一階常微分方程-高階常微分方程-方程組-差分方程-偏微分方程模型

一階常微分方程模型微分方程模型在自然科學(xué)中的應(yīng)用主要以物理，力學(xué)等客觀規(guī)律為基礎(chǔ)建立起來，而在經(jīng)濟(jì)學(xué)，人口預(yù)測等社會(huì)科學(xué)方面的應(yīng)用則是在類比，假設(shè)等措施下建立起來。

人口模型

人口數(shù)量以及和次類似的動(dòng)植物種群的個(gè)體數(shù)量都是離散變量，不具有連續(xù)可微性。但由于短時(shí)間內(nèi)改變的是少數(shù)個(gè)體，與整體數(shù)量相比，這種變化是很微小的?；诖嗽?，為了成功應(yīng)用數(shù)學(xué)工具，我們通常假定大規(guī)模種群的個(gè)體數(shù)量是時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)。此假設(shè)條件在非自然科學(xué)的問題中常常用到。

指數(shù)增長模型（Malthus人口模型）美國人口學(xué)家Malthus(1766-1834)于1798年根據(jù)百余年人口統(tǒng)計(jì)資料提出了著名的人口指數(shù)增長模型。模型假設(shè)：在人口的自然增長過程中，單位時(shí)間內(nèi)人口增量與人口總數(shù)成正比。

模型建立：設(shè)為時(shí)刻的人口述，考察時(shí)間區(qū)間上的人口變動(dòng)。

令可以得到微分方程模型

可以解得此方程的解為

模型分析和應(yīng)用：（1）當(dāng)r>0時(shí)，人口將隨著時(shí)間的增加無限的增長，這是一個(gè)不合理的模型，因?yàn)橐粋€(gè)環(huán)境的資源不可能容納無限增長的人口，從生態(tài)環(huán)境的角度分析也可以看出其中的不合理性。一般說來，就一個(gè)種群的發(fā)展規(guī)律看，在種群的發(fā)展初期種群數(shù)的變化是和指數(shù)增長模型大致吻合的（甚至可能出現(xiàn)年

增長率遞增的現(xiàn)象），但是隨著人口數(shù)的增加，人口的年增長率將呈現(xiàn)逐年遞減的現(xiàn)象。再考慮到環(huán)境適應(yīng)程度的制約，想象人口的增長不可能超過某個(gè)度。（2）對于其中常數(shù)增長率r的估計(jì)可以使用擬合或者參數(shù)估計(jì)的方法得到。（3）在實(shí)際情況下，可以使用離散的近似表達(dá)式

作為人口的預(yù)測表達(dá)式。

（4）從實(shí)際的人口檢驗(yàn)情況看，指數(shù)增長模型對于時(shí)間間隔比較短，并且背景情況改變不大的情況適用。對于長時(shí)間的人口數(shù)模型不合適。

阻滯增長模型（Logistic模型）和指數(shù)增長模型相比較，阻滯增長模型考慮到自然資源和環(huán)境條件等其他因素對人口的增長的阻滯作用，而且隨著人口的增加，這種阻滯作用將越來越大。模型假設(shè)：（1）人口的增長率r是當(dāng)前人口數(shù)的減函數(shù)。

（2），其中

是人口的固有增長率，而s決定了所能容納的最大人口量

。當(dāng)

時(shí)，人口的增長速度將降為0，從而可以得到

。這樣可以得到。

模型建立：相同的微元法研究可以得到下面的微分方程利用變量分離的方法得到該方程的解為

模型分析和討論：（1）在微分方程表達(dá)式中，體現(xiàn)人口自身的增長趨勢，因子

反映自然環(huán)境尚能容納的比例，人口的變化是這兩個(gè)因素共同作用的結(jié)果。可以發(fā)現(xiàn)

越大，兩個(gè)因素的作用是相反的，并且當(dāng)

越大，自然環(huán)境和資源的阻滯作用越大。

（2）注意到，并且從最終的人口方程可以看到，

，以及，這說明人口隨著時(shí)間的增加遞增地趨于。（3）表明當(dāng)時(shí)人口的增長速度最快，從而可以得到人口曲線上的一個(gè)拐點(diǎn)。（4）模型中所涉及到的兩個(gè)參數(shù),

