湖北省武漢市洪山區(qū)2022-2023學年八年級上學期期末數(shù)學模擬試卷

絕密★啟用前2022-2023學年湖北省武漢市洪山區(qū)八年級（上）期末數(shù)學模擬試卷考試范圍：全冊；考試時間：120分鐘；命題人：熊兵題號一二三總分得分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)3?a3＝2a3 B．（a3）2＝a5 C．（4ab）2＝8a2b2 D．a(chǎn)4÷（﹣a）2＝a23．（3分）若分式的值為零，則a的值是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．04．（3分）如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，還需要補充一個條件，則下列錯誤的條件是（）A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE5．（3分）下列變形屬于因式分解的是（）A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6＝（x+2）（x+3）6．（3分）化簡+的結(jié)果是（）A．a(chǎn)﹣1 B．a(chǎn)+1 C．﹣a D．a(chǎn)7．（3分）《九章算術》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規(guī)定時間多一天，如果用快馬送，所需的時間比規(guī)定時間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時間．設規(guī)定時間為x天，則可列方程為（）A． B． C． D．8．（3分）數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學重要的思想方法，下圖就是用幾何圖形描述了一個重要的數(shù)學公式，這個公式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab D．（a﹣b）2＝a2﹣b29．（3分）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得△ABC是等腰三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（）A．5 B．6 C．8 D．910．（3分）已知△ABC是等邊三角形，點P在AB上，過點P作PD⊥AC，垂足為D，延長BC至點Q，使CQ＝AP，連接PQ交AC于點E，如圖所示．如果等邊三角形ABC的邊長為4，那么線段DE的長為（）A．1 B．2 C．1.8 D．2.5

第Ⅱ卷（非選擇題）請點擊修改第Ⅱ卷的文字說明評卷人得分二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）可燃冰是一種新型能源，它的密度很小，1cm3可燃冰的質(zhì)量僅為0.00092kg．數(shù)字0.00092用科學記數(shù)法表示是．12．（3分）若使分式有意義，則x的取值范圍是．13．（3分）方程＝的解為．14．（3分）等腰三角形有一個外角是110°，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為．15．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，點E，F(xiàn)是AD的三等分點，若△ABC的面積為12，則圖中陰影部分的面積是．16．（3分）已知（2022﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，則（2022﹣a）（a﹣2023）的值為．評卷人得分三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（8分）分解因式：（1）a﹣6ab+9ab2（2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）18．（8分）因式分解：（1）x2﹣25；（2）（x﹣y）2+6（x﹣y）+9．19．（8分）先化簡（﹣x+1）÷，再從﹣1，0，1中選擇合適的x值代入求值．20．（6分）已知：如圖，AE∥FD，AE＝FD，EB＝CF．求證：△ACE≌△DBF．21．（8分）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的頂點稱作格點．點A、C、G、H在格點上，將點A先向右移動5格，再向上移動2格后得到點B，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列步驟完成畫圖，保留畫圖過程的痕跡，并回答問題：（1）在網(wǎng)格中標注點B，并連接AB；（2）在網(wǎng)格中找格點D，使得GD∥AB且GD＝AB；（3）在網(wǎng)格中找格點E，使得CE⊥AB，垂足為F；（4）在線段GH上找一點M，使得∠AMG＝∠BMH．22．（10分）疫情防控形勢下，人們在外出時都應戴上口罩以保護自己免受新型冠狀病毒感染．某藥店用4000元購進若干包次性醫(yī)用口罩，很快售完，該店又用7500元錢購進第二批這種口罩，所進的包數(shù)比第一批多50%，每包口罩的進價比第一批每包口罩的進價多0.5元，請解答下列問題：（1）求購進的第一批醫(yī)用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在這兩批醫(yī)用口罩的銷售中，售價保持了一致，若售完這兩批口罩的總利潤不高于3500元錢，那么藥店銷售該口罩每包的最高售價是多少元？23．（12分）（1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：DE＝BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．24．（12分）在△ABC中，∠B＝90°，D為BC延長線上一點，點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，連接EA，EC，ED．（1）如圖1，當∠BAC＝50°時，則∠AED＝°；（2）當∠BAC＝60°時，①如圖2，連接AD，判斷△AED的形狀，并證明；②如圖3，直線CF與ED交于點F，滿足∠CFD＝∠CAE．P為直線CF上一動點．當PE﹣PD的值最大時，用等式表示PE，PD與AB之間的數(shù)量關系為，并證明．