第四十四講初中數(shù)學(xué)競賽試題

1991年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽決賽試題

第一試

一、選擇題，本題共有8個(gè)小題，每小題都給出了(A)、(B)(C)、(D)四個(gè)答案結(jié)論，其中只有一個(gè)是正

確的.請(qǐng)把正確結(jié)論的代表字母寫在題后的圓括號(hào)內(nèi).

1.設(shè)等式+Ja(y_a)=在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立,其中a,x,y是兩兩不同的實(shí)數(shù)，則

22

31+盯一)；的值是()

x~-xy+y

(A)3；(B)-(C)2；(D)2

33

2.如圖，ABHEF//CD,已知/廬20,⑺=80,仇＞100,那么〃的值是()

(A)10(B)12(C)16(D)18

3.方程，一忖一1二。的解是()

(B)T土石生叵或7土行；(D)士T,石

⑴萼(C)

2222

2

4.已知：x=-(1991"-1991")(n是自然數(shù)).那么(x-標(biāo)［^)"，的值是()

2

(A)1991T(B)-1991-1(C)(-l)n1991(D)(-1)"1991T

5.若Ix2x3x…x99xlOO=12"M,其中〃為自然數(shù)，n為使得等式成立的最大的自然數(shù)，則M()

(A)能被2整除，但不能被3整除：

(B)能被3整除，但不能被2整除；

(C)能被4整除，但不能被3整除；

(D)不能被3整除，也不能被2整除.

6.若a,c,d是整數(shù)，6是正整數(shù)，且滿足a+&=c,b+c=d,c+d=a,那么

a+6+c+d的最大值是()4

(A)-1；(B)-5；(C)0；(D)1.yA

7.如圖，正方形0PQR內(nèi)接于AABC.已知AA0R、△BOP△CRQ/\

的面積分別是Si=l,&=3和$3=1，那么，正方形OPQR的$=1"

邊長是()/\

(A)拒；(B)石；(02；(D)3./院=3__________史

BP。C

8.在銳角AABC中，AC=1,AB=c,NA=60°,△ABC的外接圓半徑RW1,則()

(A)，〈c<2(B)0<c^-(C)c>2(D)c=2

22

二、填空題

1.E是平行四邊形ABCD中BC邊的中點(diǎn)，AE交對(duì)角線BD于G,如果ABEG的面積是

1,則平行四邊形ABCD的面積是.

2.已知關(guān)于x的一元二次方程ai+/?+c=0沒有實(shí)數(shù)解.甲由于看錯(cuò)了二次項(xiàng)系數(shù)，誤求得兩根為2和

2b+3c

4；乙由于看錯(cuò)了某一項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，誤求得兩根為-1和4,那么,

3-3

3.設(shè)m,n,p,q為非負(fù)數(shù)，且對(duì)一"切x>0,恒成立,則(/+2”+0產(chǎn)

x"

4.四邊形ABCD中，/ABC=135°,ZBCD=120°

一、x+y,x-y,xy,土四個(gè)數(shù)中的三個(gè)又相同的數(shù)值，求出所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對(duì)(x,y).

>'

二、△ABC中，AB<AC<BC,D點(diǎn)在BC上,

的外接圓交于F點(diǎn)(如圖).求證：BF=AF+CF

三、將正方形ABCD分割為/個(gè)相等的小方格(n是自然數(shù))，把相對(duì)的頂點(diǎn)A,C染成紅色，把B,D染成藍(lán)

色，其他交點(diǎn)任意染成紅、藍(lán)兩色中的一種顏色.證明：恰有三個(gè)頂點(diǎn)同色的小方格的數(shù)目必是偶數(shù).

1992年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽決賽試題

第一試

一、選擇題，本題共有8個(gè)題，每小題都給出了(A),(B),(C),(D)四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的.請(qǐng)把正確結(jié)

論的代表字母寫在題后的圓括號(hào)內(nèi).

1.滿足卜―6|+ab=l的非負(fù)整數(shù)①力)的個(gè)數(shù)是()

(A)l;(B)2;(C)3;(D)4.

22

2.若x0是,一元二次方程ax+bx+c=0(。w0)的根，則判別式△=/一4ac與平方式M=(2ax0+b)的

關(guān)系是()

(A)A>M(B)A=M(C)A>M;(D)不確定.

