初中數(shù)學(xué)三角形證明題經(jīng)典題型訓(xùn)練

WORD完美格式專業(yè)知識編輯整理WORD文檔可編輯技術(shù)資料專業(yè)分享三角形證明中經(jīng)典題11．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交AB與D，交BC于E，連接AE，若CE=5，AC=12，則BE的長是（）A．13B．10C．12D．52．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）A．5個B．4個C．3個D．2個3．如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，AB=8cm，AC=6cm，則S△ABD：S△ACD=（）A．4：3B．3：4C．16：9D．9：164．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，連接BE，則∠CBE的度數(shù)為（）A．70°B．80°C．40°D．30°5．如圖，在△ABC中，AB=AC，且D為BC上一點，CD=AD，AB=BD，則∠B的度數(shù)為（）A．30°B．36°C．40°D．45°6．如圖，點O在直線AB上，射線OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，則∠BOD等于（）A．145°B．110°C．70°D．35°7．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分線交BC邊于D，若AB=10，AC=5，則圖中等于60°的角的個數(shù)是（）A．2B．3C．4D．58．如圖，已知BD是△ABC的中線，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周長的差是（）A．2B．3C．6D．不能確定9．在Rt△ABC中，如圖所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，點D到AB的距離DE=3.8cm，則BC等于（）A．3.8cmB．7.6cmC．11.4cmD．11.2cm10．△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等；∠A=40°，則∠BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°11．如圖，已知點P在∠AOB的平分線OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，則PF的長為（）A．2B．4C．6D．812．如圖，△ABC中，DE是AB的垂直平分線，交BC于點D，交AB于點E，已知AE=1cm，△ACD的周長為12cm，則△ABC的周長是（）A．13cmB．14cmC．15cmD．16cm13．如圖，∠BAC=130°，若MP和QN分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ等于（）A．50°B．75°C．80°D．105°14．如圖，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的條件是（）A．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′15．如圖，MN是線段AB的垂直平分線，C在MN外，且與A點在MN的同一側(cè)，BC交MN于P點，則（）A．BC＞PC+APB．BC＜PC+APC．BC=PC+APD．BC≥PC+AP16．如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）A．90°﹣∠AB．90°﹣∠AC．180°﹣∠AD．45°﹣∠A17．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列結(jié)論不一定成立的是（）A．△ABD≌△ACDB．AD是△ABC的高線C．AD是△ABC的角平分線D．△ABC是等邊三角形三角形證明中經(jīng)典題21.如圖，已知：E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，連接CD，且交OE于點F．（1）求證：OE是CD的垂直平分線．（2）若∠AOB=60°，請你探究OE，EF之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．2.如圖，點D是△ABC中BC邊上的一點，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度數(shù)．3.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點D是BC的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．求證：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．4如圖，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分線EF交AC于點D，求∠DBC的度數(shù)．5.如圖，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度數(shù)．6.閱讀理解：“在一個三角形中，如果角相等，那么它們所對的邊也相等．”簡稱“等角對等邊”，如圖，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分線上交于點F，過點F作BC的平行線分別交AB、AC于點D、E，請你用“等角對等邊”的知識說明DE=BD+CE．7.如圖，AD是△ABC的平分線，DE，DF分別垂直AB、AC于E、F，連接EF，求證：△AEF是等腰三角形．

2015年05月03日初中數(shù)學(xué)三角形證明組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共20小題）1．（2015?涉縣模擬）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交AB與D，交BC于E，連接AE，若CE=5，AC=12，則BE的長是（）A．13B．10C．12D．5考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：先根據(jù)勾股定理求出AE=13，再由DE是線段AB的垂直平分線，得出BE=AE=13．解答：解：∵∠C=90°，∴AE=，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴BE=AE=13；故選：A．點評：本題考查了勾股定理和線段垂直平分線的性質(zhì)；利用勾股定理求出AE是解題的關(guān)鍵．2．（2015?淄博模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）A．5個B．4個C．3個D．2個考點：等腰三角形的判定；三角形內(nèi)角和定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證明題．分析：根據(jù)已知條件和等腰三角形的判定定理，對圖中的三角形進行分析，即可得出答案．解答：解：共有5個．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可證△CDE和△BCD是等腰三角形．故選：A．點評：此題主要考查學(xué)生對等腰三角形判定和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，屬于中檔題．3．（2014秋?西城區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，AB=8cm，AC=6cm，則S△ABD：S△ACD=（）A．4：3B．3：4C．16：9D．9：16考點：角平分線的性質(zhì)；三角形的面積．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題．分析：首先過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，由AD是它的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可求得DE=DF，由△ABD的面積為12，可求得DE與DF的長，又由AC=6，則可求得△ACD的面積．解答：解：過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F…（1分）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，…（3分）∴S△ABD=?DE?AB=12，∴DE=DF=3…（5分）∴S△ADC=?DF?AC=×3×6=9…（6分）∴S△ABD：S△ACD=12：9=4：3．