第18講 數(shù)學(xué)思想選講（二）（含解析）-【提高班精講課】2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)重點專題18講（滬教版2020必修第一冊上海專用）

第18講數(shù)學(xué)思想選講（二）第18講數(shù)學(xué)思想選講（二）數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想三：類比思想【例1】（2020秋?天心區(qū)校級期中）★★★☆☆我們知道，函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求函數(shù)圖像的對稱中心；（2）請利用函數(shù)的對稱性求（1）（2）的值；（3）類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)的圖像關(guān)于軸成軸對稱的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)的對稱中心為點設(shè)，則為奇函數(shù)，依題可知，且，故，即，即，，，解得，函數(shù)的圖像的對稱中心為，（2）由（1）知函數(shù)的圖像的對稱中心為，，（2），且（1），（1）（2）；（3）推論：函數(shù)的圖像關(guān)于成軸對稱的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)，或者函數(shù)的圖像關(guān)于成軸對稱的充要條件是函數(shù)．【例2】（2020秋?楊浦區(qū)校級期末）★★★★☆若函數(shù)的定義域為，集合，若存在非零實數(shù)使得任意都有，且，則稱為上的增長函數(shù)．（1）已知函數(shù)，函數(shù)，判斷和是否為區(qū)間，上的增長函數(shù)，并說明理由；（2）已知函數(shù)，且是區(qū)間，上的增長函數(shù)，求正整數(shù)的最小值；（3）請在以下兩個問題中任選一個作答：（如果兩問都做，按①得分計入總分）①如果對任意正有理數(shù)，都是上的增長函數(shù)，判斷是否一定為上的單調(diào)遞增函數(shù)，并說明理由；②如果是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且為上的增長函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）是：因為，，；不是，反例：當(dāng)時，．（2）由題意得，對于，恒成立，等價于，即對，恒成立，因為，所以是關(guān)于的一次函數(shù)且單調(diào)遞增，于是只需，解得，所以滿足題意的最小正整數(shù)為9．（3）①不是構(gòu)造，則對任意的正有理數(shù)，若，則，因此；若，則，因此．因此是上的增函數(shù)，但不是增函數(shù)．②根據(jù)題意，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，由奇函數(shù)的對稱性可知：當(dāng)時，，當(dāng)時，，則可得函數(shù)圖像如圖：易知圖像與軸交點為，，，，因此函數(shù)在，上是減函數(shù)，其余區(qū)間上是增函數(shù)，是上的增長函數(shù)，則對任意的，都有，易知當(dāng)時，，為保證，必有，即，故且，所以，解得，故答案為．

【練習(xí)】（2019秋?浦東新區(qū)校級期末）★★★★☆設(shè)是定義在，上的函數(shù)，若存在使得在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，則稱為，上的單峰函數(shù)，為峰點，包含峰點的區(qū)間為的含峰區(qū)間．（1）判斷下列函數(shù)是否為，上的單峰函數(shù)：①，，；②，，；③，，；④，，；對任意的，上的單峰函數(shù)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差）；（2）證明：對任意的，，，若，則為含峰區(qū)間，若，則，為含峰區(qū)間；（3）對給定的，證明：存在，，滿足，使得由（2）所確定的含峰區(qū)間的長度不大于．【解答】解：（1）根據(jù)單峰函數(shù)的定義可以判斷，①在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；④在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；故①③是單峰函數(shù)；（2）證明：設(shè)為的峰點，則由單峰函數(shù)定義可知，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．當(dāng)時，假設(shè)，，則，從而，這與矛盾，所以，即是含峰區(qū)間．當(dāng)時，假設(shè)，，則，從而，這與矛盾，所以，，即，是含峰區(qū)間．（3）證明：由（2）的結(jié)論可知：當(dāng)時，含峰區(qū)間的長度為；當(dāng)時，含峰區(qū)間的長度為；對于上述兩種情況，由題意得①由①得，即又因為，所以，②將②代入①得，，③由①和③解得，．所以這時含峰區(qū)間的長度，即存在，使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于．?dāng)?shù)學(xué)思想四：轉(zhuǎn)化思想【例3】（2018?青島二模）★★★★☆若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點、滿足條件：①、都在函數(shù)的圖像上；②、關(guān)于原點對稱，則對稱點是函數(shù)的一個“友好點對”（點對與看作同一個“友好點對”．已知函數(shù)則的“友好點對”有個．【答案】2【解答】解：根據(jù)題意：“友好點對”，可知，只須作出函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱的圖像，看它與函數(shù)交點個數(shù)即可．如圖，觀察圖像可得：它們的交點個數(shù)是：2．即的“友好點對”有：2個．故答案為：2．【例4】（2020秋?嘉定區(qū)期末）★★★★☆二次函數(shù)恒有兩個零點、，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為．【答案】【解答】解：二次函數(shù)恒有兩個零點、，△，設(shè)，，，①，令，當(dāng)給定時，時可使①取得最小值，當(dāng)時，則①可變?yōu)椋?dāng)時，取，則①變成，①最小值為，故的最大值為．【練習(xí)】（2020秋?虹口區(qū)期末）★★★★☆已知函數(shù)，，的零點依次為、、，則、、的大小關(guān)系為.A． B． C． D．【答案】【解答】解：已知函數(shù)，，的零點依次為、、，時，，即，時，，即，時，，即，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，，和的圖像，由圖像可知，這三個函數(shù)的零點依次增大，故、、的大小關(guān)系為．故選：．

【練習(xí)】（2020秋?青浦區(qū)期末）★★★★☆定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間，上存在實數(shù)，滿足，那么稱函數(shù)是區(qū)間，上的“平均值函數(shù)”，是它的一個均值點．（1）判斷函數(shù)是否是區(qū)間，上的“平均值函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)是區(qū)間，上的“平均值函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)是區(qū)間，上的“平均值函數(shù)”，1是函數(shù)的一個均值點，求所有滿足條件的數(shù)對．【解答】解：（1）是；理由：根據(jù)新定義，可得在區(qū)間，上有解，可得，所以（1）是“平均值函數(shù)”；（2）函數(shù)是區(qū)間，上的“平均值函數(shù)”，可得在區(qū)間，上有解，可得在區(qū)間，上有解，令，，，則在區(qū)間，上有解，令或（1）（2），即此時不等式組無解；或；解得．故實數(shù)的取值范圍，；（3）函數(shù)是區(qū)間，上的“平均值函數(shù)”，1是函數(shù)的一個均值點，即，可得，，，，，則解得，當(dāng)，不是整數(shù)，當(dāng)時，可得，故所有滿足條件的數(shù)對．

1、（2021春?舒城縣校級月考）★★★★☆有一習(xí)題：“求證方程只有一個解”．