3.若/—13x+l=0,則1+”的個(gè)位數(shù)字是()

(A)l;(B)3;(C)5;(D)7.

答()

4.在半徑為1的圓中有一內(nèi)接多邊形，若它的邊長皆大于1且小于J5,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)必為()

(A)7;(B)6;(C)5;(D)4.

k

5.如圖，正比例函數(shù)y=x和y=ax(a>0)的圖像與反比例函數(shù)y=—(k>0)的圖像分別相交于A點(diǎn)

xy

和C點(diǎn).若RtAAOB和AC。。的面積分別為Si和S2,則S,與S2的關(guān)系是()4

(A)S,>52(B)5,=52U

(C)S|VS2(D)不確定j^^^**^***"^**

6.在一個(gè)由8x8個(gè)方格組成的邊長為8的正方形棋盤內(nèi)放一個(gè)半徑為4的圓，若把圓周經(jīng)過的"

所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為加,把圓周經(jīng)過的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為$2,則」的整

數(shù)部分是()

(A)0;(B)l;(C)2;(D)3.

7.如圖，在等腰梯形ABCD中，ABUCD,AB=2CD,NA=60°，又E是底邊AB上一點(diǎn)，且

FE=F8=AC,E4=AB.則等于()

(A)l:2(B)l:3(C)2:5①)3:10

8.設(shè)x],x2,x3-?,x9均為正整數(shù)，且X]<%<…</，為+x2-i—+xg-220，則當(dāng)

X]+X,+Xj+x4+x5的值最大時(shí),x9—X1的最小值是()

(A)8;(B)9;(C)10;(D)ll.

二.填空題

1.若一等腰三角形的底邊上的高等于18cm,腰上的中線等15cm,則這個(gè)等腰三角形的面積等于

2.若xW0，則Vi+-y2+-v4-V1+7的最大值是

X

3.在A48C中,/C=90°,NA和N8的平分線相交于P點(diǎn)，又PELUS于E點(diǎn)，若8C=2,AC=3,則

AEEB=.

4.若a,b都是正實(shí)數(shù)，且L—L一——=0,則(2)3+(3)3=__________

aba+bah

第一試

一、設(shè)等腰三角形的一腰與底邊的長分別是方程x2-6x+a=0的兩根，當(dāng)這樣的三角形只有一個(gè)時(shí)，求a

的取值范圍.

二、如圖，在MBC中，AB=AC,。是底邊BC上一點(diǎn)，E是線段AO上一點(diǎn)，且NBED=2NCED=ZA.

文六個(gè)不同數(shù)字組成，現(xiàn)有四個(gè)編碼如下:

C：612305D：316250

已知編碼A、B、C、D各恰有兩個(gè)數(shù)字的位置與M和N相同.D恰有三個(gè)數(shù)字的位置與M和N相同.試求:

M和N.

1993年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽決賽試題

第一試

一、選擇題，本題共有8個(gè)小題，每小題都給出了(A),(B),(C),(D)四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的.請(qǐng)把正確

結(jié)論的代表字母寫在題后的圓括號(hào)內(nèi).

1.多項(xiàng)式1除以的余式是()

(A)l;(B)-l;(C)x-l;(D)x+1;

2.對(duì)于命題

I.內(nèi)角相等的圓內(nèi)接五邊形是正五邊形.

II.內(nèi)角相等的圓內(nèi)接四邊形是正四邊形，以下四個(gè)結(jié)論中正確的是()

(A)1,11都對(duì)(B)I對(duì)，II錯(cuò)(C)I錯(cuò)，II對(duì).(D)1,11都錯(cuò).

3.設(shè)x是實(shí)數(shù)，y=|x-1|+k+1|.下列四個(gè)結(jié)論：

I.y沒有最小值；

II.只有一個(gè)x使y取到最小值；

HI.有有限多個(gè)x(不止?個(gè))使y取到最大值；

M有無窮多個(gè)x使y取到最小值.

其中正確的是()

(A)I(B)II(C)III(D)IV

4.實(shí)數(shù)七，々，》3，》4，》5滿足方程組

X[+/+￡=；

x2+x3+x4-a2;

■X3+X4+%=%；

x4+x5+xx-a4;

x5+x]+x2-a5.

