專題訓(xùn)練9 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題 - 2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) (新高考)

專題訓(xùn)練9利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題一、單選題1．已知函數(shù)在R上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足，，若函數(shù)滿足，下列結(jié)論錯誤的是（）A．函數(shù)在上為增函數(shù) B．是函數(shù)的極小值點C．時，不等式恒成立 D．函數(shù)至多有兩個零點2．函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋5在區(qū)間[－4，4]上的最大值是（）A．10 B．－71C．－15 D．－223．函數(shù)在上的最小值為（）A． B．-1 C．0 D．4．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）①；②的最大值為；③在，單調(diào)遞增；④在單調(diào)遞減．A．1 B．2 C．3 D．45．已知函數(shù)，則的最小值是（）A． B． C． D．6．若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若，，，其中，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，在上的最大值為，當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個零點為1，2，則下列結(jié)論正確的有（）A．a(chǎn)bc＜0 B．在區(qū)間[0，3]的最大值為0C．只有一個零點 D．的極大值是正數(shù)10．（多選題）設(shè)的最大值為，則（）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，11．若點是函數(shù)f（x）的圖象上任意兩點，且函數(shù)f（x）在點A和點B處的切線互相垂直，則下列結(jié)論正確的是（）A．x1＜0 B．0＜x1＜1C．最小值為e D．x1x2最大值為e12．（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．若，則函數(shù)沒有極值B．若，則函數(shù)有極值C．若函數(shù)有且只有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是D．若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是三、填空題13．已知函數(shù)，則在上的最大值是__________．14．對于一個函數(shù)，若存在兩條距離為的直線和，使得在時恒成立，稱函數(shù)在內(nèi)有一個寬度為的通道．則下列函數(shù)在內(nèi)有一個寬度為1的通道的有______．（填序號即可）①；②；③；④．15．函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在最小值，則實數(shù)的取值范圍為______16．已知函數(shù)，若且，則的最小值是________．四、解答題17．已知函數(shù)f(x)=2x3-6x2+m(m∈R)在區(qū)間[-2，2]上有最大值3，求它在[-2，2]上的最小值.18．（1）若函數(shù)f(x)=ax3+bx-4在x=1處取得極值，且極值為0，求實數(shù)a，b的值；（2）已知函數(shù)f(x)=ax3-6ax2+b(a≠0)，是否存在實數(shù)a，b使f(x)在區(qū)間[-1，2]上取得最大值3，最小值-29?若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.19．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在上的最值；（2）若對，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.20．已知是函數(shù)的極值點.（1）求的值，并證明恒成立；（2）證明：對于任意正整數(shù)，參考答案1．C【解析】，，則，由題意得當(dāng)時，，故在遞增，選項A正確；當(dāng)時，，故在遞減，故是函數(shù)的極小值點，故選項B正確；由在遞減，則在遞減，由，得時，，，故，故選項C錯誤；若，則有2個零點，若，則函數(shù)有1個零點，若，則函數(shù)沒有零點，故選項D正確．故選：C2．A【解析】解析：f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，所以函數(shù)的極大值為f(－1)＝10；而f(4)＝－15，所以最大值是f(－1)＝10．故選：A.3．B【解析】因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：B.4．B【解析】解：函數(shù)，對于①，，故①正確；對于②，，令，所以，則時，不單調(diào)；時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以的最大值，故②錯誤；由②知：③錯誤、④正確．故選：B．5．C【解析】由題得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.所以取得最小值時，，此時，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以的最小值是.故選：C6．B【解析】若函數(shù)的值域為，則函數(shù)的函數(shù)值應(yīng)能取到所有的正數(shù)，易知，，則只需使的最小值小于等于0，，當(dāng)時，，單減；當(dāng)時，，單增；則的最小值為，解得，則實數(shù)的最大值為故選：B7．