吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,上頂點(diǎn)為點(diǎn),延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn),若為等腰三角形,則橢圓的離心率A. B.C. D.2.袋中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)小球,從袋子中一次性摸出兩個(gè)球,記下號(hào)碼并放回,如果兩個(gè)號(hào)碼的和是3的倍數(shù),則獲獎(jiǎng),若有5人參與摸球,則恰好2人獲獎(jiǎng)的概率是()A. B. C. D.3.設(shè)全集U=R,集合,則()A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}4.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論:()①是偶函數(shù);②在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù);③在上的最大值為2;④在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④5.已知集合,,若,則()A.4 B.-4 C.8 D.-86.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則公比()A. B.4 C. D.27.已知實(shí)數(shù),則下列說(shuō)法正確的是()A. B.C. D.8.設(shè),,則()A. B. C. D.9.運(yùn)行如圖程序,則輸出的S的值為()A.0 B.1 C.2018 D.201710.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)關(guān)于雙曲線漸近線的對(duì)稱點(diǎn)滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù),都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.12.已知直線過(guò)圓的圓心,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,若,且,則實(shí)數(shù)所有的可能取值構(gòu)成的集合是________.14.如圖,為測(cè)量出高,選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn),從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角,點(diǎn)的仰角以及;從點(diǎn)測(cè)得.已知山高,則山高_(dá)_________.15.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:℃)依次為8,,,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)______.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上,其中A(0,1)為直角頂點(diǎn).若該三角形的面積的最大值為,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)十八大以來(lái),黨中央提出要在2020年實(shí)現(xiàn)全面脫貧,為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),國(guó)家對(duì)“新農(nóng)合”(新型農(nóng)村合作醫(yī)療)推出了新政,各級(jí)財(cái)政提高了對(duì)“新農(nóng)合”的補(bǔ)助標(biāo)準(zhǔn).提高了各項(xiàng)報(bào)銷的比例,其中門診報(bào)銷比例如下:表1:新農(nóng)合門診報(bào)銷比例醫(yī)院類別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院門診報(bào)銷比例60%40%30%20%根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),李村一個(gè)結(jié)算年度門診就診人次情況如下:表2:李村一個(gè)結(jié)算年度門診就診情況統(tǒng)計(jì)表醫(yī)院類別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)各門診就診人次占李村總就診人次的比例70%10%15%5%如果一個(gè)結(jié)算年度每人次到村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院門診平均費(fèi)用分別為50元、100元、200元、500元.若李村一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去門診就診人次為2000人次.(Ⅰ)李村在這個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去三甲醫(yī)院門診就診的人次中,60歲以上的人次占了80%,從去三甲醫(yī)院門診就診的人次中任選2人次,恰好2人次都是60歲以上人次的概率是多少?(Ⅱ)如果將李村這個(gè)結(jié)算年度內(nèi)門診就診人次占全村總就診人次的比例視為概率,求李村這個(gè)結(jié)算年度每人次用于門診實(shí)付費(fèi)用(報(bào)銷后個(gè)人應(yīng)承擔(dān)部分)的分布列與期望.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的最小值;(2)設(shè)數(shù)列,其前項(xiàng)和為,證明:.19.(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率,需引進(jìn)一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn),現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線可供選擇,生產(chǎn)線①:有A,B兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02,0.03.若兩道工序都沒(méi)有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為15萬(wàn)元;若A工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加2萬(wàn)元;若B工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加3萬(wàn)元;若A,B兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬(wàn)元.生產(chǎn)線②:有a,b兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04,0.01.若兩道工序都沒(méi)有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為14萬(wàn)元;若a工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加8萬(wàn)元;若b工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬(wàn)元;若a,b兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加13萬(wàn)元.(1)若選擇生產(chǎn)線①,求生產(chǎn)成本恰好為18萬(wàn)元的概率;(2)為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本,你會(huì)給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線?請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)底面為菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若,.(1)求證:;(2)求二面角的正弦值.21.(12分)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知成等差數(shù)列.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.22.(10分)近年空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男女合計(jì)已知在全部人中隨機(jī)抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率為.(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明你的理由;(2)已知在不患心肺疾病的位男性中,有位從事的是戶外作業(yè)的工作.為了指導(dǎo)市民盡可能地減少因霧霾天氣對(duì)身體的傷害,現(xiàn)從不患心肺疾病的位男性中,選出人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,求所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率.下面的臨界值表供參考:(參考公式,其中)

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

設(shè),則,,因?yàn)?,所以.若,則,所以,所以,不符合題意,所以,則,所以,所以,,設(shè),則,在中,易得,所以,解得(負(fù)值舍去),所以橢圓的離心率.故選B.2、C【解析】

先確定摸一次中獎(jiǎng)的概率,5個(gè)人摸獎(jiǎng),相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn),根據(jù)每一次發(fā)生的概率,利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得到結(jié)果.【詳解】從6個(gè)球中摸出2個(gè),共有種結(jié)果,兩個(gè)球的號(hào)碼之和是3的倍數(shù),共有摸一次中獎(jiǎng)的概率是,5個(gè)人摸獎(jiǎng),相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn),且每一次發(fā)生的概率是,有5人參與摸獎(jiǎng),恰好有2人獲獎(jiǎng)的概率是,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率,考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率,解題時(shí)主要是看清摸獎(jiǎng)5次,相當(dāng)于做了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),利用公式做出結(jié)果,屬于中檔題.3、C【解析】