的估計(jì)可以通過

進(jìn)行線性擬合。其中

。而模型的檢驗(yàn)也可以通過這兩個(gè)參數(shù)的估計(jì)量與一個(gè)實(shí)際的人口數(shù)量之間進(jìn)行比較加以檢驗(yàn)。（5）阻滯增長模型不僅能夠大體上描述人口及許多物種的變化規(guī)律，而且在社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用，如耐用消費(fèi)品的銷售量也可以用此模型來描述。新技術(shù)推廣模型

一項(xiàng)新技術(shù)如何在有關(guān)企業(yè)中推廣,是人們最為關(guān)心的問題,也就是說,一旦一家企業(yè)采用了一項(xiàng)新技術(shù),那么行業(yè)中的其他企業(yè)將以怎樣的速度采用該技術(shù)？哪些因素將影響到技術(shù)的推廣？下面我們在適當(dāng)?shù)臈l件下討論此問題。

記為時(shí)刻采用該技術(shù)的企業(yè)數(shù)。并設(shè)連續(xù)可微。假設(shè)未采用該技術(shù)者之所以決定采用該技術(shù)，是因?yàn)槠湟阎械钠髽I(yè)采用了該技術(shù)并具有成效。即是以“眼見為實(shí)”作為決策依據(jù)的,亦即“示范效應(yīng)”在起作用。假設(shè)時(shí)，有一項(xiàng)新技術(shù)被引進(jìn)到共有個(gè)企業(yè)的行業(yè)中，其中有一個(gè)企業(yè)采用該技術(shù)。用表示到時(shí)間內(nèi)采用該技術(shù)的企業(yè)數(shù)的增加量，假設(shè)該增加量與已采用該技術(shù)的企業(yè)數(shù)成正比，與還未采用該技術(shù)的企業(yè)數(shù)成正比，

則有

令，得于是得模型

解得顯然，，且時(shí)，，并對任何，。還有，當(dāng)時(shí)，最大。

以上模型的建立，是基于示范效應(yīng)的。但隨著通訊能力的提高和大眾媒介的普及，廣告的作用愈來愈明顯。即一個(gè)企業(yè)采用該技術(shù)還可能是因?yàn)閺V告效應(yīng)的作用，從而在考慮單位時(shí)間內(nèi)使用該技術(shù)的企業(yè)數(shù)的增量時(shí)，應(yīng)把示范效應(yīng)與廣告效應(yīng)一起考慮。而廣告效應(yīng)只能對沒采用該技術(shù)的企業(yè)起作用。假設(shè)其引起的增量與成正比。則有如下模型解得哈羅德-多馬經(jīng)濟(jì)增長模型

計(jì)Y，C，I，A分別為總收入，總消費(fèi)，引致投資和自發(fā)支出（自發(fā)消費(fèi)與自發(fā)投資之和），則由總供給等于總需求，得設(shè)消費(fèi)函數(shù)為引致投資為

從而得到模型

即有

其中，當(dāng)為常數(shù)時(shí)，其解為

上式由兩項(xiàng)組成，其第一項(xiàng)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中乘數(shù)效應(yīng)的結(jié)果（即邊際消費(fèi)的作用），而第二項(xiàng)是加速效應(yīng)與的共同作用，當(dāng)時(shí)，與的共同作用導(dǎo)致一個(gè)常數(shù)增長率出現(xiàn)。次現(xiàn)象在經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱為加速發(fā)展原理，是增長經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容，但由于此時(shí)

亦有常數(shù)增長率，所以到一定程度，必須進(jìn)行經(jīng)濟(jì)政策調(diào)整，以防經(jīng)濟(jì)過熱在式中，設(shè)即自發(fā)支出有一個(gè)常數(shù)增長率，則式的解為由此可見：當(dāng)時(shí)，若，則有常數(shù)增長率;

