式不成立的是（）

-------------1---------1_I------------->

a0h

A.b-a>0B.-b<0C.-a>-bD.-ab<0

【答案】D

【變式2】填空：

大于-3色且小于7g的整數(shù)有個；比3。小的非負整數(shù)是

7751

【答案】11；0,1,2,3

類型五、數(shù)軸與相反數(shù)的綜合應用（數(shù)形結合的應用）

Ce.已知數(shù)軸上點A和點B分別表示互為相反數(shù)的兩個數(shù)a,b（a<b）并且A、B兩點間

的距離是41，求a、b兩數(shù).

4

【思路點撥】因為a、b兩數(shù)互為相反數(shù)（aVb）,所以表示a,b的兩點A、B離原點的距離

相等，而A、B兩點間的距離是41，所以A、B兩點到原點的距離就是4工+2=2'.

448

【答案與解析】

解：由題意A、B兩點到原點的距離都是：4工+2=21而a<b,所以a=—21，b=2-.

4888

0

【總結升華】（1）理解相反數(shù)的幾何意義.（2）從相反數(shù)的意義入手，明確互為相反數(shù)的兩

數(shù)關于原點對稱.

舉一反三：

【變式】填空：（1）數(shù)軸上離原點5個單位長度的點表示的數(shù)是；（2）從數(shù)軸上

觀察，-3與3之間的整數(shù)有個.

【答案】（1）±5,提示：要注意兩種情況，原點左右各一個點；（2）5,提示：畫出數(shù)

軸，容易看出-3和3之間的整數(shù)是-2,-1,0,1,2共5個.

二、【典型基礎例題】（2）

類型一、數(shù)軸的概念

.1.小明的家與他上學的學校、書店依次坐落在一條東西走向的大街上，小明家位于學

校西邊30米處，書店位于學校東邊100米處，小明從學校沿這條大街向東走了40米，接著

又向西走了100米到達超市，試用數(shù)軸表示出小明的家、學校、書店、超市的位置.

【思路點撥】我們把小明行走的過程想象為點在數(shù)軸上移動的過程，使問題化難為易.用數(shù)

軸表示數(shù)時，要根據(jù)實際需要，每個單位表示的數(shù)可大可小，但整體要保持統(tǒng)一.

【答案與解析】以學校作為數(shù)軸的原點，向東的方向即學校的東邊為正方向，把20米作為

單位長度，所以學校、家、書店和超市的位置如圖所示.

超市小明家學校書店

----i---1J-------1----1--------1------?------1----1_

-60-40-20020406080100

【總結升華】原點，正方向，單位長度三者缺一不可.

舉一反三：

【變式】如圖為北京地鐵的部分線路.假設各站之間的距離相等且都表示為一個單位長.現(xiàn)

以萬壽路站為原點，向右的方向為正，那么木樨地站表示的數(shù)為,古城站表示的數(shù)

為；如果改以古城站為原點，那么木樨地站表示的數(shù)變?yōu)?

—■

XI

軍□?

南

公

古

八

八玉

五

萬

事

禮

主

寶泉

棵

壽

城

角

樨

博

士

墳

山

松

路

路

站

游

地

物

路

站

站

站

站

站

站

樂

館

站

園

站

站

【答案】3,-5,8

類型二、相反數(shù)的概念

V2.（2016?哈爾濱模擬）在數(shù)軸上到表示3的點距離為5個單位長度的正數(shù)是（）

A.-2B.8C.-2或8D.5

【思路點撥】因為在數(shù)軸上與某一點距離相等的點有兩個，分別在該點的兩側，本題正確選

項必須符合兩個條件，所以借助數(shù)軸分析即可求解.

【答案】B

【解析】解：因為在數(shù)軸上到表示3的點距離為5個單位長度的點有兩個:A和B,如下圖所

示：

A八B

而點A表示的數(shù)為-2,點B表示的數(shù)為8,

又因為8為正數(shù)，

故正確答案選:B.

【總結升華】本題考查了正負數(shù)的概念以及數(shù)軸上的點與有理數(shù)的對應關系，借助數(shù)軸分析

求解比較好.

舉一反三：

【變式1】

(1)如果a=-13,那么一a=；(2)如果一a=—5.4,那么a=；

(3)如果一x=-6,那么x=；(4)—x=9,那么x=.

