湖北省荊門市胡集高中2023-2024學(xué)年高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

湖北省荊門市胡集高中2023-2024學(xué)年高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,設(shè),則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為()A.2020 B.20l9 C.2018 D.20172.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.3.集合,,則()A. B. C. D.4.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},則=()A.{3,5,6} B.{1,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,5,6}5.對于函數(shù),若滿足,則稱為函數(shù)的一對“線性對稱點(diǎn)”.若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對“線性對稱點(diǎn)”,則的最大值為()A. B. C. D.6.已知拋物線和點(diǎn),直線與拋物線交于不同兩點(diǎn),,直線與拋物線交于另一點(diǎn).給出以下判斷:①直線與直線的斜率乘積為;②軸;③以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切.其中,所有正確判斷的序號是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③7.若集合,,則()A. B. C. D.8.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是A. B.C. D.9.已知函數(shù),則()A. B. C. D.10.一個(gè)組合體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1),則該幾何體的體積是()A. B. C. D.11.若不等式對恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知向量,且,則m=()A.?8 B.?6C.6 D.8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù),若在上的最大值為,則________.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A,B為x軸正半軸上的兩個(gè)動點(diǎn),P(異于原點(diǎn)O)為y軸上的一個(gè)定點(diǎn).若以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒為定值,則線段OP的長為_____.15.定義在上的偶函數(shù)滿足,且,當(dāng)時(shí),.已知方程在區(qū)間上所有的實(shí)數(shù)根之和為.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,則__________,__________.16.在中,為定長,,若的面積的最大值為,則邊的長為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式,為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析,從而得到表(單位:人)經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計(jì)男性50100女性70100合計(jì)(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)?(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨機(jī)選取3人贈送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率;②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818.(12分)在中,內(nèi)角的對邊分別為,且(1)求;(2)若,且面積的最大值為,求周長的取值范圍.19.(12分)在中,內(nèi)角的對邊分別是,已知.(1)求角的值;(2)若,,求的面積.20.(12分)已知函數(shù)的定義域?yàn)?(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)設(shè)實(shí)數(shù)為的最小值,若實(shí)數(shù),,滿足,求的最小值.21.(12分)在如圖所示的四棱錐中,四邊形是等腰梯形,,,平面,,.(1)求證:平面;(2)已知二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)為了實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興之夢,把我國建設(shè)成為富強(qiáng)民主文明和諧美麗的社會主義現(xiàn)代化強(qiáng)國,黨和國家為勞動者開拓了寬廣的創(chuàng)造性勞動的舞臺.借此“東風(fēng)”,某大型現(xiàn)代化農(nóng)場在種植某種大棚有機(jī)無公害的蔬菜時(shí),為創(chuàng)造更大價(jià)值,提高畝產(chǎn)量,積極開展技術(shù)創(chuàng)新活動.該農(nóng)場采用了延長光照時(shí)間和降低夜間溫度兩種不同方案.為比較兩種方案下產(chǎn)量的區(qū)別,該農(nóng)場選取了40間大棚(每間一畝),分成兩組,每組20間進(jìn)行試點(diǎn).第一組采用延長光照時(shí)間的方案,第二組采用降低夜間溫度的方案.同時(shí)種植該蔬菜一季,得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)信息如下圖:(1)如果你是該農(nóng)場的負(fù)責(zé)人,在只考慮畝產(chǎn)量的情況下,請根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息,對于下一季大棚蔬菜的種植,說出你的決策方案并說明理由;(2)已知種植該蔬菜每年固定的成本為6千元/畝.若采用延長光照時(shí)間的方案,光照設(shè)備每年的成本為0.22千元/畝;若采用夜間降溫的方案,降溫設(shè)備的每年成本為0.2千元/畝.已知該農(nóng)場共有大棚100間(每間1畝),農(nóng)場種植的該蔬菜每年產(chǎn)出兩次,且該蔬菜市場的收購均價(jià)為1千元/千斤.根據(jù)題中所給數(shù)據(jù),用樣本估計(jì)總體,請計(jì)算在兩種不同的方案下,種植該蔬菜一年的平均利潤;(3)農(nóng)場根據(jù)以往該蔬菜的種植經(jīng)驗(yàn),認(rèn)為一間大棚畝產(chǎn)量超過5.25千斤為增產(chǎn)明顯.在進(jìn)行夜間降溫試點(diǎn)的20間大棚中隨機(jī)抽取3間,記增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為,求的分布列及期望.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)題意計(jì)算,,,計(jì)算,,,得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,故,,,,故,當(dāng)時(shí),,,,,當(dāng)時(shí),,故前項(xiàng)和最大.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題,意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.2、D【解析】

設(shè)非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算,同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

計(jì)算,再計(jì)算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡單題.4、B【解析】

按補(bǔ)集、交集定義,即可求解.【詳解】={1,3,5,6},={1,2,5,6},所以={1,5,6}.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線性對稱點(diǎn)”,所以,故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號).又與為函數(shù)的“線性對稱點(diǎn),所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.6、B【解析】

由題意,可設(shè)直線的方程為,利用韋達(dá)定理判斷第一個(gè)結(jié)論;將代入拋物線的方程可得,,從而,,進(jìn)而判斷第二個(gè)結(jié)論;設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點(diǎn).設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點(diǎn)不共線,進(jìn)而判斷第三個(gè)結(jié)論.【詳解】解:由題意,可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,則,.所.則直線與直線的斜率乘積為.所以①正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,,根據(jù)拋物線的對稱性可知,,兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱,所以直線軸.所以②正確.如圖,設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點(diǎn).設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點(diǎn)不共線,則.所以③不正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.7、B【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A,由集合性質(zhì)表示形式即可求得,進(jìn)而可知滿足.【詳解】依題意,;而,故,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用,集合的包含關(guān)系與補(bǔ)集關(guān)系的應(yīng)用,屬于中檔題.8、B【解析】