其中卬,42，。3，。4，%是實(shí)常數(shù)，且“1>a2>a3>a4>a5,則演,工2，七,》4，》5的大小順序是()

(A)x,>x2>x3>x4>x5;(B)乙>x2>X]>X3>%;

(C)x3>x,>x4>x2>x5;(D)x5>x3>x,>x4>x2.

5.不等式x-l<(x-l)2<3x+7的整數(shù)解的個(gè)解()

(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于5

6.在AA8C中，NA是鈍角，。是垂心,AO=BC,則cos(NOBC+NOCB)的值是()

(A)*(B)與(C)g(D)-J.

2222

7.銳角三角ABC的三邊是a,h,c,它的外心到三邊的距離分別為m,”,p,那么m-.n-.p等于()

8.正(，1-y『可以化簡成()

(A)V3(V2+1);(B)正(蚯-1)(C)V2-1(D)V2+1

二、填空題

2

1.當(dāng)x變化時(shí)，分式：x：+6x+5的最小值是__________.

#+X+1

2.放有小球的1993個(gè)盒子從左到右排成一行,如果最左面的盒里有7個(gè)小球，且每四個(gè)相鄰的盒里共有30個(gè)

小球，那么最右面的盒里有個(gè)小球.

3.若方程-1)(--4)=%有四個(gè)非零實(shí)根，且它們?cè)跀?shù)軸上對(duì)應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)等距排列，則k=.

4.銳角三角形ABC中,NA=30。.以8C邊為直徑作圓，與AB,AC分別交于D,E,連接DE,把三角形

ABC分成三角形ADE與四邊形8OEC,設(shè)它們的面積分別為5bS2,貝US|$=,

第二試

??設(shè)H是等腰三角形ABC垂心,在底邊BC保持不變的情況下讓頂點(diǎn)A至底邊BC的距離變小,

這時(shí)乘積SMBC-S^BC的值變小，變大，還是不變?證明你的結(jié)論.入

二.\ABC中，BC=5,4c=12,48=13,在邊AB4c上分別取點(diǎn)D,E,使線段/\

OE將AABC分成面積相等的兩部分.試求這樣的線段。E的最小長度.H\

三.已知方程f+Zjx+c=0及/+CX+A=O分別各有兩個(gè)整數(shù)根匹,X2及片，石，且西工2>0,中Z>0.

(1)求證:X]<0工2<°H<0,^2<0；

(2)求證:匕-1<cW8+1;

⑶求"。所有可能的值.

1994年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

第一試

(4月3日上午8：30—9：30)

考生注意：本試共兩道大題，滿分80分.

一、選擇題(本題滿分48分，每小題6分)本題共有8個(gè)小題都給出了A,B、C,D,四個(gè)結(jié)論，其

中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把你認(rèn)為正確結(jié)論的代表字母寫在題后答案中的圓括號(hào)內(nèi)，每小題選對(duì)得6分;

不選、選錯(cuò)或選出的代表字母超過一個(gè)(不論是否寫在圓括號(hào)內(nèi))，一律得0分.

1.若0<a〈l,則產(chǎn)討-2*（1+-）X-

a1+a

可化簡為

A.—B.—C.1-a3D.a2-1

1+aa+1（答）（）

2.設(shè)a,b,c是不全相等的任意實(shí)數(shù)，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,則x,y,z（）

A.都不小于0B.都不大于0

C.至少有一個(gè)小0于D.至少有一個(gè)大于0

3.如圖1所示，半圓O的直徑在梯形ABCD的底邊AB上，且與其余三邊BC,CD,DA相切，若BC=2,

DA=3,則AB的長（）

A.等于4B.等于5

C.等于6D.不能確定

A.當(dāng)X-工土電9鋁時(shí),生皿式y(tǒng)X3一1997X—1994）3001

的值為

A.1B.-1C.22001D.-22001(答)()

5.若平行直線EF,MN與相交直線AB,CD相交成如圖2所示的

圖形，則共得同旁內(nèi)角（）

A.4對(duì)B.8對(duì)C.12對(duì)D.16對(duì)

6.若方程斤？=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)

數(shù)p的取值范圍是

1

A<o<

pp-

?4

1B.1

COYD.>

■P-P-

44

7.設(shè)銳角三角形ABC的三條高AD,BE,CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c，則

AH?AD+BH?BE+CH?CF的值是()

為一）

A-(at>+bc+ca)B.2?