故選A．點評：此題考查了角平分線的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是熟記角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．4．（2014?丹東）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，連接BE，則∠CBE的度數(shù)為（）A．70°B．80°C．40°D．30°考點：線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何圖形問題．分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度數(shù)，又由線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，繼而求得∠ABE的度數(shù)，則可求得答案．解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故選：D．點評：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．（2014?南充）如圖，在△ABC中，AB=AC，且D為BC上一點，CD=AD，AB=BD，則∠B的度數(shù)為（）A．30°B．36°C．40°D．45°考點：等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的關(guān)系，利用三角形的內(nèi)角和是180°，求∠B，解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故選：B．點評：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是運用等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C關(guān)系．6．（2014?山西模擬）如圖，點O在直線AB上，射線OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，則∠BOD等于（）A．145°B．110°C．70°D．35°考點：角平分線的定義．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：首先根據(jù)角平分線定義可得∠AOD=2∠AOC=70°，再根據(jù)鄰補角的性質(zhì)可得∠BOD的度數(shù)．解答：解：∵射線OC平分∠DOA．∴∠AOD=2∠AOC，∵∠COA=35°，∴∠DOA=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故選：B．點評：此題主要考查了角平分線定義，關(guān)鍵是掌握角平分線把角分成相等的兩部分．7．（2014?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分線交BC邊于D，若AB=10，AC=5，則圖中等于60°的角的個數(shù)是（）A．2B．3C．4D．5考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)已知條件易得∠B=30°，∠BAC=60°．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進一步求解．解答：解：∵∠ACB=90°，AB=10，AC=5，∴∠B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60°∵DE垂直平分BC，∴∠BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90°﹣30°=60°．∴∠BDE對頂角=60°，∴圖中等于60°的角的個數(shù)是4．故選C．點評：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．由易到難逐個尋找，做到不重不漏．8．（2014秋?騰沖縣校級期末）如圖，已知BD是△ABC的中線，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周長的差是（）A．2B．3C．6D．不能確定考點：三角形的角平分線、中線和高．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題．分析：根據(jù)三角形的中線得出AD=CD，根據(jù)三角形的周長求出即可．解答：解：∵BD是△ABC的中線，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周長的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故選A．點評：本題主要考查對三角形的中線的理解和掌握，能正確地進行計算是解此題的關(guān)鍵．9．（2014春?棲霞市期末）在Rt△ABC中，如圖所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，點D到AB的距離DE=3.8cm，則BC等于（）A．3.8cmB．7.6cmC．11.4cmD．11.2cm考點：角平分線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：由∠C=90°，∠CAB=60°，可得∠B的度數(shù)，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC=DE=3.8，∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．故選C．點評：本題主要考查平分線的性質(zhì)，由已知能夠注意到D到AB的距離DE即為CD長，是解題的關(guān)鍵．10．（2014秋?博野縣期末）△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等；∠A=40°，則∠BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°考點：角平分線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題．分析：由已知，O到三角形三邊距離相等，得O是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．解答：解：由已知，O到三角形三邊距離相等，所以O(shè)是內(nèi)心，即三條角平分線交點，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180﹣40=140∠OBC+∠OCB=70∠BOC=180﹣70=110°故選A．點評：此題主要考查學(xué)生對角平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識點的理解和掌握，難度不大，是一道基礎(chǔ)題．11．（2013秋?潮陽區(qū)期末）如圖，已知點P在∠AOB的平分線OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，則PF的長為（）A．2B．4C．6D．8考點：角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題．分析：利用角平分線性質(zhì)得出∠POF=∠POE，然后利用AAS定理求證△POE≌△POF，即可求出PF的長．解答：解：∵OC平分∠AOB，∴∠POF=∠POE，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO，PO為公共邊，∴△POE≌△POF，∴PF=PE=6．故選C．點評：此題考查學(xué)生對角平分線性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是求證△POE≌△POF．12．（2013秋?馬尾區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，DE是AB的垂直平分線，交BC于點D，交AB于點E，已知AE=1cm，△ACD的周長為12cm，則△ABC的周長是（）A．13cmB．14cmC．15cmD．16cm考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：要求△ABC的周長，先有AE可求出AB，只要求出AC+BC即可，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知，AD=BD，于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周長，答案可得．