方法一:令,則,,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,∴時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞增,時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時(shí),存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時(shí),,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.故選B.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時(shí),與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得,故選B.9、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式,先求得的值,再求得的值.【詳解】依題意,.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體,幾何體是圓柱中挖去一個(gè)三棱柱,從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得,幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個(gè)底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個(gè)底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱,故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積,即,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體,然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.11、B【解析】

轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,求函數(shù)最值,即得解.【詳解】由,可知.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以.所以.故的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.12、D【解析】

由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo),再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案.【詳解】∵,又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=1.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由在上,可得在上單調(diào)遞增,則函數(shù)最大值為,即可求出參數(shù)的值.【詳解】解:定義域?yàn)?,在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】分析:設(shè)O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數(shù)),利用差角的正切公式,結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切.且∠APB的大小恒為定值,即可求出線段OP的長.詳解:設(shè)O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數(shù)),則∵∠APB的大小恒為定值,

∴t=,∴|OP|=.故答案為點(diǎn)睛:本題考查圓與圓的位置關(guān)系,考查差角的正切公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.15、24【解析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)且,所以的周期為,的實(shí)數(shù)根是函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象,根據(jù)函數(shù)的對稱性可得所有實(shí)數(shù)根的和為,從而可得參數(shù)的值,最后求出函數(shù)的解析式,代入求值即可.【詳解】解:因?yàn)闉榕己瘮?shù)且,所以的周期為.因?yàn)闀r(shí),,所以可作出在區(qū)間上的圖象,而方程的實(shí)數(shù)根是函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),結(jié)合函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的簡圖,可知兩個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間上有六個(gè)交點(diǎn).由圖象的對稱性可知,此六個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為,所以,故.因?yàn)?,所?故.故答案為:;【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的應(yīng)用,函數(shù)方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.16、【解析】

設(shè),以為原點(diǎn),為軸建系,則,,設(shè),,,利用求向量模的公式,可得,根據(jù)三角形面積公式進(jìn)一步求出的值即為所求.【詳解】解:設(shè),以為原點(diǎn),為軸建系,則,,設(shè),,則,即,由,可得.則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的計(jì)算,建系是關(guān)鍵,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)①;②數(shù)學(xué)期望為6,方差為2.4.【解析】

(1)完成列聯(lián)表,由列聯(lián)表,得,由此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān).(2)①由題意所抽取的10名女市民中,經(jīng)常網(wǎng)購的有人,偶爾或不用網(wǎng)購的有人,由此能選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率.②由列聯(lián)表可知,抽到經(jīng)常網(wǎng)購的市民的頻率為:,由題意,由此能求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.【詳解】解:(1)完成列聯(lián)表(單位:人):經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計(jì)男性5050100女性7030100合計(jì)12080200由列聯(lián)表,得:,∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān).(2)①由題意所抽取的10名女市民中,經(jīng)常網(wǎng)購的有人,偶爾或不用網(wǎng)購的有人,∴選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率為:.②由列聯(lián)表可知,抽到經(jīng)常網(wǎng)購的市民的頻率為:,將頻率視為概率,∴從我市市民中任意抽取一人,恰好抽到經(jīng)常網(wǎng)購市民的概率為0.6,由題意,∴隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,方差D(X)=.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用,考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法,考查古典概型、二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.18、(1)(2)【解析】

(1)利用二倍角公式及三角形內(nèi)角和定理,將化簡為,求出的值,結(jié)合,求出A的值;(2)寫出三角形的面積公式,由其最大值為求出.由余弦定理,結(jié)合,,求出的范圍,注意.進(jìn)而求出周長的范圍.【詳解】解:(1)整理得解得或(舍去)又;(2)由題意知,又,,又周長的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角余弦公式,三角形面積公式,余弦定理的應(yīng)用,求三角形的周長的范圍問題.屬于中檔題.19、(1);(2)【解析】

(1)由已知條件和正弦定理進(jìn)行邊角互化得,再根據(jù)余弦定理可求得值.(2)由正弦定理得,,代入得,運(yùn)用三角形的面積公式可求得其值.【詳解】(1)由及正弦定理得,即由余弦定理得,,.(2)設(shè)外接圓的半徑為,則由正弦定理得,,,.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,關(guān)鍵在于熟練地運(yùn)用其公式,合理地選擇進(jìn)行邊角互化,屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2)【解析】

(1)首先通過對絕對值內(nèi)式子符號的討論,將不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組,再分別解各不等式組,最后求各不等式組解集的并集,得到所求不等式的解集;(2)首先確定m的值,然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋春愠闪?,所以恒成立由單調(diào)性可知當(dāng)時(shí),有最大值為4,即;(2)由(1)知,,由柯西不等式知所以,即的最小值為.當(dāng)且僅當(dāng),,時(shí),等號成立【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值不等式的解法,柯西不等式及其應(yīng)用,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.21、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)由已知可得,結(jié)合,由直線與平面垂直的判定可得平面;(2)由(1)知,,則,,兩兩互相垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),0,,由二面角的余弦值為求解,再由空間向量求解直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?,,,所?又,所以,因此,,又,且,,平面,所以平面.(2)取的中點(diǎn),連接,,由于,因此,

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