【答案】(1)13；(2)5.4；(3)6；(4)-9

【變式2】一4的倒數(shù)的相反數(shù)是()

A.-4B.4C.--D.-

44

【答案】D

【變式3】填空：

(1)—(—2.5)的相反數(shù)是；(2)―是TOO的相反數(shù)；⑶—53是的相反數(shù)；

(4)的相反數(shù)是T.1；(5)8.2和互為相反數(shù)；(6)a和互為相反數(shù).

(7)的相反數(shù)比它本身大，的相反數(shù)等于它本身.

【答案】(一2.5)；100；5(；1.1；-8.2；-a；負數(shù)；0

?^3.已知辦“互為相反數(shù)，則2m+2〃+2-.

【答案】2

【解析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的性質，可知加+〃=0,代入上式可得：0+2-0=2.

【總結升華】若加，〃互為相反數(shù)，則加+〃=?；蚣?-".

舉一反三：

【變式】已知2加一1與7-工機互為相反數(shù)，求加的值.

2

【答案】因為互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0,所以(2機-1)+(7-g相)=0,解得：m=-4.

類型三、多重符號的化簡

4.化簡:

(1)-{+[-(+3)]}；

(2)-{-[-(-|-3|)}.

【解析】

解：⑴原式=-{+[-3]}=-{-3}=3；

(2)原式=-(-3)])=-{-[+3]}=-{-3}=3.

【總結升華】多重符號化簡的規(guī)律解決這類問題較為簡單.即數(shù)一下數(shù)字前面有多少個負

號.若有偶數(shù)個，則結果為正；若有奇數(shù)個，則結果為負.

舉一反三：

【變式】當+6前面有2011個正號時，化簡結果為：；當+6前面有2011

個負號時，化簡結果為：;當+6前面有2012個負號時，化簡結果

為：.

【答案】6；-6；6

類型四：利用數(shù)軸比較大小

V5.若0,g兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如下圖所示，請用或“＞”填空.

qop

?Pq；?-P0；?-p_g；?—pq；

【答案】＞；＜；＜；＞

【解析】根據(jù)相反數(shù)的幾何意義，將Dq,-P,F均表示在數(shù)軸上，如下圖：

"Q-poP-q-3

然后再根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大，及原點右邊的點表示大于o的正數(shù)，而原點左邊

的點表示小于0的負數(shù)，可得上述答案.

【總結升華】在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.正數(shù)都大于0；負數(shù)都小

于0；正數(shù)大于一切負數(shù).

舉一反三：

【變式】(2015?東城區(qū)二模)如圖，數(shù)軸上有A,B,C,D四個點，其中到原點距離相等的

兩個點是()

AB,C,D

―?------*--------1~41-------f

-7-1017

A.點B與點DB.點A與點CC.點A與點DD.點B與點C

【答案】C.

類型五、數(shù)形結合的應用

V6.點A在數(shù)軸上，若將A向左移動4個單位長度，再向右移動2個單位長度，此時A

點所表示的數(shù)是原來A點所表示的數(shù)的相反數(shù)，原來A點表示的是什么數(shù)?把你的研究過程

在數(shù)軸上表示出來.

【思路點撥】根據(jù)數(shù)軸是以向右為正方向，故數(shù)的大小變化和平移變化之間的規(guī)律：左減右

加.

【答案與解析】

解：如圖所示，B點表示A點移動后的位置.則AB=2.因為A、B表示一對相反數(shù).所以原

點。是AB的中點，AO=OB,所以A點表示1.

_______?BA

—.1]I

-101—一.

【總結升華】先畫出數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸理解題目中的數(shù)量關系，將有利于問題的解決.

三、絕對值要點梳理+基本典型例題解析

【學習目標】

1.掌握一個數(shù)的絕對值的求法和性質；

2.進一步學習使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解絕對值的幾何意義；

3.會求一個數(shù)的絕對值，并會用絕對值比較兩個負有理數(shù)的大??；

4.理解并會熟練運用絕對值的非負性進行解題.

【要點梳理】

要點一、絕對值

1.定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|.

要點詮釋：

(1)絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0

的絕對值是0.即對于任何有理數(shù)a都有：

a(a>0)

|a|=?0(a=0)

—a(a<0)

(2)絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的距離，離原點的距

離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小.

