2024年1月九省聯(lián)考數(shù)學真題試卷含詳解

2024年九省聯(lián)考高考數(shù)學適應性試卷（1月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位數(shù)為（

）A．142．（5分）橢圓A．

B．16B．

C．18的離心率為，則a＝（C．

）

D．20D．23．（5分）記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3+a7＝6，a12＝17，則S16＝（

）A．120

B．140

C．160

D．1804．（5分）設α，β是兩個平面，m，l是兩條直線，則下列命題為真命題的是（A．若α⊥β，m∥α，l∥β，則m⊥lB．若m?α，l?β，m∥l，則α∥βC．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，則m∥lD．若m⊥α，l⊥β，m∥l，則α⊥β

）5．（5分）甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（

）A．20種

B．16種

C．12種

D．8種6．（5分）已知Q為直線l：x+2y+1＝0上的動點，點P滿足A．E是一個半徑為的圓B．E是一條與l相交的直線C．E上的點到l的距離均為D．E是兩條平行直線

，記P的軌跡為E，則（

）7．（5分）已知

，則

＝（

）A．8．（5分）設雙曲線

B．

C．1

D．的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過坐標原點的直線與C交于A，B兩點．

，則C的離心率為（

）A．

B．2

C．

D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．（多選）9．（6分）已知函數(shù)

，則（

）A．函數(shù)

為偶函數(shù)B．曲線y＝f（x）的對稱軸為x＝kπ，k∈ZC．f（x）在區(qū)間D．f（x）的最小值為﹣2

單調遞增（多選）10．（6分）已知復數(shù)z，w均不為0，則（

）A．z2＝|z|2

B．

C．

D．（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且A．f（﹣）＝0B．C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)f（x+）是減函數(shù)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．

，若f（x+y）+f（x）f（y）＝4xy，則（

）12．（5分）已知集合A＝{﹣2，0，2，4}，B＝{x||x﹣3|≤m}，若A∩B＝A，則m的最小值為

．13．（5分）已知軸截面為正三角形的圓錐MM′的高與球O的直徑相等，則圓錐MM′的體積與球O的體積的比值是

，圓錐MM′的表面積與球O的表面積的比值是

．14．（5分）以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)．設0＜a＜b＜c＜1，已知b≥2a或a+b≤1，則max{b﹣a，c﹣b，1﹣c}的最小值為

．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（15分）已知函數(shù)f（x）＝lnx+x2+ax+2在點（2，f（2））處的切線與直線2x+3y＝0垂直．（1）求a；（2）求f（x）的單調區(qū)間和極值．16．（15分）盒中有標記數(shù)字1，2，3，4的小球各2個，隨機一次取出3個小球．（1）求取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；（2）記取出的3個小球上的最小數(shù)字為X，求X的分布列及數(shù)學期望E（X）．17．（15分）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，AA1＝2，∠C1CB＝∠C1CD，∠C1CO＝45°，∠C1CO＝45°．（1）證明：C1O⊥平面ABCD；（2）求二面角B﹣AA1﹣D的正弦值．18．（16分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點．（1）證明：直線MN過定點；（2）設G為直線AE與直線BD的交點，求△GMN面積的最小值．19．（16分）離散對數(shù)在密碼學中有重要的應用．設p是素數(shù)，集合X＝{1，2，…，p﹣1}，若u，v∈X，m∈N，記u?v為uv除以p的余數(shù)，um，?為um除以p的余數(shù)；設a∈X，1，a，a2，?，…，ap﹣2，?兩兩不同，若an，?＝b（n∈{0，1，…，p﹣2}），則稱n是以a為底b的離散對數(shù)，記為n＝log（p）ab．（1）若p＝11，a＝2，求ap﹣1，?；（2）對m1，m2∈{0，1，…，p﹣2}，記m1⊕m2為m1+m2除以p﹣1的余數(shù)（當m1+m2能被p﹣1整除時，m1⊕m2＝0）．證明：log（p）a（b?c）＝log（p）ab⊕log（p）ac，其中b，c∈X；（3）已知n＝log（p）b．對x∈X，k∈{1，2，…，p﹣2}，令

．證明：

．aa2024年九省聯(lián)考高考數(shù)學適應性試卷（1月份）參考答案與試卷解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【解答】解：樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為：10，12，14，14，16，20，24，30，40；所以中位數(shù)為第5個數(shù)，是16．故選：B．2．【解答】解：由題意得