2022-2023學年湖北省武漢市洪山區(qū)八年級（上）期末數(shù)學模擬試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷利用排除法求解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項正確；B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤．故選：A．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)3?a3＝2a3 B．（a3）2＝a5 C．（4ab）2＝8a2b2 D．a(chǎn)4÷（﹣a）2＝a2【考點】同底數(shù)冪的除法；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【分析】利用同底數(shù)冪的乘法的法則，同底數(shù)冪的除法的法則，冪的乘方與積的乘方的法則對各項進行運算即可．【解答】解：A、a3?a3＝a6，故A不符合題意；B、（a3）2＝a6，故B不符合題意；C、（4ab）2＝16a2b2，故C不符合題意；D、a4÷（﹣a）2＝a2，故D符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方與積的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．3．（3分）若分式的值為零，則a的值是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．0【考點】分式的值為零的條件．【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．兩個條件需同時具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題．【解答】解：∵＝0，∴，∴a＝2，故選：B．【點評】此題考查的是對分式的值為0的條件的理解，該類型的題易忽略分母不為0這個條件．4．（3分）如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，還需要補充一個條件，則下列錯誤的條件是（）A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE【考點】全等三角形的判定．【分析】分別判斷選項所添加的條件，根據(jù)三角形的判定定理：ASA、SAS、AAS進行判斷即可．【解答】解：A、添加BF＝CE，可得，BC＝EF，不能得出△ABC≌△DEF，符合題意；B、添加AC∥DF，可得，∠ACB＝∠DFE，利用ASA得出△ABC≌△DEF，不符合題意；C、添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△DEF，不符合題意；D、添加AB＝DE，利用SAS得出△ABC≌△DEF，不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查對全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，熟練地運用全等三角形的判定定理進行證明是解此題的關鍵，是一個開放型的題目，比較典型．5．（3分）下列變形屬于因式分解的是（）A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6＝（x+2）（x+3）【考點】因式分解的意義；因式分解﹣十字相乘法等．【分析】依據(jù)因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式判斷即可．【解答】解：A、x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6，右邊不是幾個整式的積的形式，故此選項不符合題意；B、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）是因式分解，故此選項符合題意；C、（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6，從左邊到右邊的變形屬于整式的乘法，故此選項不符合題意；D、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），原計算錯誤，故此選項不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查的是因式分解的意義，掌握因式分解的定義是解題的關鍵．6．（3分）化簡+的結(jié)果是（）A．a(chǎn)﹣1 B．a(chǎn)+1 C．﹣a D．a(chǎn)【考點】分式的加減法．【分析】利用同分母的分式加減法法則進行計算即可．【解答】解：+＝﹣＝＝＝a，故選：D．【點評】本題考查了分式的加減法，熟練掌握同分母的分式加減法法則是解題的關鍵．7．（3分）《九章算術》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規(guī)定時間多一天，如果用快馬送，所需的時間比規(guī)定時間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時間．設規(guī)定時間為x天，則可列方程為（）A． B． C． D．【考點】由實際問題抽象出分式方程．【分析】首先設規(guī)定時間為x天，則快馬所需的時間為（x﹣3）天，慢馬所需的時間為（x+1）天，由題意得等量關系：慢馬速度×2＝快馬速度，根據(jù)等量關系，可得方程．【解答】解：設規(guī)定時間為x天，則快馬所需的時間為（x﹣3）天，慢馬所需的時間為（x+1）天，由題意得：×2＝，故選：A．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系．8．（3分）數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學重要的思想方法，下圖就是用幾何圖形描述了一個重要的數(shù)學公式，這個公式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【考點】平方差公式的幾何背景；單項式乘多項式；完全平方公式的幾何背景．【分析】分別表示出圖1和圖2中的陰影面積，二者相等，比較各選項，即可得答案．【解答】解：圖1中陰影部分面積等于大正方形的面積a2，減去小正方形的面積b2，即a2﹣b2；圖2中陰影部分為長等于（a+b），寬等于（a﹣b）的長方形，其面積等于（a+b）（a﹣b），二者面積相等，則有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．