2

C.-3b-4-t>c+ca)D.-b2T)

8.若a*==1994?C其中是自然數(shù)）,旦

有工+工J.貝U2a-+-t>的--切亙T育昌的用?

xyz

A.1001B.1001,3989

C.1001,1996D.1001,1996,3989

二、填空題（本題滿分32分，每小題8分）各小題只要求在所給橫線上直接填寫結(jié)果.

KIx-4-Z2

1.若在關(guān)于w的,宣等式―

2-i-2j—2x+a=+七>

中,x*；色為最簡介式'且有a>b.a+b=c.貝UZ

2.當(dāng)忸+1|<6時(shí)，函數(shù)y=x|x|-2x+1的最大值

是.

3.在aABC中，設(shè)AD是高，BE是角平分線，若BC=6,CA=7,AB=8,則DE=.

4.把兩個(gè)半徑為5和一個(gè)半徑為8的圓形紙片放在桌面上，使它們兩兩外切，若要有用一個(gè)大圓形

紙片把這三個(gè)圓形紙片完全蓋住，則這個(gè)大圓形紙片的最小半徑等于.

第AA*—--■?*—試U

（4月3日上午10：00—11：30）

考生注意：本試共三道大題，滿分60分.

一、（本題滿分20分）如圖所示，在aABC中，AB=AC.任意延長CA到P,再延長AB到Q,使AP=BQ.

求證：^ABC的外心O與A,P,Q四點(diǎn)共圓。

思路一：△OCP絲/XOAQ-fNCPO=/AQO-fOAPQ四點(diǎn)共圓（視角定理.）

思路二：△PAOg^QBOff/0PA=/AQ0f-0APQ四點(diǎn)共圓（視角定理.）

連接OB、OAoZ0BA=Z0AB=Z0ACAZPAO=ZQBO

PA=QBAO=BO/.APAO^AQBOZ0PA=ZAQ0所以0與A,P,Q,四點(diǎn)同園

二、（本題滿分20分）周長為6,面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，請(qǐng)給出證明；若存在，

請(qǐng)證明共有幾個(gè)？

三、（本題滿分20分）某次數(shù)學(xué)競賽共有15個(gè)題.下表是對(duì)于做對(duì)n（n=0,1,2,……，15）個(gè)題的人數(shù)的一個(gè)

統(tǒng)計(jì).n0123……12131415,做對(duì)n個(gè)題的人數(shù)781021……15631。如果又知其中做對(duì)4個(gè)題

和4個(gè)題以上的學(xué)生每人平均做對(duì)6個(gè)題，做對(duì)10個(gè)題和10個(gè)題以下的學(xué)生每人平均做對(duì)4個(gè)題.問這個(gè)表至

少統(tǒng)計(jì)了多少人？

1994年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案

第一試答案

一、選擇題；

小題號(hào)12345678

答案ADBBDCBC

二、填空題:

1-42163孚413；

第二試提示及答案.

一、連結(jié)OA,OC,OP,0Q.證明△OCPg/XOAQ,于是NCPO=/AQO,所以0,A,P,Q四點(diǎn)共圓.

二.這樣的三直角三角形存在，恰有一個(gè)，

兩條直角邊為竽與昔紅，斜邊為g

三、這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了200人.

1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)褰試題

第一試

一、選擇題

1.已知a=355,b=4M,c=533貝J有[]

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.方程組|"的正整數(shù)解的組數(shù)是

產(chǎn)-yz=23

[]

A.1B.2C.3D.4

3.如果方程儀-1）儀2—2*—10）=0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長，那

么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.OMmMlB.mN,

33

U?--<mM1D■---MmM1

AA

4.如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一圓，那么此圓的周長為

[]

A.62xB.63兀C.64無D.65%

5.設(shè)AB是。。的一條弦，CE慮:。0的直徑，且與弦AB相交，記乂=IS△CAB

—SADABI'N=2SAOAB,則[】

A.M>NB.M=NC.M<ND.M、N的大小關(guān)系不確定

6.設(shè)實(shí)數(shù)a、刪足不等式IIaI—(a+b)I<Ia—a+bII>貝

A.a>0且b>0B.2<0且1>>0

C.2>0且1)<0D.2<0且1)<0

二、埴空題

1.在142432...,952這95個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有個(gè).