解答：解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AD=BD，AB=2AE=2又∵△ACD的周長=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12∴△ABC的周長是12+2=14cm．故選B點評：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等；進行線段的等效轉(zhuǎn)移，把已知與未知聯(lián)系起來是正確解答本題的關(guān)鍵．13．（2013秋?西城區(qū)期末）如圖，∠BAC=130°，若MP和QN分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ等于（）A．50°B．75°C．80°D．105°考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=∠BAP，∠C=∠QAC，求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案．解答：解：∵MP和QN分別垂直平分AB和AC，∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°，故選：C．點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，等邊對等角．14．（2014秋?東莞市校級期中）如圖，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的條件是（）A．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′考點：直角三角形全等的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．解答：解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故選C．點評：此題主要考查學(xué)生對直角三角形全等的判定的理解和掌握，難度不大，是一道基礎(chǔ)題．15．（2014秋?淄川區(qū)校級期中）如圖，MN是線段AB的垂直平分線，C在MN外，且與A點在MN的同一側(cè)，BC交MN于P點，則（）A．BC＞PC+APB．BC＜PC+APC．BC=PC+APD．BC≥PC+AP考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：從已知條件進行思考，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PA=PB，結(jié)合圖形知BC=PB+PC，通過等量代換得到答案．解答：解：∵點P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB．∵BC=PC+BP，∴BC=PC+AP．故選C．點評：本題考查了垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等；結(jié)合圖形，進行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．16．（2014秋?萬州區(qū)校級期中）如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）A．90°﹣∠AB．90°﹣∠AC．180°﹣∠AD．45°﹣∠A考點：等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：由AB=AC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由BF=CD，BD=CE，利用SAS得到三角形FBD與三角形DEC全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到一對角相等，即可表示出∠EDF．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C°，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90°+∠A，則∠EDF=180°﹣（∠FDB+∠EDC）=90°﹣∠A．故選B．點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．17．（2014秋?泰山區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列結(jié)論不一定成立的是（）A．△ABD≌△ACDB．AD是△ABC的高線C．AD是△ABC的角平分線D．△ABC是等邊三角形考點：等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：利用等腰三角形的性質(zhì)逐項判斷即可．解答：解：A、在△ABD和△ACD中，，所以△ABD≌△ACD，所以A正確；B、因為AB=AC，AD平分∠BAC，所以AD是BC邊上的高，所以B正確；C、由條件可知AD為△ABC的角平分線；D、由條件無法得出AB=AC=BC，所以△ABC不一定是等邊三角形，所以D不正確；故選D．點評：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2014秋?晉江市校級月考）如圖，點P是△ABC內(nèi)的一點，若PB=PC，則（）A．點P在∠ABC的平分線上B．點P在∠ACB的平分線上C．點P在邊AB的垂直平分線上D．點P在邊BC的垂直平分線上考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上由PC=PB即可得出P在線段BC的垂直平分線上．解答：解：∵PB=PC，∴P在線段BC的垂直平分線上，故選D．點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線定理，注意：到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．19．（2013?河西區(qū)二模）如圖，在∠ECF的兩邊上有點B，A，D，BC=BD=DA，且∠ADF=75°，則∠ECF的度數(shù)為（）A．15°B．20°C．25°D．30°考點：等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角和內(nèi)角的關(guān)系，逐步推出∠ECF的度數(shù)．解答：解：∵BC=BD=DA，∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD，∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°．故選：C．點評：考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等，三角形外角和內(nèi)角的運用．20．（2013秋?盱眙縣校級期中）如圖，P為∠AOB的平分線OC上任意一點，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，連接MN交OP于點D．則①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND．其中正確的有（）A．1個B．2個C．3個D．4個考點：角平分線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：由已知很易得到△OPM≌△OPN，從而得角相等，邊相等，進而得△OMP≌△ONP，△PMD≌△PND，可得MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，答案可得．解答：解：P為∠AOB的平分線OC上任意一點，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N連接MN交OP于點D，∴∠MOP=∠NOP，∠OMP=∠ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=NP，OM=ON，又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，∴OP⊥MN∴①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND都正確．故選D．點評：本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，即角平分線上的一點到兩邊的距離相等；發(fā)現(xiàn)并利用△OMD≌△OND是解決本題的關(guān)鍵，證明兩線垂直時常常通過證兩角相等且互補來解決．二．