高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課余自主加餐訓(xùn)練（四）概率、統(tǒng)計(jì)專(zhuān)練 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

(四)概率、統(tǒng)計(jì)專(zhuān)練1．已知從A地到B地共有兩條路徑L1和L2，據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過(guò)兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，且經(jīng)過(guò)L1與L2所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率分布直方圖分別如圖1和圖2.現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于從A地到B地．(1)為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到B地的人數(shù)，針對(duì)(1)的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．2．調(diào)查表明，市民對(duì)城市的居住滿(mǎn)意度與該城市環(huán)境質(zhì)量、城市建設(shè)、物價(jià)與收入的滿(mǎn)意度有極強(qiáng)的相關(guān)性．現(xiàn)將這三項(xiàng)的滿(mǎn)意度指標(biāo)分別記為x，y，z，并對(duì)它們進(jìn)行量化：0表示不滿(mǎn)意，1表示基本滿(mǎn)意，2表示滿(mǎn)意．再用綜合指標(biāo)ω＝x＋y＋z的值評(píng)定居民對(duì)城市的居住滿(mǎn)意度等級(jí)：若ω≥4，則居住滿(mǎn)意度為一級(jí)；若2≤ω≤3，則居住滿(mǎn)意度為二級(jí)；若0≤ω≤1，則居住滿(mǎn)意度為三級(jí)．為了解某城市居民對(duì)該城市的居住滿(mǎn)意度，研究人員從此城市居民中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行調(diào)查，得到如下結(jié)果：人員編號(hào)12345(x，y，z)(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(0，1，1)(1，2，1)人員編號(hào)678910(x，y，z)(1，2，2)(1，1，1)(1，2，2)(1，0，0)(1，1，1)(1)在這10名被調(diào)查者中任取2人，求這2人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同的概率；(2)從居住滿(mǎn)意度為一級(jí)的被調(diào)查者中任取一人，其綜合指標(biāo)為m，從居住滿(mǎn)意度不是一級(jí)的被調(diào)查者中任取一人，其綜合指標(biāo)為n，記隨機(jī)變量ξ＝m－n，求隨機(jī)變量ξ的分布列及其均值．3．某高三畢業(yè)班甲、乙兩名同學(xué)在連續(xù)的8次數(shù)學(xué)周練中，統(tǒng)計(jì)解答題失分的莖葉圖如下：(1)比較這兩名同學(xué)8次周練解答題失分的平均數(shù)和方差的大小，并判斷哪名同學(xué)做解答題相對(duì)穩(wěn)定些；(2)以上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)甲、乙兩名同學(xué)失分超過(guò)15分的頻率作為概率，假設(shè)甲、乙兩名同學(xué)在同一次周練中失分多少互不影響，預(yù)測(cè)在接下來(lái)的2次周練中，甲、乙兩名同學(xué)失分均超過(guò)15分的次數(shù)X的分布列和均值．4．某中學(xué)根據(jù)2004～2016年期間學(xué)生的興趣愛(ài)好，分別創(chuàng)建了“攝影”、“棋類(lèi)”、“國(guó)學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)新生通過(guò)考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立.2017年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過(guò)考核選拔進(jìn)入該校的“攝影”、“棋類(lèi)”、“國(guó)學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為m、eq\f(1,3)、n，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為eq\f(1,24)，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為eq\f(3,4)，且m>n.(1)求m與n的值；(2)該校根據(jù)三個(gè)社團(tuán)活動(dòng)安排情況，對(duì)進(jìn)入“攝影”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分，對(duì)進(jìn)入“棋類(lèi)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對(duì)進(jìn)入“國(guó)學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分．求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修學(xué)分分?jǐn)?shù)的分布列及均值．答案1．解：(1)用Ai表示事件“甲選擇路徑Li時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到B地”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到B地”，i＝1，2.由頻率分布直方圖及頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得P(A1)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(A2)＝(0.01＋0.04)×10＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，故甲應(yīng)選擇路徑L1.P(B1)＝(0.01＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8，P(B2)＝(0.01＋0.04＋0.04)×10＝0.9，∵P(B2)>P(B1)，故乙應(yīng)選擇路徑L2.(2)用M，N分別表示針對(duì)(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，由(1)知P(M)＝0.6，P(N)＝0.9，又由題意知，M，N相互獨(dú)立，X的可能取值為0，1，2，∴P(X＝0)＝P(M·N)＝P(M)P(N)＝0.4×0.1＝0.04；P(X＝1)＝P(MN＋MN)＝P(M)P(N)＋P(M)P(N)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42；P(X＝2)＝P(MN)＝P(M)P(N)＝0.6×0.9＝0.54.∴X的分布列為X012P0.040.420.54∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.2．解：(1)記事件A為“從10名被調(diào)查者中任取2人，這2人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同”，則居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z為0的只有編號(hào)為9的1名；居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z為1的編號(hào)有2、4、5、7、10共5名；居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z為2的編號(hào)有1、3、6、8共4名．從10名被調(diào)查者中任取2人，所有可能的結(jié)果為Ceq\o\al(2,10)＝45(種)，這2人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同的結(jié)果為Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,4)＝10＋6＝16(種)，所以在這10名被調(diào)查者中任取2人，這2人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同的概率為P(A)＝eq\f(16,45).(2)計(jì)算10名被調(diào)查者的綜合指標(biāo)，可列下表：人員編號(hào)12345678910綜合指標(biāo)4462453513其中居住滿(mǎn)意度為一級(jí)的編號(hào)有1、2、3、5、6、8共6名，則m的值可能為4、5、6；居住滿(mǎn)意度不是一級(jí)的編號(hào)有4、7、9、10共4名，則n的值可能為1、2、3，所以隨機(jī)變量ξ所有可能的取值為1、2、3、4、5.P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,4))＝eq\f(1,4)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,4))＝eq\f(7,24)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,4))＝eq\f(7,24)，P(ξ＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,4))＝eq\f(1,8)，P(ξ＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,4))＝eq\f(1,24)，所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ12345Peq\f(1,4)eq\f(7,24)eq\f(7,24)eq\f(1,8)eq\f(1,24)E(ξ)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(7,24)＋3×eq\f(7,24)＋4×eq\f(1,8)＋5×eq\f(1,24)＝eq\f(29,12).3．解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙兩名同學(xué)解答題失分的平均數(shù)相等；甲同學(xué)解答題失分的方差比乙同學(xué)解答題失分的方差大．所以乙同學(xué)做解答題相對(duì)穩(wěn)定些．(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，在一次周練中，甲和乙失分超過(guò)15分的概率分別為P1＝eq\f(3,8)，P2＝eq\f(1,2)，兩人失分均超過(guò)15分的概率為P1P2＝eq\f(3,16)，X的所有可能取值為0，1，2.依題意，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,16)))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,16)))eq\s\up12(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,16)))eq\s\up12(2－k)，k＝0，1，2，則X的分布列為X012Peq\f(169,256)eq\f(39,128)eq\f(9,256)X的均值E(X)＝2×eq\f(3,16)＝eq\f(3,8).4．解：(1)依題意可知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)mn＝\f(1,24)，,1－（1－m）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))（1－n）＝\f(3,4)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,n＝\f(1,4).))(2)令該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修學(xué)分的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，則X的值可以為0，1，2，3，4，5，6.而P(X＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)；P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)；P(X＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,8)；P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,24)；P(X＝4)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12)；P(X＝5)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,24)；P(X＝6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