B【解析】由題得時，，令，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，令，所以函數(shù)在單調(diào)遞減.所以，所以.又，所以.故選：B8．C【解析】因為，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.，所以，在上恒成立，由知，，由可得，所以，在時恒成立，令，，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故，故.故選：C.9．BC【解析】因為，且，，所以，化簡得，解得，，因為，所以，所以abc>0，故A錯誤；由，可知為開口向下的二次函數(shù)，且零點為1，2，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以x=1為極小值點，x=2為極大值點，則的極大值為，故D錯誤；由函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，所以在區(qū)間[0，3]的最大值為0，故選項B正確；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，所以只有一個零點0，故C正確；故選：BC.10．AB【解析】對于選項A，當(dāng)時，則，，在區(qū)間上，所以在區(qū)間上遞減，所以，故選項A正確.對于選項B，當(dāng)時，，則，在區(qū)間上遞增，即，故選項B正確.對于選項C，當(dāng)時，當(dāng)時，恒成立，所以，所以，故選項C錯誤.對于選項D，當(dāng)時，，則，在區(qū)間上遞增，，故選項D錯誤.故選：AB.11．CD【解析】因為,點所以因為在點A和點B處的切線互相垂直由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知,在點A和點B處的切線的斜率之積為所以時,滿足,即.因為,所以所以,所以A、B錯誤;對于C,可知,令,所以令,得所以當(dāng)時,,則在時單調(diào)遞減所以在時取得極小值,即最小值為,所以C正確;對于D,可知令,則令,解得所以當(dāng)時,,則在時單調(diào)遞減當(dāng)時,,則在時單調(diào)遞增所以在時取得極小值,即最小值為.當(dāng)時取得最大值,,所以D正確.當(dāng)時,滿足,即此方程無解,所以不成立.綜上可知,D為正確選項.故選:CD12．ABD【解析】解：由題意得，函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，恒成立，此時單調(diào)遞減，沒有極值，又當(dāng)x趨近于0時，趨近于，當(dāng)x趨近于時，趨近于，∴有且只有一個零點，當(dāng)時，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得極小值，同時也是最小值，∴，當(dāng)x趨近于0時，趨近于，趨近于，當(dāng)x趨近于時，趨近于，當(dāng)，即時，有且只有一個零點；當(dāng)，即時，有且僅有兩個零點，綜上可知ABD正確，C錯誤．故選：ABD．13．【解析】由題意可知，，，．當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則．故答案為：14．②③④【解析】解：對于①，，，則在兩條直線和之間，兩直線的距離，所以不存在寬度為1的通道，故①錯誤；對于②，函數(shù)，研究函數(shù)在上的最大值，函數(shù)在時取得極大值點即最大值點，，時，函數(shù)，，故存在兩直線和，，故②正確；對于③，函數(shù)；函數(shù)隨的增大而增大，漸近線為，取兩條直線，，故，故③正確；對于④，函數(shù)，所以，由此得到兩直線的距離，故存在兩條直線，，兩條直線的距離.故④正確．故答案為：②③④．15．【解析】因為，所以，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因為在區(qū)間（其中）上存在最小值，所以解得：，故答案為：.16．【解析】作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，設(shè)，則．由，可得；由，可得．令，其中，則．由，得．當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增．所以．即的最小值為．故答案為：17．.【解析】，令，則，當(dāng)，，為增函數(shù)，當(dāng)，，為減函數(shù)，在(-2，2)上，只有x=0是f(x)的極值點，且為極大值點，∴極大值.又，.容易判斷，∴，即最小值是.18．（1）；（2）存在，a=2，b=3或a=-2，b=-29.【解析】(1)由于，所以.依題意，可得且.即解得(2)存在,，令，解得x1=0，x2=4(舍去).①當(dāng)a>0，x變化時，f'(x)，f(x)的變化情況如下表x(-1，0)0(0，2)+0-f(x)↗極大值↘所以當(dāng)x=0時，f(x)取得最大值.所以b=3.又f(2)=-16a+3，f(-1)=-7a+3，f(-1)>f(2)，所以當(dāng)x=2時，f(x)取得最小值，所以-16a+3=-29，即a=2.②當(dāng)a<0，x變化時，f'(x)，f(x)的變化情況如下表:x(-1，0)0(0，2)-0+f(x)↘極小值↗所以當(dāng)x=0時，f(x)取得最小值.所以b=-29.又f(2)=-16a-29，f(-1)=-7a-29，f(2)>f(-1)，所以當(dāng)x=2時，f(x)取得最大值，所以-16a-29=3，即a=-2.綜上所述，a=2，b=3或a=-2，b=-29.19．（1），；（2）.【解析】解：（1）因為單調(diào)遞增；令得，.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.又因為，，，所以，.（2）因為