比較各選項，可知只有A符合題意．故選：A．【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確地寫出圖中陰影部分的面積，是解題的關鍵．9．（3分）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得△ABC是等腰三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（）A．5 B．6 C．8 D．9【考點】等腰三角形的判定．【分析】分三種情況：當BA＝BC時，當AB＝AC時，當CA＝CB時，然后進行分析即可解答．【解答】解：如圖：分三種情況：當BA＝BC時，以點B為圓心，BA長為半徑作圓，點C1，C2，C3即為所求；當AB＝AC時，以點A為圓心，AB長為半徑作圓，點C4，C5，C6，C7，C8即為所求；當CA＝CB時，作AB的垂直平分線，與正方形網(wǎng)格的交點不在格點上，綜上所述：滿足條件的格點C的個數(shù)是8，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，分三種情況討論是解題的關鍵．10．（3分）已知△ABC是等邊三角形，點P在AB上，過點P作PD⊥AC，垂足為D，延長BC至點Q，使CQ＝AP，連接PQ交AC于點E，如圖所示．如果等邊三角形ABC的邊長為4，那么線段DE的長為（）A．1 B．2 C．1.8 D．2.5【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【分析】如圖，過點P作PF∥BC，交AC于點F，利用已知條件可以得到△APF也是等邊三角形，然后可以證明△PEF≌△QEC，接著利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：如圖，過點P作PF∥BC，交AC于點F，則∠EPF＝∠Q，∠APF＝∠ABC∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝60°，∴△APF也是等邊三角形，而CQ＝AP∴PF＝AP＝CQ，又∵∠PEF＝∠QEC，∴△PEF≌△QEC，∴EF＝EC，∵PD⊥AC于D，△APF是等邊三角形，∴AD＝DF，∴AD+EC＝DF+EF＝DE＝AF+CF＝（AF+CF）＝AC，∴DE＝AC＝2．故選：B．【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，同時也利用了全等三角形的性質(zhì)于判定，有一定的綜合性．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）可燃冰是一種新型能源，它的密度很小，1cm3可燃冰的質(zhì)量僅為0.00092kg．數(shù)字0.00092用科學記數(shù)法表示是9.2×10﹣4．【考點】科學記數(shù)法—表示較小的數(shù)．【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【解答】解：0.00092＝9.2×10﹣4，故答案為：9.2×10﹣4．【點評】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．12．（3分）若使分式有意義，則x的取值范圍是x≠2．【考點】分式有意義的條件．【分析】分母不為零，分式有意義可得x﹣2≠0，再解即可．【解答】解：當分母x﹣2≠0，即x≠2時，分式有意義，故答案為：x≠2．【點評】本題考查了分式有意義的條件．從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．13．（3分）方程＝的解為x＝6．【考點】解分式方程．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x﹣6＝2x，解得：x＝6，經(jīng)檢驗x＝6是分式方程的解．故答案為：x＝6【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程時注意要檢驗．14．（3分）等腰三角形有一個外角是110°，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為40°或70°．【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【分析】因為題中沒有指明該外角是頂角的外角還是底角的外角，所以應該分兩種情況進行分析．【解答】解：分為兩種情況：（1）當這個110°的外角為頂角的外角時，則這個等腰三角形的頂角為70°；（2）當這個110°的外角為底角的外角時，可以得到這個等腰三角形的頂角為180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案為：40°或70°．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角性質(zhì)等知識；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．15．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，點E，F(xiàn)是AD的三等分點，若△ABC的面積為12，則圖中陰影部分的面積是6．【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】由圖，根據(jù)等腰三角形是軸對稱圖形知，△CEF和△BEF的面積相等，所以陰影部分的面積是三角形面積的一半．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，∴△ABC是軸對稱圖形，且直線AD是對稱軸，∴△CEF和△BEF的面積相等，∴S陰影＝S△ABD，∵AB＝AC，AD是BC邊上的高，∴BD＝CD，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵S△ABC＝12，∴S陰影＝12÷2＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)；利用對稱發(fā)現(xiàn)并利用△CEF和△BEF的面積相等是正確解答本題的關鍵．16．（3分）已知（2022﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，則（2022﹣a）（a﹣2023）的值為﹣3．【考點】完全平方公式；多項式乘多項式．