第一項(xiàng)是與對應(yīng)的與其有同樣增長率項(xiàng)；當(dāng)，時(shí)，。即自發(fā)支出增長過快，擠掉了生產(chǎn)性投資，使總產(chǎn)量銳減。所以自發(fā)支出不宜增長過快。

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，造成生產(chǎn)萎縮。

高階常微分方程和方程組模型餓狼追兔問題現(xiàn)有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米處。假設(shè)兔子與狼同時(shí)發(fā)現(xiàn)對方并一起起跑，兔子往正北60米處的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是勻速跑且狼的速度是兔子的兩倍。問題是兔子能否安全回到巢穴？

解首先建立坐標(biāo)系，兔子在O處，狼在A處。由于狼要盯著兔子追，所以狼行走的是一條曲線，且在同一時(shí)刻，曲線上狼的位置與兔子的位置的連線為曲線上該點(diǎn)處的切線。設(shè)狼的行走軌跡是y=f(x)，則有

又因狼的速度是兔子的兩倍，所以在相同時(shí)間內(nèi)狼走的距離為兔子走的距離的兩倍。假設(shè)在某一時(shí)刻，兔子跑到(0,h)處，而狼在(x,y)處，則有

整理得到下述模型

這屬于可降階的二階微分方程，解得狼的行走軌跡

因，所以狼追不上兔子。某些類型的導(dǎo)彈對目標(biāo)追擊的數(shù)學(xué)模型與此數(shù)學(xué)模型相識(shí)。傳染病模型

盡管現(xiàn)在衛(wèi)生設(shè)施在不斷改善，醫(yī)療水平也在不斷提高，但在世界的某些地區(qū)，仍時(shí)有傳染病流行的情況發(fā)生。長期以來，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程，分析得病人數(shù)的變化規(guī)律等，一直是人們重視的問題。用數(shù)學(xué)方法研究傳染病，不是從醫(yī)學(xué)的角度具體分析每種傳染病的傳播，而只是按照一般的傳播機(jī)制來建立模型。

現(xiàn)將人分為兩類，一是傳染病患者，一是傳染病易感者，設(shè)，分別為時(shí)刻傳染病人數(shù)和易感者人數(shù)。假設(shè)易感者因與傳染者接觸而得病，且傳染病人數(shù)因病死而減少。進(jìn)一步假設(shè)單位時(shí)間傳染病人數(shù)的增量為，減少人數(shù)為，則有如下模型

由方程可得從而有

其中

此模型沒有考慮到防疫，治療，免疫等機(jī)制，所以有很大的局限性，也為此模型的進(jìn)一步完善留有廣闊的空間。差分方程模型Leslie模型

上面考慮的是人口群體變化的規(guī)律問題，該模型沒有考慮種群的年齡結(jié)構(gòu)，種群的數(shù)量主要由總量的固有增長率決定。但不同年齡的人的繁殖率和死亡率有著明顯的不同。考慮按年齡分組的種群增長模型，我們介紹在20世紀(jì)40年代建立的一個(gè)具有年齡結(jié)構(gòu)的人口離散模型。

我們將人口按年齡劃分成m個(gè)年齡組，即1，2，…,m組。此處還隱含假定所有人的年齡不能超過m組的年齡?，F(xiàn)將時(shí)間也離散為時(shí)段，并且的間隔與年齡區(qū)間大小相等。記時(shí)段第i年齡組的種群數(shù)量為，記時(shí)段種群各年齡組的分布向量為

則我們可以建立人口增長的差分方程模型為此處L為已知矩陣。當(dāng)時(shí)段各年齡組的人數(shù)已知時(shí)，即已知時(shí)，可以求得時(shí)段的按年齡組的分布向量為由此可以算出各時(shí)段的種群總量。 偏微分方程模型

當(dāng)我們要考察的量同時(shí)與兩個(gè)變量有關(guān)時(shí)，要想描述其變化率的關(guān)系，則通常要用偏微分方程模型來描述。下面介紹考慮人口年齡的連續(xù)模型連續(xù)人口發(fā)展方程

設(shè)表示年齡，表示時(shí)間，表示時(shí)刻年齡小于的人口總