2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題02常用邏輯用語(yǔ)學(xué)生版

專題02常用邏輯用語(yǔ)一、【知識(shí)梳理】【考綱要求】1.理解充分條件、必要條件、充要條件的含義.2.理解判定定理與充分條件的關(guān)系、性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.3.理解全稱量詞命題與存在量詞命題的含義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定.【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“?”表示.(2)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“?”表示.3.全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中的任意一個(gè)x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡(jiǎn)記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，非p(x)?x∈M，非p(x)【常用結(jié)論】1.區(qū)別A是B的充分不必要條件(A?B且B?A)，與A的充分不必要條件是B(B?A且A?B)兩者的不同.2.充要關(guān)系與集合的子集之間的關(guān)系，設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件.(2)若A是B的真子集，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.(3)若A＝B，則p是q的充要條件.3.p是q的充分不必要條件，等價(jià)于非q是非p的充分不必要條件.4.含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.5.對(duì)省略了全稱量詞的命題否定時(shí)，要對(duì)原命題先加上全稱量詞再對(duì)其否定.6.命題p和非p的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，可判斷此命題的否定的真假.【方法技巧】1.充分條件、必要條件的兩種判定方法：(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.(2)集合法：根據(jù)p，q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.2.充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時(shí)需注意(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).3.量詞的否定注意事項(xiàng)(1)含量詞命題的否定，一是要改寫量詞，二是要否定結(jié)論.(2)判定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素x，證明p(x)成立；要判定存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)x，使p(x)成立即可.(3)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的含義，利用函數(shù)的最值求參數(shù)的范圍；二是利用等價(jià)命題，即p與非p的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成非p的真假求參數(shù)的范圍.二、【題型歸類】【題型一】充分、必要條件的判定【典例1】已知p：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<1，q：log2x<0，則p是q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【典例2】等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則()A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【典例3】在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC為直角三角形”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【題型二】由充分條件、必要條件求參數(shù)的范圍【典例1】已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要條件，求m的取值范圍．【典例2】已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)【典例3】若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要條件是1<x<2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【題型三】充要條件的探求與證明【典例1】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))是數(shù)列{an}是等差數(shù)列的什么條件？【典例2】已知m∈Z，關(guān)于x的一元二次方程x2－4x＋4m＝0，①x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②求方程①②的根都是整數(shù)的充要條件．【典例3】求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件．【題型四】全稱量詞與存在量詞【典例1】下列四個(gè)命題中真命題是()A．?n∈R，n2≥nB．?n∈R，?m∈R，m·n＝mC．?n∈R，?m∈R，m2<nD．?n∈R，n2<n【典例2】下列命題中的假命題是()A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N＋，(x－1)2>0C．?x∈R，lgx<1 D．?x∈R，tanx＝2【典例3】已知命題p：?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，則?p是()A．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0D．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0【題型五】命題中參數(shù)的取值范圍【典例1】已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－m，若對(duì)?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________．【典例2】已知命題“?x∈R，x2－5x＋eq\f(15,2)a>0”的否定為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________．【典例3】若命題“?x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命題，則m的取值范圍是()A．－4≤m≤－3 B．m<－4C．m≥－4 D．－4≤m≤0三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2－x＋1,x－1)(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1).(1)若?x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________；(2)若?x1∈[2，＋∞)，?x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.【訓(xùn)練二】(多選)下列說法正確的是()A.“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要條件B.“eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)”是“a＜b”的既不充分也不必要條件C.若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則A?BD.“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要條件【訓(xùn)練三】f(x)＝－x2－6x－3，記max{p，q}表示p，q二者中較大的一個(gè)，函數(shù)g(x)＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2，log2x＋3))，若m<－2，且?x1∈[m，－2]，?x2∈[0，＋∞)，使f(x1)＝g(x2)成立，則m的最小值為________．【訓(xùn)練四】已知p：實(shí)數(shù)m滿足3a<m<4a(a>0)，q：方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，若p是q的充分條件，則a的取值范圍是________________．【訓(xùn)練五】設(shè)函數(shù)f(x)＝lg(x2－x－2)的定義域?yàn)榧螦，函數(shù)g(x)＝eq\r(\f(3,x)－1)的定義域?yàn)榧螧.已知α：x∈A∩B，β：x滿足2x＋p≤0.且α是β的充分條件，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．【訓(xùn)練六】(多選)已知a∈R，則使命題“?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，x2－sinx－a≥0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()A．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)≤2C．a(chǎn)<eq\f(π2－4,4) D．a(chǎn)≤eq\f(π2－4,4)四、【強(qiáng)化測(cè)試】【單選題】1.設(shè)U為全集，A，B是集合，則“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.命題p：存在常數(shù)列不是等比數(shù)列，則命題﹁p為()A．任意常數(shù)列不是等比數(shù)列B．存在常數(shù)列是等比數(shù)列C．任意常數(shù)列都是等比數(shù)列D．不存在常數(shù)列是等比數(shù)列3.設(shè)平面向量a，b，c均為非零向量，則“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4.已知f(x)＝sinx－x，命題p：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)<0，則()A．p是假命題，﹁p：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0B．p是假命題，﹁p：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0C．p是真命題，﹁p：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0D．p是真命題，﹁p：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥05.已知命題“?x0∈R，使2xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋eq\f(1,2)≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－1，3)C．(－3，＋∞) D．(－3，1)6.王昌齡的《從軍行》中兩句詩(shī)為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的()A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7.“l(fā)n(x＋1)<0”是“x2＋2x<0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8.“a<1”是“?x>0，eq\f(x2＋1,x)≥a”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【多選題】9.已知a，b，c是實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．“a2>b2”是“a>b”的充分條件B．“a2>b2”是“a>b”的必要條件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分條件D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要條件10.下列說法正確的是()A．“x＝eq\f(π,4)”是“tanx＝1”的充分不必要條件B．定義在[a，b]上的偶函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值為30C．命題“?x0∈R，x0＋eq\f(1,x0)≥2”的否定是“?x∈R，x＋eq\f(1,x)>2”D．函數(shù)y＝sinx＋cosx－eq\r(2)無(wú)零點(diǎn)11.下列命題的否定是全稱命題且為真命題的有()A．?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)<0B．所有的正方形都是矩形C．?x∈R，x2＋2x＋2＝0D．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x3＋1＝012.已知兩條直線l，m及三個(gè)平面α，β，γ，則α⊥β的充分條件是()A．l?α，l⊥β B．l⊥α，m⊥β，l⊥mC．α⊥γ，β∥γ D．l?α，m?β，l⊥m【填空題】13.若命題p的否定是“?x∈(0，＋∞)，eq\r(x)>x＋1”，則命題p可寫為_______________．14.在△ABC中，“A＝B”是“tanA＝tanB”的________條件．15.條件p：x>a，條件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是___________________________；(2)若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍是____________________________．16.若?x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得2xeq\o\al(2,0)－λx0＋1＜0成立是假命題，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．【解答題】17.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件，若存在，求出m的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的必要條件，若存在，求出m的取值范圍．18.已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若非p是非q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．19.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍．20.已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝x2－\f(3,