2.己知a是方程x°+x——=0的根，則

4

54廠;~5-的值等于___.

3.設(shè)x為正實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x'-x+」的最小值

X

是—.

4.以線段AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O,C是半圓周上的點(diǎn),且OC2=AC-BC,

則NCAB=.

第二試

一、已知NACE=NCDE=90°,點(diǎn)Bi5ECE上，CA=CB=CD,經(jīng)A、C、D

三點(diǎn)的圓交AB于F(如圖)求證F為aCDE的內(nèi)心.

二、在坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)

的點(diǎn)稱為整點(diǎn).試在二次函數(shù)y=--—+-

10105

的圖象上找出滿足y<IxI的所有整點(diǎn)(x,y).并明理由.

三、試證：每個(gè)大于6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之

和.

199年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)褰參考答案

第一試

一、選擇題

L講解：這類指數(shù)幕的比較大小問題，通常是化為同底然后比較指數(shù)，或化

為同指數(shù)然后比較底數(shù)，本題是化為同指數(shù)，有

c=(53)11=125n

<24311=(35)11=a

<25611=(44)11=b.選C.

利用lg2=0.3010,lg3=0.4771計(jì)算Iga、Igb、1g曲可以，但沒有優(yōu)越性。

2.講解：這類方程是熟知的.先由第二個(gè)方程確定z=l,進(jìn)而可求出兩個(gè)解：

(2,21,1)、(20,3,1).也可以不解方程組

：xy+y=63,①

x+y=23,

直接判斷：因?yàn)閤Wy(否則不是正整數(shù))，故方程組①或無解或有兩個(gè)解，對(duì)照

選擇支，選B.

3.講解：顯然，方程的一個(gè)根為1,另兩根之和為XI+X2=2>1。三根能作為

一個(gè)三角形的三邊，須且只須IX]—X2IVI又

I乂1一盯I=:咫=&-4m<1,

IaI

有0W4—4mV1.

解得

4

但作為選擇題，只須取m=之代入.得方程的根

4

為1.?.1,不能組成三角形,故包括？的A.B.

224

D均可否定，選C.

4.講解：四個(gè)選擇支表明，II的周長存在且唯一，從而直徑也存在且唯一.又

AB2+AD2

=252+602

=52X(52+122)

=52X132

=(32+42)X132

=392+522

=BC2+CD2

故可取BD=65為直徑，得周長為65允，選D.

5.講解：此題的得分率最高，但并不表明此題最容易，因?yàn)橛行┛忌睦碛?/p>

是錯(cuò)誤的.比如有的考生取AB為直徑，則M=N=O,于是就選B.其實(shí)，這只能排

除A、C,不能排除D.

圖2

不失一般性，設(shè)CEZED,在CE上取CF=ED,則有OF=OE,且S/\AC￡-S

AADE=SAAEF=2SAAOE-同理，SABCE-SABDE=2SABOE-相加，得$也

ABC-SADAB=2SAOAB,即乂=郎選B.

若過C、D、g別作AB的垂線(圖3),CE_LAB、DF_LAB、OL±AB.垂足分

別為E、F、L.連CF、DE,可得梯形CEDF.又由垂徑分弦定理，知L是EF的中點(diǎn).根

據(jù)課本上做過的一道作業(yè)：梯形對(duì)角線中點(diǎn)的連線平行底邊，并且等于兩底差的一

半，有

ICE-DFI=20L.

兩邊乘以《AB.可得

IS42C-S心心I=

即M=N.選B.

6.講解：取a=-l、b=2可否定A、C、D,選B.一殷地，對(duì)已知不等式平方，

有

IaI(a+b)>aIa+bI.

顯然IaII(a+b)I>0(若等于0,則與上式矛盾)，有

a+b〉a

Ia+bIIaI>

兩邊都只能取1或-1，故只有1>-1,即

a+b—---------1,

Ia+bllai

有aVO且a+b>0,從而b>?a>0.選B.

二、填空題

1.講解：本題雖然以計(jì)算為載體，但首先要有試驗(yàn)觀察的能力.經(jīng)計(jì)算12,

22,1O2,知十位數(shù)字為奇數(shù)的只有42=16,62=36.然后，對(duì)兩位數(shù)10a+b,

有

(10a+b)2=20a(5a+b)+b2.

