數(shù)字信號(hào)處理課后習(xí)題答案

作業(yè)答案

第一章

2〃+4,-4<n<-1

1.2給定信號(hào)x(")=-4,0<n<4

0,其他

(1)畫出x(〃)的波形，標(biāo)上各序列值；

(2)試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(〃)序列；

(3)令』(")=2x("-2),畫出子(力)的波形;

(4)令X2(")=x(2-n),畫出X2(")的波形。

解：(1)畫出x(")的波形，如圖S1.2.1所示。

圖PI.I圖SI.2.1

(2)x(n)=-43("+4)-26(〃+3)+23(〃+1)+43(")+4<J(n-1)+43("-2)+4況"-3)+45("-4)。

(3)畫出X|(")=2x(〃-2)的波形，如圖S1.2.2所示。

(4)畫出M(")=》(2-")的波形，如圖S1.2.3所示。

1.3判斷下列信號(hào)中哪一個(gè)是周期信號(hào)，如果是周期信號(hào)，求出它的周期。

圖S1.2.2圖S1.2.3

(a)sin1.2〃(b)sin9.7?！?c)ejL6,l/,

(d)con(3K/?/7)(e)Xcos(1■?！ㄒ?f)c"，'

解：(a)sin1.2〃是非周期信號(hào)。

(b)sin9.7?t"是周期信號(hào)，—M=—M=—M,取"=97,周期為20。

(o9.7兀97

(c)是周期信號(hào)，=1M=^LM=1M,取”=4,周期為5。

31.6K4

(d)con(3?！?7)是周期信號(hào)，—M=—M=—A/,周期為14。

(D3/7兀3

(e)/cos(T?！ㄒ环?是周期信號(hào)，周期為14。

(f)是非周期信號(hào)。

總結(jié)以上，如果數(shù)字頻率。不是n的函數(shù)，則一定是非周期序列。

1.5以下序列是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)〃(")，試說(shuō)明系統(tǒng)是否是因果的和穩(wěn)定的。

(1)—w(w)(2)—u(n)(3)3"w(/i)(4)3"?(-?)

n~〃！

(5)0.3wu(n)(6)0.3ww(-w-l)⑺演"+4)

解：(1)4〃(〃)，系統(tǒng)是因果、不穩(wěn)定。

(2)-?(?),系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。

nn\

(3)3"u(n),系統(tǒng)是因果的，但不穩(wěn)定。(4)37(f),系統(tǒng)是非因果、穩(wěn)定的。

(5)0.3""(〃)，系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。(6)-1),系統(tǒng)是非因果的，不穩(wěn)定。

1.6假設(shè)系統(tǒng)的輸入和輸出之間的關(guān)系分別如下式所示，試分別分析系統(tǒng)是否是線性時(shí)不變系統(tǒng)。

(1)y(n)=3X(H)+8(2)y(n)=x(n-1)+1

(3)y(n)=x(n)+0.5x(w-1)(4)y(n)=nx(n)

解：(1)M〃)=3X(〃)+8

將上式中的〃用〃-〃o代替，得到y(tǒng)(〃-〃o)=3x(〃-〃o)+8。4,y(n)=T[x(n-w0)]=3x(n-?0)+8,因

此y(〃一〃0)=T[x(〃-〃o)]，系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。

令系統(tǒng)的輸入信號(hào)為兩個(gè)信號(hào)的線性組合X(〃)=4司(〃)+以2(〃)，則輸出為

y(n)=T[axx(w)+bx2(n)]=3ax1(/?)+3bx2(n)+8,7[g(〃)]=3%(〃)+8,T[bx2(/?)]=^bx2(/?)+8

因?yàn)門[ax[(n)+hx2(n)]T[axx(/?)]+T[bx2(n)],因此該系統(tǒng)不服從線性疊加原理，是非線性系統(tǒng)。

(2)y(W)=X(W-l)+l

分析方法同上，該系統(tǒng)是時(shí)不變非線性系統(tǒng)。

(3)y(n)=x(〃)+05x(〃-1)

由上式有y(n一的)=-%)+0.5x(〃-w0-1)

T[x(n-〃0)]=x(〃一〃o)+0.5x(〃一“0-1)

