3.7.2 用二次函數(shù)的圖像解一元二次方程 課件

第3章二次函數(shù)3.7二次函數(shù)與一元二次方程第2課時用二次函數(shù)的圖像解一元二次方程用圖象法求一元二次方程的近似解用圖象法求一元二次不等式的解集回顧與思考你能利用二次函數(shù)的圖象估計一元二次方程x2+2x-10=0的根嗎？回顧與思考如圖是函數(shù)y=x2+2x-10的圖象.由圖象可知方程有兩個根，一個在-5和-4之間，另一個在2和3之間.(1)先求-5和-4之間的根.利用計算器進行探索：

x-4.1-4.2-4.3-4.4y-1.39-0.76-0.110.56回顧與思考因此，x=-4.3是方程的一個近似根.另一個根可以類似地求出：

因此，x=2.3是方程的另一個近似根.用一元二次方程的求根公式驗證一下，看是否有相同的結(jié)果.x-4.1-4.2-4.3-4.4y-1.39-0.76-0.110.56利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根的一般步驟：(1)畫出二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象；(2)確定二次函數(shù)的圖象與x軸交點的個數(shù)，看交點的橫坐

標(biāo)在哪兩個整數(shù)之間；知識點用圖象法求一元二次方程的近似解1(3)列表，在兩個整數(shù)之間取值，并用計算器算出對應(yīng)的y值，當(dāng)x由x1變到x2，對應(yīng)的y值出現(xiàn)y1＞0，y2＜0(或y1＜0，y2＞0)且|y1|≠|(zhì)y2|時，x1，x2中必有一個是方程

的近似根，再比較|y1|和|y2|，若|y1|＜|y2|，則x1是方程

的近似根；若|y1|＞|y2|，則x2是方程的近似根．利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似根．例1導(dǎo)引：當(dāng)

y＝－x2＋2x－3的函數(shù)值為－8時，對應(yīng)點的橫坐標(biāo)即為一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的根，如圖所示．解法提醒用圖象法解一元二次方程是數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用.通過畫函數(shù)的圖象解一元二次方程是數(shù)的直觀化的體現(xiàn)，但由于作圖或觀察存在誤差，因此通過這種方法求得的方程的解一般是近似的.解：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)y＝－x2＋2x－3的圖象，如圖，由圖象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是拋物線y＝－x2＋2x－3與直線y＝－8的公共點的橫坐標(biāo)，左邊的公共點橫坐

標(biāo)在－1與－2之間，右邊的公共點橫坐標(biāo)在3和4之間．(1)先求在－1和－2之間的根，利用計算器進行探索：

因此x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一個近似根．

x－1.1－1.2－1.3－1.4－1.5y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25方法點撥用圖象法求一元二次方程的近似解：用圖象法求一元二次方程的近似解時，一般是作出相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象，確定一元二次方程的解的個數(shù)，找出公共點的橫坐標(biāo)的大致范圍，然后利用取平均數(shù)的方法縮小解所在的范圍，通過反復(fù)計算求出滿足精確度要求的近似解.(2)另一根可以類似地求出：

因此x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一個近似根．x3.13.23.33.43.5y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25利用函數(shù)的圖象，求方程x2＋2x－3＝0的根．解：先把方程化成x2＝－2x＋3.

如圖，在同一直角坐標(biāo)系中

分別畫出函數(shù)y＝x2和y＝－2x＋3的圖象，得到它

們的交點為(－3，9)和(1，1)，

則方程x2＋2x－3＝0的解為x＝－3或x＝1.例2歸納利用圖象交點法求一元二次方程的根的步驟：(1)將ax2＋bx＋c＝0化為ax2＝－bx－c的形式；(2)在同一坐標(biāo)系中畫出y＝ax2與y＝－bx－c的圖象；(3)觀察圖象：兩圖象的公共點情況即為方程的根的情況，如有公共點，則公共點的橫坐標(biāo)即為ax2＋

bx＋c＝0的根．已知一次函數(shù)y1＝4x，二次函數(shù)y2＝2x2＋2，在實數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1與y2，則下列關(guān)系正確的是(

)A．y1＞y2

B．y1≥y2

C．y1＜y2

D．y1≤y21.D2.小明在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，針對“求一元二次方程的解”總結(jié)了以下幾種方法，請你將有關(guān)內(nèi)容補充完整．例題：求一元二次方程x2－x－1＝0的兩個解．(1)解法一：選擇一種合適的方法(公式法、配方法、

因式分解法)求解．(1)公式法：∵a＝1，b＝－1，c＝－1，∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0.∴