，解得

．故選：A．3．【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，因為a3+a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5+a12＝3+17＝20，所以

．故選：C．4．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，直線m，l可能平行，相交或異面，故A錯誤，對于B，平面α，β可能相交或平行，故B錯誤，對于C，由直線與平面平行性質，分析可得C正確；對于D，平面α，β可能相交或平行，故D錯誤．故選：C．5．【解答】解：因為乙和丙之間恰有2人，所以乙丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位，①當乙丙及中間2人占據(jù)首四位，此時還剩末位，故甲在乙丙中間，排乙丙有

種方法，排甲有

種方法，剩余兩個位置兩人全排列有

種排法，所以有

種方法；②當乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，此時還剩首位，故甲在乙丙中間，排乙丙有

種方法，排甲有

種方法，剩余兩個位置兩人全排列有

種排法，所以有

種方法；由分類加法計數(shù)原理可知，一共有8+8＝16種排法．故選：B．6．【解答】解：設P（x，y），由

，則Q（x﹣1，y+3），由Q在直線l：x+2y+1＝0上，故x﹣1+2（y+3）+1＝0，化簡得x+2y+6＝0，即P的軌跡為E為直線且與直線l平行，E上的點到l的距離故選：C．7．【解答】解：由題

，故A、B、D錯誤，C正確．，即

＝

，化簡得（2tanθ+1）（tanθ+2）＝0?tanθ＝﹣2或

，因為＝

．

，所以

，故選：A．8．【解答】解：因為O為AB的中點，所以AF1BF2為平行四邊形，如圖：|F1B|＝|F2A|＝2|F1A|，又|F2A|﹣|F1A|＝2a，所以|F1A|＝2a，|F2A|＝2|F1A|＝4a；·

＝

·

＝﹣

﹣·

＝﹣2a·4acos∠F1AF2＝﹣8a2cos∠F1AF2＝4a2，所以cos∠F1AF2＝﹣，在△AF1F2中，由余弦定理得，4c2＝|F2A|2+|F1A|2﹣2|F2A|·|F1A|cos∠F1AF2＝4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）＝28a2，所以c＝

a，所以e＝

．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．【解答】解：＝＝即對于A，

，

，，易知為偶函數(shù)，所以A正確；對于B，由對于C，確；對于D，

的對稱軸方程，y＝sin2x單調遞減，則，則sin2x∈[﹣1，1]，所以

，故B錯誤；單調遞增，故C正，故D錯誤．故選：AC．10．【解答】解：∵復數(shù)z，w均不為0，對于A，不妨令z＝i，則z2＝﹣1，|z|2＝1，z2≠|z|2，A錯誤；對于B，＝

＝

，B正確；對于C，由復數(shù)的運算性質，可得

，C正確；對于D，

＝·

＝

＝

，故故選：BCD．

，D正確．11．【解答】解：令

，y＝0，則有

，又

，故1+f（0）＝0，即f（0）＝﹣1，令即

，

，則有

，由f（0）＝﹣1，可得

，

，又令即

，故，則有，故函數(shù)

，故A正確；是奇函數(shù)，

，有

，即

，即函數(shù)令x＝1，有

是減函數(shù)，

，故B正確、C錯誤、D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．【解答】解：由A∩B＝A，故A?B，由|x﹣3|≤m，得﹣m+3≤x≤m+3，故有

，即

，即m≥5，即m的最小值為5．故答案為：5．13．【解答】解：設圓錐的底面半徑為r，球的半徑為R，因為圓錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高由題可知：h＝2R，所以球的半徑

，母線l＝2r，所以圓錐的體積為球的體積所以圓錐的表面積球的表面積所以

，

；

，

，

，

，故答案為：；1．14．【解答】解：令b﹣a＝m，c﹣b＝n，1﹣c＝p，其中m，n，p＞0，所以若b≥2a，則b＝1﹣n﹣p≥2（1﹣m﹣n﹣p），故2m+n+p≥1，令M＝max{b﹣a，c﹣b，1﹣c}＝max{m，n，p}，因此