其十位數(shù)字為b2的十位數(shù)字加上一個(gè)偶數(shù)，故兩位數(shù)的平方中，也中有b=4或

6時(shí)，其十位數(shù)字才會(huì)為奇數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，在1,2,…，95中個(gè)位數(shù)出現(xiàn)了幾次4

或6,有2X9+1=19.

2.講解：這類問題一般部先化簡后代值，直接把a(bǔ)

=三在代入將導(dǎo)致復(fù)雜的計(jì)算.

由己知，有a?+a=①

4

原式=

a3(a-l)(a+l)a

=(￡+a)+j=J22=2O

(a3+a)J(1>

學(xué)生在這道題上的錯(cuò)誤主要是化簡的方向不明確，最后又不會(huì)將a2+a作為整體

代入.這里關(guān)鍵是整體代入，抓住這一點(diǎn)，計(jì)算可以靈活.比如，由①有

a3+a2=-]??>?②

4

54J

a+a=la③

4

由②一①，得

aJ-a=^(a-1).④

由③一②并將④代入，得

a—%1(**->)=-l(a-l).

⑤

于是，原式=二L=iaa'+a+l)

總門)

=16(1+1)=20.

還可由①得

a2+a+1=?,

4

⑥?、菁吹盟?

3.講解：這個(gè)題目是將二次函數(shù)y=x2-x與反比例函數(shù)

y=L作疊加.要求學(xué)生在掌握二次函數(shù)求最值

X

(配方法)的基礎(chǔ)上，做綜合性與靈活性的運(yùn)用.

進(jìn)行兩次配方I

1

y=(x-l)2+(7x-+1>1.

或y=(x2-l)(x-1)+〉］.

因而x=l時(shí)，y有最小值1.

4.講解：此題由至者提供，原題是求sm

NCAB,讓初中生用代數(shù)、幾何相結(jié)合的方法求特殊角的三角函數(shù)值sin75°

sinl50.解法如下：

圖5

首先NACB=9.進(jìn)而8=LAB,代入己

。.2

知條件.有

(jAB)J=AC?BC,①

與AB2=AB2+AC2②

聯(lián)立，可推出

AC+BC=J|AB.③

而式①、③表明，AB、AC是二次方程

x2-4ABx+券=0的兩個(gè)根，解得

="正群

1*?4

當(dāng)BC=4+慮工時(shí),

4

anZCAB=(ZCAB=750)?

當(dāng)BC二必^一、4AB時(shí),

4

anZCAB==^~^(ZCAB=15*).

AB4

改為求NCAB之后，思路更寬一些.如，由

3

SAJOC=^AC-BC=2OC,

S^c=2SAW=2?goc'nZAOC.

得anNAOC

2-

當(dāng)NA0C=3(r時(shí),ZCAB=^(180,-300)

-75,?

當(dāng)NA8n15T時(shí).NCAB=g(18<T-150,)

第二試

一、講解：首先指出，本題有1X029-5（1989年）的背景，該題是：在直角△

ABC中，斜邊BC上的高，過aABD的內(nèi)心與△ACD的內(nèi)心的直線分別交迫AB和AC

于K和L,△ABC和△AKL的面積分別記為S和T.求證SN2T.

在這個(gè)題目的證明中，要用到AK=AL=AD.

今年的初中聯(lián)褰題相當(dāng)于反過來，先給出AK=AL=AD（斜邊上的高），再求證

KL通過^ABD、△ADC的內(nèi)心（圖7）.

其次指出，本題的證法很多，但思路主要有兩個(gè)：其一，連FC、FD、FE,然

后證其中兩個(gè)為相應(yīng)的角平分線；其二是過F作三邊的垂線，然后證明其中兩條垂線

段相等.下面是幾個(gè)有代表性的證法.

證法1：如圖6,連DF,則由已知，有

ZCDF=ZCAB=45*=IzCDE.故DF為

2

NCDE的平分線.

連BD、CF,由CD=CB,知

ZFBD=ZCBD-45°

=ZCDB-450=ZFDB,

得FB=FD,即F到B、D和距離相等，F(xiàn)在線或BD的垂直平分線上，從而也在等

膜三角形CBD的頂角平分線上，CF是NECD的平分線.

