高數第七章一階線性微分方程

高數第七章一階線性微分方程一階線性微分方程第四節(jié)一、一階線性微分方程二、伯努利方程第2頁,共29頁，2024年2月25日，星期天一階線性微分方程的標準形式:上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.一、線性方程例如線性的;非線性的.第3頁,共29頁，2024年2月25日，星期天性質1：性質2：性質3：第4頁,共29頁，2024年2月25日，星期天性質4：性質5：第5頁,共29頁，2024年2月25日，星期天齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)第6頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例第7頁,共29頁，2024年2月25日，星期天2.線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:第8頁,共29頁，2024年2月25日，星期天常數變易法把齊次方程通解中的常數變易為待定函數的方法.實質:

未知函數的變量代換.作變換第9頁,共29頁，2024年2月25日，星期天對應齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得機動目錄上頁下頁返回結束第10頁,共29頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例1.解方程

解:先解即積分得即用常數變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結束第12頁,共29頁，2024年2月25日，星期天解代入原式分離變量法得所求通解為另解第13頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例2.

求方程的通解.解:注意x,y

同號,由一階線性方程通解公式

,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量,

y為

自變量的一階線性方程機動目錄上頁下頁返回結束第14頁,共29頁，2024年2月25日，星期天解例第15頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例求方程例求方程第16頁,共29頁，2024年2月25日，星期天這是線性方程嗎？是關于函數x=x(y)的一階線性方程！[解]變形為：第一步:先求解齊次方程齊次方程通解是第17頁,共29頁，2024年2月25日，星期天第二步:用常數變異法解非齊次方程假設非齊次方程的解為代入方程并計算化簡積分得通解第18頁,共29頁，2024年2月25日，星期天伯努利(Bernoulli)方程的標準形式方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.二、伯努利方程解法:

需經過變量代換化為線性微分方程。第19頁,共29頁，2024年2月25日，星期天求出通解后，將代入即得代入上式第20頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例第21頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:第22頁,共29頁，2024年2月25日，星期天解例第23頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例

用適當的變量代換解下列微分方程:解所求通解為第24頁,共29頁，2024年2月25日，星期天解分離變量法得所求通解為第25頁,共29頁，2024年2月25日，星期天思考與練習判別下列方程類型:提示:

可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程第26頁,共29頁，2024年2月25日，星期天內容小結1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程第27頁,共29頁，2024年2月25日，星期天P315