因此y(n-nQ)=-〃0)],該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。

令系統(tǒng)的輸入信號(hào)為兩個(gè)信號(hào)的線性組合工(〃)=。*(〃)+力：2(〃)，則輸出為

y(n)=T[ax[(n)+bx2(n)]=axx(n)+0.5ax}(n-1)+bx2(n)+0.5bx2(n-1)

7'[t7X1(w)]=4X](〃)+0.5aX](〃-1),T[bx2(n)]=hx2(n)+0.5bx2(n)

因?yàn)閹?演(〃)+/以2(〃)]=7[”1(〃)]+7[區(qū)2(〃月，因此該系統(tǒng)服從線性疊加原理，是線性系統(tǒng)。

(4)y(n)=nx(n)

由上式得到y(tǒng)(n-nQ)=(n-nQ)x(n-nQ)

T[x(n-n0)]=nx(n-nQ)

這樣雙〃-〃0)工7口(〃-〃0)]，該系統(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。按照差分方程，可把系統(tǒng)看成是一個(gè)放大器，

放大器的放大量是〃，因?yàn)樵摲糯罅侩S〃改變，從物理概念上講，該系統(tǒng)也是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)。

令系統(tǒng)的輸入信號(hào)為兩個(gè)信號(hào)的線性組合X(〃)=4X[(〃)+6%2(〃)，則輸出為

y(n)=r[?X|(M)+bx2(n)]=n[ax[(n)+bx2(n-1)],T[ax1(n)]=nax1(n),T[bx2(n)]=nbx2(n)

因?yàn)?1以](〃)+/求2(〃)]=71〃玉(〃)]+71以2(〃)]，因此該系統(tǒng)服從線性疊加原理，是線性系統(tǒng)。

1.9計(jì)算并畫出圖P1.9所示信號(hào)的卷積x(n)*h(n)0

x{n}h(n)

0123n0123456n

0123n

x(n)h(n)

,Jill.,.

03456n-4-30〃

x(n)h(n)

一」1卜一，

Jill..,.

02345n-2-10n

圖Pl.9

(a)x(")*〃(")={…,0,0,色I(xiàn)I,15,18,14,10,6,3,1,0,0,…},原點(diǎn)在6處，波形如圖S1.9.1(a)所示。

(b)={…,0,0,6,11,15,招,14,10,6,3,1,0,0,…},原點(diǎn)在18處，波形如圖S1.9.1(b)所示?

(c)x(")*〃(")={…,0,0,1,2,2,21,0,0,…},原點(diǎn)在第一個(gè)2處,波形如圖S1.9.1?所示。

(d)x?*恤)={…,0,0，!,2,2,2,1,0,0,…},原點(diǎn)在第一個(gè)1處,波形如圖S1.9.10)所示.

x(n)h(n)

?x(n)?h(n)

-1012345

01245

圖Sl.9.1

1.10證明線性卷積服從交換率、結(jié)合率和分配率，即證明如下等式成立：

(1)x(")*〃(")=〃(")*x(")(2)x(")*(4(")*%("))=(x(")*/4("))*%(")

(3)x(”)*(%(")+似"))=x(n)*A,(n)+x(n)*h2(n)

解：證明如下：

(1)因?yàn)閤(〃)*6(")=x(m)h(n-m)

；W=-9O

令〃/=〃一加

x(w)*/?(?)=Zx(〃一〃，"(加')=人(〃)*x(〃)

(2)利用上面已證明的結(jié)果，得到

x(n)*(n)*(?:)]=x(n)*[h2(n)*hx(?)]=gx(m)\h2h](n-w)]=Z%(陽(yáng))，似k)M〃一m-k)

〃1=T?m="CX>A=-0O

交換求和號(hào)的次序，得到

x(〃)*[:(〃)*似〃)]=￡〃2(")￡x(m)hx(n-m-k)=￡h2(A:)[x(/?-k)*h{(n-k)]

A=-8m=-0°k=-g

=h2(n)*[x(w)*俗(〃)]=[x(〃)*h}(?)]*h2(n)

(3)x(〃)*[〃](〃)+%2(〃)]=￡一用)+%(〃-M)]

/n=-oo

XTWI

=Z%(加>(〃7%)+()^2(/-m)=x(n)*(w)+x(n)*h1(ri)

m=-?>m——oc

1.11已知系統(tǒng)的輸入式〃)和單位脈沖響應(yīng)//(〃),試求系統(tǒng)的輸出y(〃)。

(1)x(〃)=&(〃)，〃(〃)=&(〃)(2)x(n)=8(n)-8(n-2),h(n)=2R4(n)

n

(3)x(n)=-2),h(n)=0.5”號(hào)(〃)(4)x(/i)=R$(n),h(n)=0.5u(n)

