采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析s域到z域的映射復(fù)變量s和z的相互關(guān)系為

z=esT，式中T為采樣周期s域中的任意點可表示為，映射到z域則為于是，s域到z域的基本映射關(guān)系式為第2頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

若設(shè)復(fù)變量s在S平面上沿虛軸移動，這時s＝j(luò)ω，對應(yīng)的復(fù)變量。后者是Z平面上的一個向量，其模等于1，與頻率ω?zé)o關(guān)；其相角為ωT，隨頻率ω而改變。

可見，S平面上的虛軸映射到Z平面上，為以原點為圓心的單位圓。

當(dāng)s位于S平面虛軸的左邊時，σ為負(fù)數(shù)，小于1。反之，當(dāng)s位于s平面虛軸的右半平面時，為正數(shù)，大于1。s平面的左、右半平面在z平面上的映像為單位圓的內(nèi)、外部區(qū)域。第3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天圖8-21：線性采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件第4頁,共23頁，2024年2月25日，星期天線性采樣系統(tǒng)如圖8-21所示。其特征方程為

顯然，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根λ1、λ2、…λn即是閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點。在z域中，離散系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件是：當(dāng)且僅當(dāng)離散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的單位圓內(nèi)，或者所有特征根的模均小于1，相應(yīng)的線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第5頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

應(yīng)當(dāng)指出，如同分析連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性一樣，用解特征方程根的方法來判別高階采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性是很不方便的。因此，需要采用一些比較實用的判別系統(tǒng)穩(wěn)定的方法。其中比較常用的代數(shù)判據(jù)就是勞斯判據(jù)。第6頁,共23頁，2024年2月25日，星期天8.6.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)

對于線性連續(xù)系統(tǒng)，可以應(yīng)用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但是，對于線性采樣系統(tǒng)，直接應(yīng)用勞斯判據(jù)是不行的，因為勞斯判據(jù)只能判別特征方程的根是否在復(fù)變量s平面虛軸的左半部。因此，必須采用一種新的變換，使z平面上的單位圓，在新的坐標(biāo)系中的映象為虛軸。這種新的坐標(biāo)變換，稱為雙線性變換，又稱為W變換。第7頁,共23頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)復(fù)變函數(shù)雙線性變換公式，令或式中z和w均為復(fù)數(shù)，分別把它們表示成實部和虛部相加的形式，即第8頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

當(dāng)動點z在Z平面的單位圓上和單位圓之內(nèi)時，應(yīng)滿足：

左半W平面對應(yīng)Z平面單位圓內(nèi)的部分，W平面的虛軸對應(yīng)Z平面的單位圓上，可見圖8-22。因此經(jīng)過雙線性變換后，可以使用勞斯判據(jù)了。

第9頁,共23頁，2024年2月25日，星期天圖8-22：Z平面和W平面的對應(yīng)關(guān)系

離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，由特征方程1+GH（z）=0的所有根嚴(yán)格位于z平面上的單位圓內(nèi)，轉(zhuǎn)換為特征方程1+GH（w）=0的所有根嚴(yán)格位于左半W平面。第10頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例8-16

設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖8-23所示，其中采樣周期T=0.1(s)，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時k的變化范圍。圖8-23：例8-16閉環(huán)系統(tǒng)圖第11頁,共23頁，2024年2月25日，星期天解：求出G(s)的z變換閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為故閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為代入上式，得第12頁,共23頁，2024年2月25日，星期天化簡后，得W域特征方程第13頁,共23頁，2024年2月25日，星期天列出勞斯表

從勞斯表第一列系數(shù)可以看出，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使k>0，2.736-0.632k>0，即k<4.33。第14頁,共23頁，2024年2月25日，星期天8.6.3朱利穩(wěn)定判據(jù)

朱利判據(jù)是直接在Z域內(nèi)應(yīng)用的穩(wěn)定判據(jù)，類似于連續(xù)系統(tǒng)中的赫爾維茨判據(jù)，朱利判據(jù)是根據(jù)離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系數(shù)，判別其根是否位于Z平面上的單位圓內(nèi)，從而判斷該離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可寫為D(z)=anzn+…+a2z2+a1z+a0=0an>0

特征方程的系數(shù)，按照下述方法構(gòu)造(2n－3)行、(n+1)列朱利陣列，見表8-2：第15頁,共23頁，2024年2月25日，星期天表8-2朱利陣列第16頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

在朱利陣列中，第2k+2行各元，是2k+1行各元的反序排列。從第三行起，陣列中各元的定義如下：k=0,1,…,n－1k=0,1,…,n－2k=0,1,…,n－3……………第17頁,共23頁，2024年2月25日，星期天朱利穩(wěn)定判據(jù)特征方程D(z)=0的根，全部位于z平面上單位圓內(nèi)的充分必要條件是D(1)>0，D(－1)>0，當(dāng)n為偶數(shù)時；D(－1)<0，當(dāng)n為奇數(shù)時；以及下列(n－1)個約束條件成立|a0|<an，|b0|>|bn－1|，|c0|>|cn－2||d0|>|dn－3|，······，|q0|>|q2|

只有當(dāng)上述諸條件均滿足時，離散系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。第18頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例8-17：已知離散系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為試用朱利判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解由于n=4,2n－3=5,故朱利陣列有5行5列。根據(jù)給定的D(z)知：a0=0.002,a1=0.08,a2=0.4,a3=－1.368,a4=1第19頁,共23頁，2024年2月25日，星期天計算朱利陣列中的元素bk和ck：第20頁,共23頁，2024年2月25日，星期天作出如下朱利陣列：第21頁,共23頁，2024年2月25日，星期天因為D(1)=0.114>0,D(－1)=2.69>0|a0|=0.002,a4=1,滿足|a0|<a4|b0|=1,|b3|=0.082,滿足|b0|>|b3||c0|=0.993,|c2|=0.511,滿足|c0|>|c2|故由朱利穩(wěn)定判據(jù)知，該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第22頁,共23頁，2024年2月25日，星期天8.6.4采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響例8-18

設(shè)有零階保持器的離散系統(tǒng)如圖8-24所示，試求：（1）當(dāng)采樣周期