即x1＝

x2＝.解：(2)解法二：利用二次函數(shù)圖象與x軸的交點求解．如圖①，把方程x2－x－1＝0的解看成是二次函數(shù)y＝________的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)x1，x2，則x1，x2就是方程的解.x2－x－1(3)解法三：利用兩個函數(shù)圖象的交點求解．①把方程x2－x－1＝0的解看成是二次函數(shù)y＝________的圖象與直線y＝_______的交點的橫坐標(biāo)；②在圖②中畫出這兩個函數(shù)的圖象，用x1，x2在x軸上標(biāo)出方程的解．x2－x1②略．解：

根據(jù)圖象可直觀地回答使得y的值大于、等于或小于零時x的取值(范圍)，具體如下表所述：知識點用圖象法求一元二次不等式的解集2圖象函數(shù)值自變量的取值(范圍)y＞0x＜x1或x＞x2y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x1＜x＜x2y＞0x1＜x＜x2y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x＜x1或x＞x2

畫出拋物線y＝－x2＋4x＋5，觀察拋物線，回答下

列問題：(1)x為何值時，函數(shù)值y＞0?(2)x為何值時，函數(shù)值y＝0?(3)x為何值時，函數(shù)值y＜0?例3導(dǎo)引：根據(jù)拋物線的簡易畫法，先確定頂點以及拋物線與x軸和y軸的交點，當(dāng)函數(shù)值y＞0時，對應(yīng)圖象上的點在x軸上方；當(dāng)函數(shù)值y＝0時，對應(yīng)圖象上的點位于x軸上；當(dāng)函數(shù)值y＜0時，對應(yīng)圖象上的點在x軸的下方．解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x)＋5＝－(x2－4x＋4)＋9＝－(x－2)2＋9.∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(2，9)，對稱軸為直

線x＝2.令－x2＋4x＋5＝0，即x2－4x－5＝0，∴x1＝5，x2＝－1.∴拋物線與x軸的兩個交點為(－1，0)，(5，0)．令x＝0，則y＝5，即拋物線與y軸的交點為(0，5)．由拋物線的對稱性知拋物線上的另一點為(4，5)．在坐標(biāo)系中描出各點，并連線得到如圖所示的圖象．觀察圖象會發(fā)現(xiàn)：(1)當(dāng)－1＜x＜5時，函數(shù)值y＞0；(2)當(dāng)x＝－1或x＝5時，函數(shù)值y＝0；(3)當(dāng)x＜－1或x＞5時，函數(shù)值y＜0歸納(1)作拋物線y＝ax2＋bx＋c(b2－4ac＞0)一般采用“五點法”，而這“五點”一般為拋物線頂點，與x軸的兩交點，與y軸的交點及它關(guān)于對稱軸的對稱點．(2)根據(jù)二次函數(shù)值的取值范圍確定自變量的取值范圍，一般要畫出二次函數(shù)的圖象，觀察圖象解答，拋物線在x軸上方的部分，對應(yīng)的函數(shù)值大于0；拋物線在x軸下方的部分，對應(yīng)的函數(shù)值小于0；拋物線與x軸的公共點，對應(yīng)的函數(shù)值等于0.拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，與x軸的一個交點A在(－3，0)和(－2，0)之間，其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④點M(x1，y1)，N(x2，y2)在拋物線上，若x1＜x2，則y1＜y2.正確結(jié)論的個數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4C例4導(dǎo)引：觀察圖象可知二次函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)解，所以Δ＝b2－4ac>0，即4ac－b2<0，故①正確；因為拋物線的對稱軸為直線x＝－1，所以－

＝－1，即b＝2a，2a－b＝0，故②正確；由二次函數(shù)圖象的對稱性可知拋物線與x軸的另一個交點位于(0，0)和(1，0)之間，所以當(dāng)x＝1時，y＜0，即a＋b＋c<0，故③正確；

由于二次函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的增減性不一樣，當(dāng)x1<x2<－1時，y1<y2；當(dāng)－1<x1<x2時，y1>y2；當(dāng)x1＜－1＜x2且－1－x1＝x2－(－1)時，y1＝y(tǒng)2，所以④錯誤．所以此題正

確的結(jié)論有3個．故選C.1.如圖，已知頂點為(－3，－6)的拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(－1，－4)，則下列結(jié)論中錯誤的是(

)A．b2＞4acB．a(chǎn)x2＋bx＋c≥－6C．若點(－2，m)，(－5，n)

在拋物線上，則m＞nD．關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的兩根為

－5和－1Cx1＝0.3，x2＝1.71．拋物線y＝x2－2x＋0.5如圖所示，利用圖象可得方程x2－2x＋0.5＝0的近似解為________________．(精確到0.1)A2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，當(dāng)y＜0時，x的取值范圍是(

)A．－1＜x＜2B．x＞2C．x＜－1D．x＜－1或x＞2【點撥】由圖象可知，當(dāng)y＜0時，x的取值范圍是－1＜x＜2.3．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于點A(－1，0)，B(2，0)．(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解為________________________；(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為____________________；(3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為___