0<n<61,-2<n<2

⑸=.3,h(n)=

0,其他

0,其他

(6)x(n)=\a-3<n<51,0<n<4

h(n)=

其他0,其彳11

解：⑴武〃)=%(〃)*&(〃)={…,0山2,3,4,4,3,2,1,0…},原點(diǎn)在第一個(gè)1處。

(2)7(〃)=[3(〃)-"(〃-2)]*2](〃)=24(〃)-2&(〃-2)={???,022,0,0,-2,-2,0,???},原點(diǎn)在第一個(gè)2處。

n2

(3)y(n)=8(n-2)*0.5〃R3(n)=0.5~衣3(〃-2)=4x0.5"&(〃-2)。

(4)該題解的方法和主教材中的例題1.3.3相同，

nm

y(n)=h{n)*x(n)=Rs(m)a~u(n-m)：m<〃，0<m<4,〃V0,y(界)=0

0<4,非零值范圍為OSm<n,因此

1-~n~]

i"-m=ana,

1—G

〃I=0

5<n,非零區(qū)間為0Wm<4,因此

M")=W3y-m=a"1l

...-n'

0,n<0

1_-M-l

la

結(jié)果為y(")=a"~,0<n<4

5<n<g

(5)y(n)=x(n)*h(n)=；〃&(〃)*Rs(n+2)。

為了計(jì)算方便，將上式寫成

3y(n)=3x(”)*h(n)=??/?7(w)*7?5(w+2)

采用列表法，計(jì)算過(guò)程如衣SI.11.1所示。

表S1.11.1

m-4-3-2-10123456

3x(⑼0123456

h(m)11111

h(-m)111113y(0)=3

111113川)=6

h(2—m)111113X2)=10

h(3-m)111113X3)=15

111113j，(4)=21

A(-l-w)111113*1)=1

111113)(-2)=0

M〃)=；{…,0,1,3,6,10,15,21,20,18,15,11,6,0,…},原點(diǎn)在3處。

小/、卜，-3<?<5,..fl,0<n<4

(6)x(n)=<h(n)=<山八

(o,其他[0,其他

x(n)=/&(〃+3),/?(〃)=&(〃)

y(n)=>""—(〃?+3)&(〃-〃?)

m

由扁(〃?+3)得到-3Wm<5。

由小(〃一〃?)得到w-4<m<no

max[-3,/?-4]<m<min[5,w]；

-3<?<0,=

黑3'-a

〃/一4/[-5\

1<?<5,刈)=￡0"=?！?；

KJ。

5J-4/]/0-〃

6<n<9,y(n)=Vam=------------

士4J”

最后得到

［一優(yōu)+i

-3<n<0

\-a

a-a

1<n<5

y(〃)=1-4

a—a

6<n<9

\-a

0,其他

1.13已知因果系統(tǒng)的差分方程為

M〃)=0.5y(〃-1)+x(n)+0.5x(〃-1)

求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)〃(〃)。

解：用遞推法求解,令x(〃)=b(〃),M-i)=o,M〃尸〃⑺，

h(n)=；力(〃-1)+b(〃)+(〃-1)

n=0,/,(O)=1/?(-l)+J(O)+1j(-l)=l;

"=1,〃(1)=；〃(O)+J(1)+；MO)=；+；=1；

〃=2,h(2)=；〃(1)=；；

?=3,久3)=；%⑵=(；)

歸納起來(lái)，結(jié)果為〃(")=(；)”("-1)+3(")。

第二章

2.1試求以下序列的傅里葉變換。

(2)%2(〃)=；5(〃+D+6(〃)+；旗〃一1)

(1)(00=6("-3)

(3)x3(n)=a"u(n)0<a<1(4)x4(w)=u(n+3)-u(n-4)