【分析】設m＝2022﹣a，n＝a﹣2023，可得m+n＝﹣1，m2+n2＝（2022﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，根據(jù)（m+n）2＝m2+n2+2mn代入計算即可．【解答】解：設m＝2022﹣a，n＝a﹣2023，則m+n＝﹣1，m2+n2＝（2022﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，由（m+n）2＝m2+n2+2mn得，1＝7+2mn，∴mn＝﹣3，∴（2022﹣a）（a﹣2023）＝mn＝﹣3，即（2022﹣a）（a﹣2023）的值為﹣3．故答案為：﹣3．【點評】本題考查完全平方公式，多項式乘多項式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及多項式乘多項式的計算方法是正確解答的關鍵．三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（8分）分解因式：（1）a﹣6ab+9ab2（2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式變形后，提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝a（1﹣6b+9b2）＝a（1﹣3b）2；（2）原式＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）＝（x﹣y）2（x+y）．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．18．（8分）因式分解：（1）x2﹣25；（2）（x﹣y）2+6（x﹣y）+9．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）x2﹣25＝x2﹣52＝（x+5）（x﹣5）；（2）（x﹣y）2+6（x﹣y）+9＝（x﹣y）2+2×3（x﹣y）+32＝（x﹣y+3）2．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．19．（8分）先化簡（﹣x+1）÷，再從﹣1，0，1中選擇合適的x值代入求值．【考點】分式的化簡求值．【分析】先算括號內(nèi)的加法和減法，把除法變成乘法，算乘法，最后求出答案即可．【解答】解：（﹣x+1）÷＝[﹣（x﹣1）]÷＝?＝?＝，∵分式的分母x+1≠0，x2﹣1≠0，x2+2x+1≠0，解得：x≠±1，∴取x＝0，當x＝0時，原式＝＝﹣1．【點評】本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵．20．（6分）已知：如圖，AE∥FD，AE＝FD，EB＝CF．求證：△ACE≌△DBF．【考點】全等三角形的判定．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠E＝∠F，根據(jù)等式的性質(zhì)由已知EB＝CF可得EC＝BF，從而可利用SAS來判定△ACE≌△DBF．【解答】證明：∵AE∥DF，∴∠E＝∠F．∵EB＝CF，∴EB+BC＝CF+BC．即EC＝BF．在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（SAS）．【點評】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題也考查了平行線的性質(zhì)．21．（8分）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的頂點稱作格點．點A、C、G、H在格點上，將點A先向右移動5格，再向上移動2格后得到點B，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列步驟完成畫圖，保留畫圖過程的痕跡，并回答問題：（1）在網(wǎng)格中標注點B，并連接AB；（2）在網(wǎng)格中找格點D，使得GD∥AB且GD＝AB；（3）在網(wǎng)格中找格點E，使得CE⊥AB，垂足為F；（4）在線段GH上找一點M，使得∠AMG＝∠BMH．【考點】作圖—應用與設計作圖；平行線的性質(zhì)．【分析】（1）利用平移的性質(zhì)求解即可；（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可；（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可；（4）作點A關于直線GH的對稱點A′，連接BA′交GH于點M，連接AM，點M即為所求．【解答】解：（1）如圖，線段AB即為所求；（2）如圖，線段DG即為所求；（3）如圖，線段CE，點F即為所求；（4）如圖，點M即為所求．【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．22．（10分）疫情防控形勢下，人們在外出時都應戴上口罩以保護自己免受新型冠狀病毒感染．某藥店用4000元購進若干包次性醫(yī)用口罩，很快售完，該店又用7500元錢購進第二批這種口罩，所進的包數(shù)比第一批多50%，每包口罩的進價比第一批每包口罩的進價多0.5元，請解答下列問題：（1）求購進的第一批醫(yī)用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在這兩批醫(yī)用口罩的銷售中，售價保持了一致，若售完這兩批口罩的總利潤不高于3500元錢，那么藥店銷售該口罩每包的最高售價是多少元？【考點】分式方程的應用；一元一次不等式的應用．【分析】（1）設購進的第一批醫(yī)用口罩有x包，根據(jù)“每包口罩的進價比第一批每包口罩的進價多0.5元”列出方程并解答．（2）設藥店銷售該口罩每包的售價是y元，根據(jù)“售完這兩批口罩的總利潤不高于3500元錢”列出不等式．【解答】（1）設購進的第一批醫(yī)用口罩有x包，則＝﹣0.5．解得：x＝2000．經(jīng)檢驗x＝2000是原方程的根并符合實際意義．答：購進的第一批醫(yī)用口罩有2000包；（2）設藥店銷售該口罩每包的售價是y元，則由題意得：[2000+2000（1+50%）]y﹣4000﹣7500≤3500．解得：y≤3．答：藥店銷售該口罩每包的最高售價是3元．【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量間的關系，正確列出一元一次不等式．23．（12分）（1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：DE＝BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．