(3)一個有理數(shù)是由符號和絕對值兩個方面來確定的.

2.性質：絕對值具有非負性，即任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0.

要點二、有理數(shù)的大小比較

1.數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出這兩個有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小.如：a與b在數(shù)軸上

的位置如圖所示，則a<b.??

2.法則比較法：01

兩個數(shù)比較大小，按數(shù)的性質符號分類，情況如下:

同為正號：絕對值大的數(shù)大

兩數(shù)同號

同為負號：絕對值大的反而小

兩數(shù)異號正數(shù)大于負數(shù)

正數(shù)與0：正數(shù)大于0

一數(shù)為0

負數(shù)與0：負數(shù)小于0

要點詮釋：

利用絕對值比較兩個負數(shù)的大小的步驟：(1)分別計算兩數(shù)的絕對值；(2)比較絕

對值的大小；(3)判定兩數(shù)的大小.

3.作差法：設a、b為任意數(shù)，若a-b>0,則a>b；若a-b=0,則a=b；若a-bVO,a<

b；反之成立.

4.求商法：設a、b為任意正數(shù)，若旦〉1,則a>b；若3=1,則a=6；若巴<1,則a<6；

bbb

反之也成立.若a、b為任意負數(shù)，則與上述結論相反.

5.倒數(shù)比較法：如果兩個數(shù)都大于0,那么倒數(shù)大的反而小.

一、【典型基礎例題】（1）

類型一、絕對值的概念

1.求下列各數(shù)的絕對值.

【思路點撥】lg，-0.3,0,-[-3；]在數(shù)軸上位置距原點有多少個單位長度，這個數(shù)字

就是各數(shù)的絕對值.還可以用絕對值法則來求解.

【答案與解析】

解法一：因為-1工到原點距離是1工個單位長度，所以

2222

因為-0.3到原點距離是0.3個單位長度，所以|-0.3|=0.3.

因為0到原點距離為0個單位長度，所以|0|=0.

因為—到原點的距離是3^個單位長度，所以—1—3；）=3；.

解法二：因為—1』<0,所以一11

22

因為-0.3<0,所以|-0.3|=-（-0.3）=0.3.

因為0的絕對值是它本身，所以|0|=0.

11

因為所以

22

【總結升華】求一個數(shù)的絕對值有兩種方法：一種是利用絕對值的幾何意義求解（如方法1）,

一種是利用絕對值的代數(shù)意義求解（如方法2）,后種方法的具體做法：首先判斷這個數(shù)是正

數(shù)、負數(shù)還是0.再根據(jù)絕對值的意義，確定去掉絕對值符號的結果是它本身，是它的相反

數(shù)，還是0.從而求出該數(shù)的絕對值.

▼2.（2015?畢節(jié)市）下列說法正確的是（）

A.一個數(shù)的絕對值一定比0大

B.一個數(shù)的相反數(shù)一定比它本身小

C.絕對值等于它本身的數(shù)一定是正數(shù)

D.最小的正整數(shù)是1

【答案】D.

【解析】A、一個數(shù)的絕對值一定比0大，有可能等于0,故此選項錯誤；

B、一個數(shù)的相反數(shù)一定比它本身小，負數(shù)的相反數(shù)，比它本身大，故此選項錯誤；

C、絕對值等于它本身的數(shù)一定是正數(shù)，0的絕對值也等于其本身，故此選項錯誤；

D、最小的正整數(shù)是1,正確.

【總結升華】此題主要考查了絕對值以及有理數(shù)和相反數(shù)的定義，正確掌握它們的區(qū)別是解

題關鍵.

舉一反三：

【變式1］求絕對值不大于3的所有整數(shù).

【答案】絕對值不大于3的所有整數(shù)有-3、-2、-1、0、1、2、3.

【變式2】（2015?鎮(zhèn)江）已知一個數(shù)的絕對值是4,則這個數(shù)是—.

【答案】±4.

【變式3】數(shù)軸上的點A到原點的距離是6,則點A表示的數(shù)為.

【答案】6或-6

類型二、比較大小

C3.（2016春?上海校級月考）比較大?。簗-中-（-1.8）（填“>”、

或.

【思路點撥】先化簡，再比較大小，即可解答.

【答案】<.

【解析】解：|-131=13=1.75,-（-1.8）=1.8,

44

VI.75<1,8,

|-1—|-（-1.8）,

4

故答案為：<.