解：(1)毛@3)=￡3("-3)eT3"=eT33

“=-?*>

j/w-jjwjw->

(2)%2(e)=x2(w)e^=1e+1+=1+1(e+e)=1+cos<w

(3)X(ej<y)=Va“(〃)eT&"=gaM0M=—

3工￡

3__與勿jysm-69

(4)X4(e嗎=￡[〃(〃+3)—〃(〃-4)]e~^=￡廣刎二j7<y二e；e；-e；[j30=

—&I"「3"R

2.2設(shè)X(e2)是x(")的傅里葉變換，利用傅里葉變換的定義或者性質(zhì)，求下面序列的傅里葉變換。

(1)x(〃)一式"-1)(2)x*(w)(3)x(-n)

(4)x(2〃)(5)nx(n)(6)x2(/i)

x(n/2)〃為偶數(shù)

⑺yW=

0n為奇數(shù)

解：⑴解卬〃)一式〃-1)]=丫10)-丫@0g一切。

⑵FT[x*(〃)]=Z/(〃把一詢=Zx(/?)e>w=牙*小一切)。

〃=-M>|_〃=_00_

⑶FT[x"(-")]=Zx*(-")eT3"=x(-n)e,m

n=—?o[_//=—oo_

(4)FT[x(2n)]=x(2w)e'j?".

〃=-OO

令〃'=2〃

FT[X(2〃)]=￡x(/)eT"'2=2_L[x(〃)+(-l)〃x(〃)]「5"”

取偶數(shù)n=-?o

M=-oo〃=-oo

或者EM2")]=L(#)+幾蚪。

⑸因?yàn)?x(")e-9對(duì)該式兩邊對(duì)也求導(dǎo)，得到空ei=_j;內(nèi)5)eT3"=_jFT["x(”)]

七do，匕

用"e/、1<L￥(ej(a)

因此，F(xiàn)T[wx(w)J=j-------o

d。

(6)FT[x2(n)]=1x(/dd0=5'(53)*%93)=?『矛評(píng)/化…見(jiàn)?'.

(7)Y(ej3)=FT[x("/2)]=￡x(n/2)c>m"?

〃=-oo

令n=n/2

y(eW)=￡x(n)e->2m"'=X(e"3)

2.3假設(shè)信號(hào)X(")=[T2,-3,2,-1,?=-2,-l,0,l,2

10,其他

它的傅里葉變換用X(eW)表示，不具體計(jì)算X(eR),計(jì)算下面各式的值：

(1)砥9°)(2)NX(ei")(3)「X(ej")d0

(4)X(/)(5)]卜(四,0

解：(1)X(ej°)=￡x?=-l

n=-?>

(2)X(eia>)=￡乂("圮-泡"=x(-2)ej2<u+,r(-l)ej<a+x(0)+x(l)e-j?+x(2)e-j2<a

“=~oo

=-ej2tt,+2e”"-3+2e'j<B-e_j2?=2(e*"+e-jffl)-(ej2<a+e-2")_3=4coso-2cos(2o)-3

ZX(ej<B)=O

(3)x(〃)=嵩山X(ej3)ej""d0,令”=0,x(0)=*/X(e"")d0=-3

82

(4)X(ei")=Zx(")eTM=g(-l)"x(n)=-9

7n=-2

(5)門do=2"力|x(n)|2=387t

n=-2

2.4證明：若X(e，。)是x(〃)的傅里葉變換

n

n/k為整數(shù)

0,其他

則居(eW)=X(e*。)

解：居(齦)=￡勺(小一詢=Zxf-]e-j6W

令〃=〃'k,〃'是整數(shù)

i(0

Xk(e)=￡x(/)eT砒〃'=X(eM?)

〃，=-oo

2.9證明：

(1)x(〃)是實(shí)、偶函數(shù)，則對(duì)應(yīng)的傅里葉變換X?。)是實(shí)、偶函數(shù)。

(2)x(〃)是實(shí)、奇函數(shù)，則對(duì)應(yīng)的傅里葉變換X(J0)是純虛數(shù)，且是㈤的奇函數(shù)。

解：(1)x(〃)是實(shí)、偶函數(shù)，下面證明其傅里葉變換X(e"")是實(shí)、偶函數(shù)。

%儼)=￡x(〃)…兩邊取共施，得到X3)=之武“*￡x(〃)eT(-⑼〃=X-”)

rt=-?oM=-oo?=-<?