【考點】三角形綜合題．【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，則AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，進而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出結(jié)論；（3）由等邊三角形的性質(zhì)，可以求出∠BAC＝120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD＝AE，進而得出△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，即可推出△DEF為等邊三角形．【解答】（1）證明：如圖1，∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）解：結(jié)論DE＝BD+CE成立．理由：如圖2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）證明：如圖3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE，在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DEF為等邊三角形．【點評】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．24．（12分）在△ABC中，∠B＝90°，D為BC延長線上一點，點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，連接EA，EC，ED．（1）如圖1，當∠BAC＝50°時，則∠AED＝80°；（2）當∠BAC＝60°時，①如圖2，連接AD，判斷△AED的形狀，并證明；②如圖3，直線CF與ED交于點F，滿足∠CFD＝∠CAE．P為直線CF上一動點．當PE﹣PD的值最大時，用等式表示PE，PD與AB之間的數(shù)量關系為PE﹣PD＝2AB，并證明．【考點】三角形綜合題．【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理解決問題即可；（2）①△ADE時等邊三角形，證明EA＝ED，∠AED＝60°即可；②結(jié)論：PE﹣PD＝2AB．如圖3中，作點D關于直線CF的對稱點D′，連接CD′，DD′，ED′．當點P在ED′的延長線上時，PE﹣PD的值最大，此時PE﹣PD＝ED′，利用全等三角形的性質(zhì)證明ED′＝AC，可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1中，∵點E是線段AC，CD的垂直平分線的交點，∴EA＝EC＝ED，∴∠EAC＝∠ECA，∠ECD＝∠EDC，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝50°，∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC＝280°，∴∠AED＝360°﹣280°＝80°，故答案為：80．（2）①結(jié)論：△ADE時等邊三角形．理由：如圖2中，∵點E是線段AC，CD的垂直平分線的交點，∴EA＝EC＝ED，∴∠EAC＝∠ECA，∠ECD＝∠EDC，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∴∠ACD＝180°﹣30°＝150°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC＝300°，∴∠AED＝360°﹣300°＝60°，∴△ADE時等邊三角形；②結(jié)論：PE﹣PD＝2AB．理由：如圖3中，作點D關于直線CF的對稱點D′，連接CD′，DD′，ED′．當點P在ED′的延長線上時，PE﹣PD的值最大，此時PE﹣PD＝ED′，∵∠CFD+∠CFE＝180°，∠CFD＝∠CAE，∴∠CAE+∠CFE＝180°，∴∠ACF+∠AEF＝180°，∵∠AED＝60°，∴∠ACF＝120°，∴∠ACB＝∠FCD＝30°，∴∠DCF＝∠FCD′＝30°，∴∠DCD′＝60°，∵CD＝CD′，∴△CDD′時等邊三角形，∴DC＝DD′，∠CDD′＝∠ADE＝60°，∴∠ADC＝∠EDD′，∵DA＝DE，∴△ADC≌△EDD′（SAS），∴AC＝ED′，∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，∴PE﹣PD＝2AB．故答案為：PE﹣PD＝2AB．【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．

考點卡片1．科學記數(shù)法—表示較小的數(shù)用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【規(guī)律方法】用科學記數(shù)法表示有理數(shù)x的規(guī)律x的取值范圍表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整數(shù)的位數(shù)﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零數(shù)字前所有0的個數(shù)（含小數(shù)點前的0）2．同底數(shù)冪的乘法（1）同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．a(chǎn)m?an＝am+n（m，n是正整數(shù)）（2）推廣：am?an?ap＝am+n+p（m，n，p都是正整數(shù)）在應用同底數(shù)冪的乘法法則時，應注意：①底數(shù)必須相同，如23與25，（a2b2）3與（a2b2）4，（x﹣y）2與（x﹣y）3等；②a可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質(zhì)，只有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加．（3）概括整合：同底數(shù)冪的乘法，是學習整式乘除運算的基礎，是學好整式運算的關鍵．在運用時要抓住“同底數(shù)”這一關鍵點，同時注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時可以適當變形為同底數(shù)冪．3．