【總結升華】本題考查了有理數(shù)大小比較，解決本題的關鍵是掌握絕對值的化簡以及多重復

號的化簡方法.

舉一反三：

【變式1】比大?。?/p>

-3-______-3-；-|-3.2|______-（+3.2）；0.0001_______-1000；

67

—1.38-1.384；—?！?.14.

【答案】>;>;>;V

【變式2】下列各數(shù)中，比一1小的數(shù)是（）

A.0B.1C.-2D.2

【答案】C

【變式3】數(shù)a在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則a,-a,-1的大小關系是（）.

1」」A」.

<2-10

A.-aVaVTB.-IV-aVa

C.aV—lV—aD.aV-aVT

【答案】c

類型三、絕對值非負性的應用

6己知I2-m|+|n-31=0,試求m-2n的值.

【思路點撥】由IaI三0即絕對值的非負性可知，I2-m|20,In-3I20,而它們的和

為0.所以I2-m|=0,|n-3|=0.因此，2-m=0,n-3=0,所以m=2,n=3.

【答案與解析】因為|2-m|+|n-3|=0

且|2-m|N0,|n-3|20

所以|2-m|=0,|n-3|=0

即2-m=0,n-3=0

所以m=2,n=3

故m-2n=2-2*3=-4.

【總結升華】若幾個數(shù)的絕對值的和為0,則每個數(shù)都等于0,即|a|+|b|+…+|m|=0時，

則a=b=?,=m=0.

類型四、絕對值的實際應用

V5.正式足球比賽對所用足球的質量有嚴格的規(guī)定，下面是6個足球的質量檢測結果，

用正數(shù)記超過規(guī)定質量的克數(shù)，用負數(shù)記不足規(guī)定質量的克數(shù).檢測結果（單位：克）：-25,

+10,-20,+30,+15,-40.裁判員應該選擇哪個足球用于這場比賽呢?請說明理由.

【答案】因為I+10I<I+15I<I-20I<I-25I<I+30I<I-40I,所以檢測結果

為+10的足球的質量好一些.所以裁判員應該選第二個足球用于這場比賽.

【解析】根據(jù)實際問題可知，哪個足球的質量偏離規(guī)定質量越小，則足球的質量越好.這個

偏差可以用絕對值表示，即絕對值越小偏差也就越小，反之絕對值越大偏差也就越大.

【點評】絕對值越小，越接近標準.

舉一反三：

【變式11某企業(yè)生產(chǎn)瓶裝食用調和油，根據(jù)質量要求，凈含量（不含包裝）可以有0.002L

的誤差.現(xiàn)抽查6瓶食用調和油，超過規(guī)定凈含量的升數(shù)記作正數(shù)，不足規(guī)定凈含量的升數(shù)

記作負數(shù).檢查結果如下表：

+0.0018-0.0023+0.0025

-0.0015+0.0012+0.0010

請用絕對值知識說明：

（1）哪幾瓶是合乎要求的（即在誤差范圍內(nèi)的）?

（2）哪一瓶凈含量最接近規(guī)定的凈含量？

【答案】（1）絕對值不超過0.002的有4瓶,分別是檢查結果為+0.0018,-0.0015,+0.0012,

+0.0010的這四瓶.

（2）第6瓶凈含量與規(guī)定的凈含量相差最少，最接近規(guī)定的凈含量.

【變式2】一只可愛的小蟲從點0出發(fā)在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正

數(shù)，向左爬行的路程記為負數(shù)，小蟲爬行的各段路程（單位：cm）依次記為：+5,-3,+10,

-8,-6,+12,-10,在爬行過程中，如果小蟲每爬行1cm就獎勵2粒芝麻，那么小蟲一共可

以得到多少粒芝麻？

【答案】小蟲爬行的總路程為：

+5+-3++10+-8+-6++12+-101=5+3+10+8+6+12+10=54（cm）.

小蟲得到的芝麻數(shù)為54X2=108（粒）.

二、【典型基礎例題】(2)

類型一、絕對值的概念

.計算：⑴⑵-4|+|3|+|0|(3)-|+(-8)

5

【答案與解析】運用絕對值意義先求出各個絕對值再計算結果.

解：⑴一旱=——(-4-1=-4--

5LI5JJ5

(2)-4|+|3|+|0|=4+3+0=7,

(3)-1+(-8)|=-[-(-8)]=-8.