對(duì)上式兩邊取共挽，得到X(eM)=X*(e—W),說(shuō)明其〃)是實(shí)序列，X(eW)具有共枕對(duì)稱性質(zhì)。

X(ej0)=￡式〃把一"如=￡x(w)(costw+jsin69)

n=—°°n=—0°

OO8

由于x(〃)是偶函數(shù),M〃)sin。是奇函數(shù)，那么Zx(〃)sinty=0,因此X(eW)=，x(〃)cos。,該式

“=~cofl=-oo

說(shuō)明X(e"")是實(shí)函數(shù)，且是o的偶函數(shù)。

歸納起來(lái)，證明x(〃)是實(shí)、偶函數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的傅里葉變換是實(shí)、偶函數(shù)。

(2)x(")是實(shí)、奇函數(shù)，下面證明其傅里葉變換X(e"")是純虛數(shù)，且是o的奇函數(shù)。

上面已推出，x(")是實(shí)序列，MV)具有共趣對(duì)稱性質(zhì)，即％①3)=昭e73)。

X(e.?)=￡**詢=Zx(n)(cos。+jsin⑼

由于x(〃)是奇函數(shù)，上式中X(〃)COSG是奇函數(shù)，那么x(w)cos69=0,因此X(e"")=j'x(〃)sii】0

rt=—OO"=-8

證明了X?。)是純虛數(shù)，且是0的奇函數(shù)。

2.14如果力(〃)是實(shí)序列，證明H”(ej“)=〃(eT")<,

解：在第2.9題中已證明實(shí)序列的FT具有共較對(duì)稱性，即H(ej")=H*(e-j3),兩邊取共規(guī)，即得到

”*(ej3)="(e-j")。實(shí)際上要證明的公式就是共輒對(duì)稱性的一種表示方法。

2.16己知)(〃)=X](〃)*電(〃)*、3(〃)，證明：

8「8]「8][8-

(1)￡>(")=2為(")x2(n)x3(n)

n=-o?Lw=-0°JLM=-O°JLW=_O°_

(2)f(-l)"y(")=￡(-1)"須(")|￡(-1)飛5)±(-1):3(")

"=_8L〃=_8」L“=_8_|L〃=_OO_

解：(l)將式y(tǒng)(〃)=X|(〃)*X2(〃)*X3(〃)進(jìn)行FT,得到

r(ejd>)=%(/)'2@")入3@0)

?^("旭-詢=[,&("￡-四][鄉(xiāng)必(""一詢][?>3("旭>[(a)

eooo11ee11oo

令3=0,得到Z-(〃)=Z.5)Z*3(〃)

n=-o<>L/?=-<?J|_n=_<?J|_n=_oo_

(2)將(a)式中的。用(0-7C)代替，得到

Zj，(")e*3T”=Z$(")eT<3r“2々("￡*斫*>”2與("把』所->”

nLn北"JLn_

鄉(xiāng)(-1)"』("把-四[多(-1)飛(小小[3(-1)%("紀(jì)73"

，，

令刃=0得到y(tǒng)(T)"M")=[￡(-l)x1(n)T￡(-l)"x2(n)J￡(-1)飛(")[

w=-=_o

n=-°°L?°JLw=—?°JLw°_

該題中，將。用(0-兀)代替的意思是將頻譜移動(dòng)?；《取?/p>

2.18求出下面系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，并畫出它們的幅頻特性。

(1)y(n)=^-[x(rt)+x(n-1)](2)y(w)=yW^)-x(w-1)]

(3)y(n)=+1)-X(TI-1)](4)y(n)=+1)+x(n-1)]

(5)y(n)=x(n-4)

解：⑴//(陵)=^^=；(1+0-勺=1一5"95"+6一力=6支飛￡,回叫=85葭

幅頻特性如圖S2.18(a)所示。

...0).0).0).1

(2)"(3?)+…嗎=嗚，|〃93)卜s嗚,

幅頻特性如圖S2.18(b)所示。

(3)H(e"")=；(ej3-eTe)=jsin<w,|//(eja,)|=|sin^,

幅頻特性如圖S2.18(c)所示。

(4)H(eW)=；(eW+er3)=_/cos0,|z/(ej,a)|=|cos<a|,

幅頻特性如圖S2.18(d)所示。

(5)H?3)=?2,的?“)|=1，

幅頻特性如圖S2.18(e)所示。

⑶(b)