解答題（共10小題）21．（2014秋?黃浦區(qū)期末）如圖，已知ON是∠AOB的平分線，OM、OC是∠AOB外的射線．（1）如果∠AOC=α，∠BOC=β，請用含有α，β的式子表示∠NOC．（2）如果∠BOC=90°，OM平分∠AOC，那么∠MON的度數(shù)是多少？考點：角平分線的定義．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）先求出∠AOB=α﹣β，再利用角平分線求出∠AON，即可得出∠NOC；（2）先利用角平分線求出∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，即可得出∠MON=∠BOC．解答：解：（1）∵∠AOC=α，∠BOC=β，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠AOB的平分線，∴∠AON=（α﹣β），∠NOC=α﹣（α﹣β）=（α+β）；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，∴∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=（∠AOC﹣∠AOB）=∠BOC=×90°=45°．點評：本題考查了角平分線的定義和角的計算；弄清各個角之間的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．22．（2014秋?阿壩州期末）如圖，已知：E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，連接CD，且交OE于點F．（1）求證：OE是CD的垂直平分線．（2）若∠AOB=60°，請你探究OE，EF之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：探究型．分析：（1）先根據(jù)E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)即可得出OE是CD的垂直平分線；（2）先根據(jù)E是∠AOB的平分線，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性質(zhì)可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出結(jié)論．解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分線，∴OE是CD的垂直平分線；（2）∵OE是∠AOB的平分線，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．點評：本題考查的是角平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．23．（2014秋?花垣縣期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之間），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，試求△DFC的周長．考點：角平分線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證∠ABD=∠CBD，即可求得∠CBD=∠C，即BD=CD，再根據(jù)角平分線上的點到角兩邊距離相等即可求得DE=DF，即可解題．解答：解：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=CD，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∴△DFC的周長=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．點評：本題考查了角平分線上點到角兩邊距離相等的性質(zhì)，考查了角平分線平分角的性質(zhì)，考查了三角形周長的計算，本題中求證DE=DF是解題的關(guān)鍵．24．（2014秋?大石橋市期末）如圖，點D是△ABC中BC邊上的一點，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度數(shù)．考點：等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，∠DBA=∠C，從而可推出∠BAC=3∠DBA，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠DBA的度數(shù)，從而不難求得∠BAC的度數(shù)．解答：解：∵AD=BD∴設(shè)∠BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠DBA=36°∴∠BAC=3∠DBA=108°．點評：此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用能力；求得角之間的關(guān)系利用內(nèi)角和求解是正確解答本題的關(guān)鍵．25．（2014秋?安溪縣期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=α．（1）直接寫出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；（2）以點B為圓心、BC長為半徑畫弧，分別交AC、AB于D、E兩點，并連接BD、DE．若=30°，求∠BDE的度數(shù)．考點：等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)即可求得∠ABC的大?。唬?）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BCD=∠BDC，再求出∠CBD，然后根據(jù)∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ABD，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)計算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小為×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣×30°=75°，由題意得：BC=BD=BE，由BC=BD得∠BDC=∠C=75°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°，由BD=BE得．故∠BDE的度數(shù)是67.5°．點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了等腰三角形兩底角相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（2014秋?靜寧縣校級期中）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點D是BC的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．求證：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．考點：等腰三角形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：由條件可得出DE=DF，可證明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定可得出結(jié)論．解答：證明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C；（2）由（1）可得∠B=∠C，∴△ABC為等腰三角形．點評：本題主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)得出DE=DF是解題的關(guān)鍵．27．（2012秋?天津期末）如圖，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分線EF交AC于點D，求∠DBC的度數(shù)．考點：線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：求出∠ABC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A，根據(jù)線段垂直平分線得出AD=BD，求出∠ABD，即可求出答案．解答：解：∵AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF是AB的垂直平分線，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=67°﹣46°=21°