由于F是△口）￡上兩條角平分線的交點(diǎn)，因而就是△CDE的內(nèi)心.

證法2：同證法1,得出NCDF=45°=90°-45°=NFDE之后，由于NABC=

NFDE,故有B、E、D、F四點(diǎn)共圖.連EF,在證得

NFBD=NFDB之后，立即有NFED=NFBD=NFDB=NFEB,即EF是NCED

的平分線.

本來，點(diǎn)E的信息很少，證EF為角平分線應(yīng)該是比較難的，但四點(diǎn)共同把許多

已知信息集中并轉(zhuǎn)移到E上來了，因而證法2并不比證法1復(fù)雜.

由這個(gè)證明可知，F(xiàn)是也阻的外心.

ZCDF=ZCAB=45*=」NCDE,知DF是

2

N8E的平分線.故F為CDE的內(nèi)心.

證法明如圖8,只證CF為NDCE的平分線.由NAGC=NGBA+NGAB=45

°+N2,

ZAGC=ZADC=ZCAD=ZCAB-Z1

=450+N1

得N1=N2.

從而NDCF=NGCF,

得CF為NDCE的平分線.

證法5：首先DF是NCDE的平分線，故

△CDE的外心I在直線DF上.

現(xiàn)以CA為、軸、CB為x軸建立坐標(biāo)系，升記CA=CB=CD=&則直線AB是一次

函數(shù)

y=-x+d①

的圖冢(圖9).若記內(nèi)心I的坐標(biāo)為(xpyi),則

xi+yi=CH+lH

=CH+HB=CB=d

滿足①，即I在直線AB上，但I(xiàn)在DF上，故I是AB與DF的交點(diǎn).由交點(diǎn)的唯一性

知I就是F,從而證得F為Rt4CDE的內(nèi)心.

還可延長E改。O于Pi，而CP為直徑來證.

二、講解：此題的原型由筆者提供.題目是：

坐標(biāo)平面上縱、橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn).

對(duì)二次函數(shù)y=1x2+lx-1995.請(qǐng)找出其位

于第一家限內(nèi)，縱坐標(biāo)小于橫

坐標(biāo)的格點(diǎn).

這個(gè)題目的實(shí)質(zhì)是解不等式

1<|xJ+gxT995cx,

求正整數(shù)解.直接解，數(shù)字較繁.但有巧法，由

l+2+?“+x=冬辿=1995+丫

及l(fā)WyVx,

知1+2H------F(x-l)<1995<l+2+-+x.

但1953=1+2+…+62V1995V1+2+…+62+63=2016,得x=63,從而y=

21,所求的格點(diǎn)為(21,63).

經(jīng)過命題組的修改之后，數(shù)據(jù)更整弁且便于直接計(jì)算.

解法1,已知即x=：+[84|x],

有x2-x+18W10IxI.

當(dāng)xZO時(shí)，有x2—llx+18W0,

得2WxW9,代入二次函數(shù)得合乎條件的4個(gè)整點(diǎn)：(2,2)44,3),(7,6)49,9);

當(dāng)xVO時(shí)，有

X2+9X+18W0,

得-6WXW-3,代入二次函數(shù)，得合乎條件的2個(gè)整點(diǎn):

(-6,6),(-3,3)?

解法2,由丫=x(x;：+】8為整數(shù),知x關(guān)于模10的

余數(shù)只能為2(或-8)、、7(36-3).9(或-1).

對(duì)x^O,取x=2,4,7,9,12,14,…順次代入，得(2,2)^(4,3)、(7,6)、(9,9),

且當(dāng)x>9時(shí)，由

1“11、249]、1...ir49.

y-x=-[(x--)--]>—[(9----1=

’10lr4」10124J

0,知y〉-x,再無滿足《1x1的解.

對(duì)x<0,取x=-l,-3,-6：-8,…順次代入，得(-3,3)、(-6,6),且當(dāng)xv-6時(shí)，由

y+X=—[(x+—)2——]

>1OLV24J

1QQ

>—[-6+—)a--]=O.

1044

知安-x,再無滿足yWIxI的解.

故一共有6個(gè)整點(diǎn)，圖示略.

解法3：先找滿足條件y=IxI的整點(diǎn)，即分別解方程

x2-llx+18=0①

2

x+9x4-18=0②

可得(2,2)、(9,9)、(-6.6)、(-3,3).