，故4M≥2m+n+p≥1，則

，若a+b≤1，則1﹣n﹣p+1﹣m﹣n﹣p≤1，即m+2n+2p≥1，M＝max{b﹣a，c﹣b，1﹣c}＝max{m，n，p}，則

，故5M≥m+2n+2p≥1，則

，當且僅當m+2n+2p＝1且

時等號成立，如取

時可滿足等號成立，綜上可知max{b﹣a，c﹣b，1﹣c}的最小值為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．【解答】解：（1）由題意可得

，則，解得a＝﹣3；

，（2）由a＝﹣3，故f（x）＝lnx+x2﹣3x+2，則

，x＞0，故當

時，f′（x）＞0，當

時，f′（x）＜0，當x＞1時，f′（x）＞0，故f（x）的單調遞增區(qū)間為故f（x）有極大值

、（1，+∞），f（x）的單調遞減區(qū)間為，

，有極小值f（1）＝ln1+12﹣3×1+2＝0．16．【解答】解：（1）記“取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件M，確定3個不同數(shù)字的小球，有每種小球各取1個，有所以

種方法，種取法，．（2）由題意可知，X的可取值為1，2，3，當X＝1時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為1的小球、有兩個數(shù)字為1的小球，所以

；當X＝2時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為2的小球、有兩個數(shù)字為2的小球，所以

；當X＝3時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為3的小球、有兩個數(shù)字為3的小球，所以所以X的分布列為：

，X

1

2

3P所以17．【解答】解：（1）證明：因為

．

，所以所以C1O⊥BD，

＝

，因為CC1＝2，

，∠C1CO＝45°，所以

，所以

，所以C1O⊥OC，因為BD∩OC＝O，所以C1O⊥平面ABCD．（2）由（1）知，OB，OC，OC1兩兩互相垂直，以O為坐標原點，OB，OC，OC1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

，

，

，

，

，，所以設平面AA1B的法向量為則

，

，

，

，

，令x1＝1，則y1＝﹣1，z1＝﹣1，所以設平面AA1D的法向量為

，

，則

，令x2＝1，則y2＝1，z2＝1，所以設二面角B﹣AA1﹣D的平面角為θ，

，所以所以二面角B﹣AA1﹣D的正弦值為

，所以．

，18．【解答】（1）證明：由C：y2＝4x，故F（1，0），由直線AB與直線CD垂直，故兩只直線斜率都存在且不為0，設直線AB、CD分別為x＝m1y+1、x＝m2y+1，有m1m2＝﹣1，A（x1，y1）、B（x2，y2）、E（x3，y3）、D（x4，y4），聯(lián)立C：y2＝4x與直線AB，即有消去x可得y2﹣4m1y﹣4＝0，故y1+y2＝4m1、y1y2＝﹣4，則

，

，

，故即

，

，同理可得

，

，當則即＝由m1m2＝﹣1，即故x＝3時，有

時，

，

，

，，此時MN過定點，且該定點為（3，0），當

時，即

時，由m1m2＝﹣1，即m1＝±1時，有l(wèi)MN：x＝2+1＝3，亦過定點（3，0），故直線MN過定點，且該定點為（3，0）；（2）解：由A（x1，y1）、B（x2，y2）、E（x3，y3）、D（x4，y4），則故

，由

、

，

，同理可得有

，聯(lián)立兩直線，即，

，即4x（y4+y2）+y1y3（y4+y2）＝4x（y3+y1）+y2y4（y3+y1），有故＝故xG＝﹣1，

，

，由y1y2＝﹣4，同理y3y4＝﹣4，過點G作GQ∥x軸，交直線MN于點Q，則

，由故

、

，

，當且僅當m1＝±1時，等號成立，下證|xQ﹣xG|≥4：由拋物線的對稱性，不妨設m1＞0，則m2＜0，當m1＞1時，有有

，則點G在x軸上方，點Q亦在x軸上方，，由直線MN過定點（3，0），此時|xQ﹣xG|＞3﹣（﹣1）＝4，同理，當m1＜1時，有點G在x軸下方，點Q亦在x軸下方，有

，故此時|xQ﹣xG|＞4，當且僅當m1＝1時，xQ＝3，故|xQ﹣xG|≥4恒成立，且m1＝±1時，等號成立，故

，19．【解答】解：（1）若p＝11，a＝2，又注意到210＝1024＝93