冪的乘方與積的乘方（1）冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）注意：①冪的乘方的底數(shù)指的是冪的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是冪的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)冪的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別．（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應根據(jù)乘方的意義，計算出最后的結(jié)果．4．同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減．a(chǎn)m÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n）①底數(shù)a≠0，因為0不能做除數(shù)；②單獨的一個字母，其指數(shù)是1，而不是0；③應用同底數(shù)冪除法的法則時，底數(shù)a可是單項式，也可以是多項式，但必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么．5．單項式乘多項式（1）單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）單項式與多項式相乘時，應注意以下幾個問題：①單項式與多項式相乘實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式；②用單項式去乘多項式中的每一項時，不能漏乘；③注意確定積的符號．6．多項式乘多項式（1）多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）運用法則時應注意以下兩點：①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應等于原多項式的項數(shù)之積．7．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算符號相同．（3）應用完全平方公式時，要注意：①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式．8．完全平方公式的幾何背景（1）運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關系對完全平方公式做出幾何解釋．（2）常見驗證完全平方公式的幾何圖形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個長寬分別是a，b的長方形的面積和作為相等關系）9．平方差公式的幾何背景（1）常見驗證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關系列出等式即可驗證平方差公式）．（2）運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關系對平方差公式做出幾何解釋．10．因式分解的意義1、分解因式的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項式的表現(xiàn)形式．例如：3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗．11．提公因式法與公式法的綜合運用提公因式法與公式法的綜合運用．12．因式分解-十字相乘法等借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解這種方法的關鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．13．分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號．（4）分式的值為負數(shù)的條件是分子、分母異號．14．分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．15．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．說明：①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘．②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分式變成分母相同的較復雜的形式．約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的分式來說的．16．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式＝…”．2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．17．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．18．由實際問題抽象出分式方程由實際問題抽象出分式方程的關鍵是分析題意找出相等關系．（1）在確定相等關系時，一是要理解一些常用的數(shù)量關系和一些基本做法，如行程問題中的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時間相等、追擊的時間相等．（2）列分式方程解應用題要多思、細想、深思，尋求多種解法思路．19．分式方程的應用1、列分式方程解應用題的一般步驟：設、列、解、驗、答．必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間等等．列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．20．一元一次不等式的應用（1）由實際問題中的不等關系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．（2）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關系．因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．21．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．22．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概