再找滿足y<Ix|的整點(diǎn)，這時(shí)

2VxV9或-6VxV-3,

依次檢驗(yàn)得(4,3)^(7,6).故共有6個(gè)整點(diǎn).

三、講解：直觀上可以這樣看，當(dāng)11>封，在2,3,…，n-2中,必有一個(gè)數(shù)

A與n5?質(zhì)(2WAWn-2),記

B=n—A"2,

有n=A+B.

此時(shí)，A與B必互質(zhì)，否則A與B有公約數(shù)d>l,貝Ud也是n的約數(shù),從而A與n有

大于1的公約數(shù)，與A、n互質(zhì)矛盾.

但是，對(duì)于初中生來說，這個(gè)A的存在性有點(diǎn)抽冢，下面分情況,把它具體找

出來.

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有

n=2+(n—2),

或n=q+n+1

~~2~

(2)當(dāng)n為偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)時(shí)，有

c=n-1,Ln+4

~1~~2~,

由n>6如寧>].且耳￡,寧均為奇數(shù).

(寧，中)=(詈，4)=1.

(3)當(dāng)n為偶數(shù)，且又是4的倍數(shù)時(shí)，有

L二+工,

由n>6知用2>1,且寫2、牛均為奇數(shù),

zn-2n+2\_/n-2今

(—>—?2)一1?

1996年全國初中敬學(xué)聯(lián)褰試題

第一試

一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）

1.實(shí)1>^^足處=1.1己M=*^--+~——?

1+a1+b

N=，一+」一,則M、N的關(guān)系為[）

1+a1+b

A.M>NB.M=NC.M<ND.不確定

2.設(shè)正整數(shù)a.m.n滿足Ja?-=-Jm—■Jn,

則這樣的a、m、n的取值[]

A.有一組B.有二組C.多于二組D.不存在

3.如圖，A是半徑為1的圓。外的一點(diǎn)，0A=2,AB是圓0的切線，B是切點(diǎn)，弦BC

〃0A,連結(jié)AC,則陰置部分的面積等于[]

27X7T

4.設(shè)xi、X2是二次方程x243=0的兩個(gè)根，那么町34x22+19的值等于

[]

A.4B.8C.6D.0

5.如果一個(gè)三角形的面積和周長都被一直線所平分，那么該直線必通過這個(gè)

三角形的[]

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

6.如果20個(gè)點(diǎn)將某圖周20等分，那么頂點(diǎn)只能在這20個(gè)點(diǎn)中選取的正多邊形

的個(gè)數(shù)有[]

A.4個(gè)E.8個(gè)C.12個(gè)D.24個(gè)

二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）

■=

1.己知實(shí)數(shù)X。、y。是方程組的解.則

y=|x|+l

x。+y0工?

2.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZABN=ZMBC,BM=NM,BN=a,則點(diǎn)N到邊BC的距

離等于.

A

3.設(shè)1995x3=1996y3=1997Z3,xyz>0,且

V1995x1+1996yJ+1997z3=V1995+K/1996+V1997.

貝1口+工+2=.

xyz-----------

4.如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞遍按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°至AB'C'D'

的位置，則這兩個(gè)正方形重普部分的面積是.

第二試

一、（本題滿分如分）

某校在向“希望工程”捐款活動(dòng)中，甲班的1n個(gè)男生和11個(gè)女生的捐款總數(shù)與

乙班的9個(gè)男人和n個(gè)女生的捐款總數(shù)相等，都是（m,nWm+lln+145）元，已知每人的

捐款數(shù)相同，且都是整數(shù)元，求每人的捐款數(shù).

二、（本題滿分25分）

設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)為M,過點(diǎn)M作AD的平行線分別交AB、CD

于點(diǎn)E、F,交BC的延長線于點(diǎn)0,P是以0為圓心0M為半徑的扇上一點(diǎn)（位置如圖所示），

求證：ZOPF^ZOEP.

三、（本題滿分25分）

已知a、b、c都是正整數(shù)，且拋物線產(chǎn)的2+bx+c與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B,

若A、B到原點(diǎn)的距離都小于1,求a+b+c的最小值.

1996年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案

第一試

一、選擇題

1.B2.A

4.D5.A

二、填空題

2?6

第二試

解據(jù)題意m