圖S2.18

2.21求以下各序列的Z變換和相應(yīng)的收斂域，并畫出相應(yīng)的零極點(diǎn)分布圖。

⑵x(〃)=G)，龍5

[6,7,-3,“=0,1,2

(1)M")|o,其他

0,n<4

(3)5("-"。)，"o是常數(shù)，n0>0(4)2-〃〃(〃)

(5)-2-Mu(-/;-l)(6)2-n[w(w)-i/(w-10)]

n

(7)x(n)=RN(n1N=4(8)x(n)=Arcos(g〃+(p)u(n),式中0Vr<1

〃，0<n<N

(9)x(〃)=(2N-〃，N+En<2N,式中N=4

0,其他

6,7,-3,n=0,1,2

解:(1)

0,其他

X(z)=￡x(")z-"=6+7ZT-3Z9,0<|z|<~,X(z)

n=°°

極點(diǎn)為z=0(是二階極點(diǎn));

6Z2+7Z-3=0,(3Z-1)(2Z+3)=0

零點(diǎn)為z=l/3,-3/2。

零極點(diǎn)分布如圖S2.21.1所示。

"仕丫z-5

⑵'⑶=*)；"=莊7=昂而-1本

2

由分母多項(xiàng)式求得極點(diǎn)為z=0(4階極點(diǎn))，z=1/2?

極零點(diǎn)分布如圖S2.21.2所示。

(3)ZT[<J(w-n0)]=z-"°,0<\z\<==

極點(diǎn)為z=0,極零點(diǎn)分布如圖S2.21.3所示。

圖S2.21.1圖S2.21.2圖S2.21.3

(4)ZT[2-W(?)]=￡=62-"-"=~^,k|>I

n=OZ2.

零點(diǎn)為z=0,極點(diǎn)為z=0.5。

極零點(diǎn)分布如圖S2.21.4所示。

-2z1

⑸ZT[-2-,,w(-n-D]=Z-rnu(-n-\)z-"=-2-,,z-n=^-2"z"zV

2

/1=-??M=-l"=1

零點(diǎn)為z=0,極點(diǎn)z=0.5,極零點(diǎn)分布如圖S2.21.4所示。該題的Z變換和(4)題一樣，但由于收斂域

不同，對(duì)應(yīng)的原序列也不同。

91

(6)21~[2-"("(")-"("-10))]=工21-"」:2||本g

/i=o1-2z

10

zi0-2-

ZT[2-10))]二

Z9(Z-2-')

由2T噎2*=0,得至lj零點(diǎn)為z=0.5xe10,上=0,1,2,…,9。

由Z“Z-2T)=0,得到極點(diǎn)為Z=0(9階極點(diǎn))，Z=0.5。

上面的極零點(diǎn)中z=0.5處的零極點(diǎn)相互對(duì)消。零極點(diǎn)分布如圖S2.21.5所示。

⑺X(z)=￡R式")z-"=Zz-"=,0<|z|<8

〃=/〃=0I—ZZ(Z-1)

,2K

由z，-1=0/4=e，2*,得到零點(diǎn)為〃=e,4,%=01,2,3

由z3(z-1)=0極點(diǎn)為z12=0J,(其中z=0是3階極點(diǎn))。

零極點(diǎn)圖如圖S2.21.6所示，圖中z=l處的零極點(diǎn)相互對(duì)消。

圖S2.21.4圖S2.21.5圖S2.21.6

(8)X(z)=-A力eFy+吃-"U「+一e-^

2[―|rG~^z~]

_〃=0〃=0

cos<p-rcos((t)Q-(p)z~xI?

(l-re"/zT)?(l_reT為z7)'“〃

零點(diǎn)為Z1=r四％二/，極點(diǎn)為*於"，Z3=re-j緯。

cos8

假設(shè)r=0.9,0。=；，＜P=0,極零點(diǎn)分布如圖S2.21.7所示。

〃，0<n<N

(9)x(〃)=?2N—〃，N+七n<2N,式中，N=4

0,其他

令y(n)=R4(n),那么x(n+1)=y(n)*y(n),

將該式進(jìn)行ZT,得到zX(z)=[Y(z)]2,X(z)=z-'[r(z)]2o

2

1__-4_4_JZ4-1z4-l

因?yàn)閥(z)=L—=—~所以x(z)=z，——1.

l-z-1z3(z-l)Z“z-1)z7(z—l)