【總結升華】求一個數(shù)的絕對值有兩種方法：一種是利用絕對值的幾何意義求解，一種是利

用絕對值的代數(shù)意義求解，后種方法的具體做法：首先判斷這個數(shù)是正數(shù)、負數(shù)還是0.再

根據(jù)絕對值的代數(shù)意義，確定去掉絕對值符號的結果是它本身，是它的相反數(shù)，還是0.從

而求出該數(shù)的絕對值.

C^2.(2015?婁底)若1a-l1=a-1,則a的取值范圍是()

A.a》lB.aWlC.a<lD.a>l

【思路點撥】根據(jù)|a|=a時，a20,因此|a-l|=a-l,則a-l20,即可求得a的取值范圍.

【答案】A

【解析】

解：因為貝！|a-l20,

解得：a2l,

【總結升華】此題考查絕對值，只要熟知絕對值的性質即可解答.一個正數(shù)的絕對值是它本

身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0.

舉一反三：

【變式1】(2015?重慶校級模擬)若a>3,則|6-2a|=(用含a的代數(shù)式表示).

【答案】2a-6

【變式2】如果數(shù)軸上的點A到原點的距離是6,則點A表示的數(shù)為.

如果Ix—2I=1,那么x=；

如果I">3,那么x的范圍是.

【答案】6或-6；1或3；x>3或x〈-3

【變式3]已知|a|=3,|b|=4,若a,b同號，則|a+b|=；若a,b異

號，則Ia+b=.據(jù)此討論|a+b]與|a+|b1的大小關系.

【答案】7,1；若a,b同號或至少有一個為零,則|a+b|=|a|+|b|；若a,b異號,則|a+b|

<1a1+1b1,

由此可得：|a+b|<|a|+|b|.

類型二、比大小

比較下列每組數(shù)的大小:

⑴一(-5)與T-5I；(2)-(+3)與0；

【思路點撥】先化簡符號，去掉絕對值號再分清是“正數(shù)與0、負數(shù)與0、正數(shù)與負數(shù)、兩

個正數(shù)還是兩個負數(shù)”，然后比較.

【答案與解析】

解:(1)化簡得:-(-5)=5,-|-5|=-5.

因為正數(shù)大于一切負數(shù)，所以

(2)化簡得：-(+3)=-3.因為負數(shù)小于零，所以-(+3)<0.

⑶化簡得：——士3=一3士.這是兩個負數(shù)比較大小，因為—4伐=二4」1(，

44552(

(4)化簡得：T-3.141=-3.14,這是兩個負數(shù)比較大小，因為|-Jt|=n,|-3.14|=

3.14,而Ji>3.14,所以-n14|.

【總結升華】在比較兩個負數(shù)的大小時，可按下列步驟進行：先求兩個負數(shù)的絕對值，再比

較兩個絕對值的大小，最后根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確的判斷.

舉一反三：

【變式1】比大?。?/p>

(1)-0.3--(2)....-.

—319)10

【答案】>；>

【變式2】比大小：(1)一1.38-1.384；(2)一口―-3.14.

【答案】>；<

【變式3】若m>0,n<0,且用“〉”把m,-m,n,-n連接起來.

【答案】解法一：<m>0,n<0,

???m為正數(shù)，-in為負數(shù)，n為負數(shù)，-n為正數(shù).

又??,正數(shù)大于一切負數(shù)，且|m|>|n|,

解法二：因為ni>0,nVO且|m|>|n|,

把ni,n,-m,-n表示在數(shù)軸上，如圖所示.

-mn0Ttm

??,數(shù)軸上的數(shù)右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大,

m>-n>n>-m.

類型三、含有字母的絕對值的化簡

▼4.(2016春?都勻市校級月考)若貝U1x+l1-x-4|=.

【思路點撥】根據(jù)絕對值的性質：當a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；當a是負有

理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)-a,可得|x+l|=x+l,|x-4|=-x+4,然后再合并同類項

即可.

【答案】2x-3.

【解析】

解:原式=x+l-(-x+4),

=x+l+x-4,

=2x-3.

【總結升華】此題主要考查了絕對值，關鍵是掌握絕對值的性質，正確判斷出x+1,X-4

的正負性.

舉一反三：

【變式