第二章 平面向量小結(jié)與復(fù)習(xí) 導(dǎo)學(xué)案-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版必修4

第二章平面向量小結(jié)與復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)、細(xì)解考綱1..理解向量、零向量、向量的模、單位向量、平行向量、反向量、相等向量、兩向量的夾角等概念.2.了解平面向量基本定理.3.向量加法的平行四邊形法則(共起點(diǎn))和三角形法則(首尾相接).4.了解實(shí)數(shù)與向量的乘法(即數(shù)乘的意義).5.向量的坐標(biāo)概念和坐標(biāo)表示法.6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算(加、減、實(shí)數(shù)和向量的乘法、數(shù)量積).7.數(shù)量積(點(diǎn)乘或內(nèi)積)的概念,注意區(qū)別“實(shí)數(shù)與向量的乘法、向量與向量的乘法”.8．通過(guò)向量學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)；一、自主學(xué)習(xí)—————（素養(yǎng)催化劑）1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二個(gè)要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向線段表示-----(幾何表示法)；②用字母、等表示(字母表示法)；③平面向量的坐標(biāo)表示（坐標(biāo)表示法）：若，，則3.零向量、單位向量：①長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記為；②長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定與任一向量平行.向量、、平行，記作∥∥.共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量.性質(zhì)：是唯一）,5.相等向量和垂直向量：①相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.②垂直向量——兩向量的夾角為性質(zhì)：6.向量的加法、減法：①求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。平行四邊形法則：（起點(diǎn)相同的兩向量相加，常要構(gòu)造平行四邊形）三角形法則——加法法則的推廣：……即個(gè)向量……首尾相連成一個(gè)封閉圖形，則有……②向量的減法向量加上的相反向量，叫做與的差。即：=+()；差向量的意義：=,=,則=③平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，，則，，。④向量加法的交換律：+=+；向量加法的結(jié)合律：(+)+=+(+)⑤常用結(jié)論：（1）若，則D是AB的中點(diǎn)（2）或G是△ABC的重心，則7．向量的模：1、定義：向量的大小，記為||或||2、模的求法：若，則||若，則||3、性質(zhì)：（1）；（實(shí)數(shù)與向量的轉(zhuǎn)化關(guān)系）（2），反之不然（3）三角不等式：（4）（當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取“=”）即當(dāng)同向時(shí)，；即當(dāng)同反向時(shí)，（5）平行四邊形四條邊的平方和等于其對(duì)角線的平方和，即8．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作：λ（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0時(shí)λ與方向相同；λ<0時(shí)λ與方向相反；λ=0時(shí)λ=；（3）運(yùn)算定律λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ交換律：;分配律：()·=(·)=·();——①不滿足結(jié)合律：即②向量沒(méi)有除法運(yùn)算。如：，都是錯(cuò)誤的（4）已知兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則=坐標(biāo)運(yùn)算：，則（5）向量在軸上的投影為：︱︱，（為的夾角，為的方向向量）其投影的長(zhǎng)為（為的單位向量）（6）的夾角和的關(guān)系：（1）當(dāng)時(shí)，同向；當(dāng)時(shí)，反向（2）為銳角時(shí)，則有；為鈍角時(shí)，則有9．向量共線定理：向量與非零向量共線（也是平行）的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使=λ。10．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2。(1)不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量。向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=（x,y）；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)11.向量和的數(shù)量積：①·=||·||cos，其中∈[0，π]為和的夾角。②||cos稱為在的方向上的投影。③·的幾何意義是：的長(zhǎng)度||在的方向上的投影的乘積，是一個(gè)實(shí)數(shù)（可正、可負(fù)、也可是零），而不是向量。④若=（，）,=（x2，）,則⑤運(yùn)算律：a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ（a·b），（a+b）·c=a·c+b·c。⑥和的夾角公式：cos=＝⑦||2=x2+y2，或||=⑧|a·b|≤|a|·|b|。12.兩個(gè)向量平行的充要條件：符號(hào)語(yǔ)言：若∥，≠，則=λ坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè)=（x1,y1），=(x2,y2)，則∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在這里，實(shí)數(shù)λ是唯一存在的，當(dāng)與同向時(shí)，λ>0；當(dāng)與異向時(shí)，λ<0。|λ|=，λ的大小由及的大小確定。因此，當(dāng)，確定時(shí)，λ的符號(hào)與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中λ的幾何意義。13.兩個(gè)向量垂直的充要條件：符號(hào)語(yǔ)言：⊥·=0坐標(biāo)語(yǔ)言：設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2)，則⊥x1x2+y1y2=0二、探究應(yīng)用,“三會(huì)培養(yǎng)”-------(素養(yǎng)生長(zhǎng)劑)例1如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是DA、BC的中點(diǎn)，且eq\f(DC,AB)＝k，設(shè)＝e1，＝e2，以e1、e2為基底表示向量、、.變式1：如圖，在△ABC中，＝，＝eq\f(1,3)，BQ與CR相交于點(diǎn)I，AI的延長(zhǎng)線與邊BC交于點(diǎn)P.(1)用和分別表示和；(2)如果＝＋λ＝＋μ，求實(shí)數(shù)λ和μ的值；(3)確定點(diǎn)P在邊BC上的位置．例2:(1)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為()A.B.C.D.(2)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2),若a∥b,則實(shí)數(shù)m等于()A．－eq\r(2)B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2)D．0(3)已知點(diǎn)A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2)D．－eq\f(3\r(15),2)變式2：已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5)，若(c－b)·a＝eq\f(15,2)，則a與c的夾角為()例3.已知c＝ma＋nb，c＝(－2eq\r(3)，2)，a⊥c，b與c的夾角為eq\f(2π,3)，b·c＝－4，|a|＝2eq\r(2)，求實(shí)數(shù)m，n的值及a與b的夾角θ.變式3：(1)已知單位向量a，b的夾角為eq\f(π,3)，則|a－2b|＝________.(2)已知e為單位向量，|a|＝4，a與e的夾角θ＝eq\f(2π,3)，則a在e方向上的投影為_(kāi)_______．三、拓展延伸、智慧發(fā)展--------（素養(yǎng)強(qiáng)壯劑）例4、設(shè)平面內(nèi)的向量,點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求當(dāng)取最小值時(shí),的坐標(biāo)及∠APB的余弦值.變式4：已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（0,2），B（4,6），Oeq\o(M,