極點(diǎn)為Z]=0（7階極點(diǎn)），z2=1（2階極點(diǎn)）。

零點(diǎn)為4=/*,A=0,l,2,3（均為2階零點(diǎn)）。

在z=1處的極零點(diǎn)相互對(duì)消，收斂域?yàn)?＜卜歸8,極零點(diǎn)分布如圖S2.2I.8。

圖S2.21.7圖S2.2I.8

2.27求以下函數(shù)的逆Z變換。

-3-50.75

(1)Z-'+5Z+6Z,|z|>0Q)X(z)=0.5<|z|<2

(l-0.5z)(l-0.5z-1)

0.750.75

⑶X(z)=,2<|z|(4)X(z)=|z|<0.5

(l-0.5z)(l-0.5z-1)(l-0.5z)(l-0.5z-1)

解：(1)ZT+5Z-3+6ZT,忖>0

X(z)=x(n)z~"=z-1+5z~3+6z~5,x(n)=^(?—I)+5<J(?-3)+68(n-5)

M=-00

0.75

⑵X(z)=0.5<|z|<2

(1-0.5Z)(1-0.5ZT)'

用留數(shù)法解題過(guò)程同第2章例題2.3.7?樣，對(duì)比該例題，可得到a=0.75,

因此x(〃)=0.5?,-°°<n<8

0.75

(3)X(z)=,|z|>2

(l-0.5z)(l-0.5z-,)

由收斂域可知，原序列是一個(gè)因果序列。

0.75

F(z)=X(z)zn-l=

-0.5(z-0.5)(z-2)Z

n>0,x(n)=Re5[F(z),0.5]+Res[F(z),2]=0.5n-0.5-n

n<0,x(n)=0

最后得到武〃)=(0.5〃-0.5一”)〃(〃)。

n75

(4)X(z)=--------:--------|z|<0,5

(l-0.5z)(l-0.5z-1)11

由收斂域可知，這是一個(gè)左序列。

0.75

F(Z)=X(Z)Z”T

-0.5(z-0.5)(z-2)"

當(dāng)〃20時(shí)，收斂域內(nèi)無(wú)極點(diǎn)，因此x(〃)=0；

當(dāng)〃V0時(shí)，z=0,是?個(gè)〃階極點(diǎn)，改求c外的極點(diǎn)留數(shù)之和,

x(n)=.Res[尸(z),0.5]—Rcs[F(z),2]=0.5'"-0.5"。

最后，將、(〃)表示為x(n)=(0.5-n-0.5n)w(-w-1)o

2.30設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述:

y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)

(1)求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)4(z),并畫出極零點(diǎn)分布圖；

(2)限定系統(tǒng)是因果的，寫出“(z)的收斂域，并求出其單位脈沖響應(yīng)〃(")；

(3)限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，寫出H(z)的收斂域，并求出其單位脈沖響應(yīng)〃(〃)。

解：(I)H(z)=-~~~^2=^-^~~-

1-z-zz-z-i

由z2-z-l=0,得到極點(diǎn)n,2=g。土括)，極零點(diǎn)分布如圖S2.30.1

所示。

(2)H(z)=--------------收斂域?yàn)殁睢悼?/p>

(z-p()(z-p2)

F(z)==-————-

(z-pl)(z-p2)

圖S2.30.1

n>0,〃(“)=Res[尸(z),pj+Res[F(z),p2]=,(0’)、

(Pi-Pi}(P2-P1)

l(P|-P2)(P2-Pl)J

(3)H(z)=--------------若系統(tǒng)穩(wěn)定，收斂域應(yīng)取|pz|</a,

(Z")(Z-P2)

n>0,h(n)=Re5[F(z),p2]=

Pi-P\

n<0,h(n)=-Res[F(z),P1]=-(P|)

Pv-Pi

最后得到M")=-馬二"(TL1)。

Pl-P\P\~Pl

第三章

3.1在變換區(qū)間OW”WN-I內(nèi)，計(jì)算以下序列的N點(diǎn)DFT。

(1)x(n)=1(2)x(n)=S(n)

(3)0<m<N(4)、(〃)=&,(〃)，0<mVN

j—mn

(5)x(〃)=eN,0<m<N(6)x(n)=

(7)x(〃)=cos(爭(zhēng)0<m<N(8)x(〃)=sin"?〃)，0<m<N

(9)x(n)=cos?。")(10)x(n)=nRN(n)

n為偶數(shù)

(H)x(n)=