解一元二次不等式求得集合,由此求得【詳解】由,解得或.因?yàn)榛?,所?故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析,由此得出正確結(jié)論的編號(hào).【詳解】的定義域?yàn)?由于,所以為偶函數(shù),故①正確.由于,,所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù),所以②錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí),,且存在,使.所以當(dāng)時(shí),;由于為偶函數(shù),所以時(shí),所以的最大值為,所以③錯(cuò)誤.依題意,,當(dāng)時(shí),,所以令,解得,令,解得.所以在區(qū)間,有兩個(gè)零點(diǎn).由于為偶函數(shù),所以在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn).故在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).所以④正確.綜上所述,正確的結(jié)論序號(hào)為①④.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.5、B【解析】

根據(jù)交集的定義,,可知,代入計(jì)算即可求出.【詳解】由,可知,又因?yàn)?,所以時(shí),,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查交集的概念,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由得,又,兩式相除即可解出.【詳解】解:由得,又,∴,∴,或,又正項(xiàng)等比數(shù)列得,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

利用不等式性質(zhì)可判斷,利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解:對(duì)于實(shí)數(shù),,不成立對(duì)于不成立.對(duì)于.利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì),即可得出.對(duì)于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì),因此不成立.故選:.【點(diǎn)睛】利用不等式性質(zhì)比較大?。⒁獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件.解決此類問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外,還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.8、D【解析】

集合是一次不等式的解集,分別求出再求交集即可【詳解】,,則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

依次運(yùn)行程序框圖給出的程序可得第一次:,不滿足條件;第二次:,不滿足條件;第三次:,不滿足條件;第四次:,不滿足條件;第五次:,不滿足條件;第六次:,滿足條件,退出循環(huán).輸出1.選D.10、B【解析】

先利用對(duì)稱得,根據(jù)可得,由幾何性質(zhì)可得,即,從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示:由對(duì)稱性可得:為的中點(diǎn),且,所以,因?yàn)?,所以,故而由幾何性質(zhì)可得,即,故漸近線方程為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的知識(shí),考查了雙曲線漸近線方程,由題意得出是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.11、B【解析】

由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù),可知函數(shù)為減函數(shù),且,由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù),于是有,解得,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)還要考慮分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.12、D【解析】

圓心坐標(biāo)為,代入直線方程,再由乘1法和基本不等式,展開(kāi)計(jì)算即可得到所求最小值.【詳解】圓的圓心為,由題意可得,即,,,則,當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)取等號(hào),故選:.【點(diǎn)睛】本題考查最值的求法,注意運(yùn)用乘1法和基本不等式,注意滿足的條件:一正二定三等,同時(shí)考查直線與圓的關(guān)系,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】

化簡(jiǎn)集合,由,以及,即可求出結(jié)論.【詳解】集合,若,則的可能取值為,0,2,3,又因?yàn)?,所以?shí)數(shù)所有的可能取值構(gòu)成的集合是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查集合與元素的關(guān)系,理解題意是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】試題分析:在中,,,在中,由正弦定理可得即解得,在中,.故答案為1.考點(diǎn):正弦定理的應(yīng)用.15、【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出這組數(shù)據(jù)的方差,由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】解:某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:依次為8,,,0,2,平均數(shù)為:,該組數(shù)據(jù)的方差為:,該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法,考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、3【解析】

設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,則直線AC的方程可設(shè)為yx+1,(k≠0),聯(lián)立方程得到B(,),故S,令t,得S,利用均值不等式得到答案.【詳解】設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,則直線AC的方程可設(shè)為yx+1,(k≠0)由消去y,得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,所以x=0或x∵A的坐標(biāo)(0,1),∴B的坐標(biāo)為(,k?1),即B(,),因此AB?,同理可得:AC?.∴Rt△ABC的面積為SAB?AC?令t,得S.∵t2,∴S△ABC.當(dāng)且僅當(dāng),即t時(shí),△ABC的面積S有最大值為.解之得a=3或a.∵a時(shí),t2不符合題意,∴a=3.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)三角形面積的最值問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)的發(fā)分布列為:X2060140400P0.70.10.150.05期望.【解析】

(Ⅰ)由表2可得去各個(gè)門診的人次比例可得2000人中各個(gè)門診的人數(shù),即可知道去三甲醫(yī)院的總?cè)藬?shù),又有60歲所占的百分比可得60歲以上的人數(shù),進(jìn)而求出任選2人60歲以上的概率;(Ⅱ)由去各門診結(jié)算的平均費(fèi)用及表1所報(bào)的百分比可得隨機(jī)變量的可能取值,再由概率可得的分布列,進(jìn)而求出概率.【詳解】解:(Ⅰ)由表2可得李村一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去門診就診人次為2000人次,分別去村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院人數(shù)為,,,,而三甲醫(yī)院門診就診的人次中,60歲以上的人次占了,所以去三甲醫(yī)院門診就診的人次中,60歲以上的人數(shù)為:人,設(shè)從去三甲醫(yī)院門診就診的人次中任選2人次,恰好2人次都是60歲以上人次的事件記為,則;(Ⅱ)由題意可得隨機(jī)變量的可能取值為:,,,,,,,,所以的發(fā)分布列為:X2060140400P0.70.10.150.05所以可得期望.【點(diǎn)睛】本題主要考查互斥事件、隨機(jī)事件的概率計(jì)算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望、組合計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】

(1),分,,三種情況推理即可;(2)由(1)可得,即,利用累加法即可得到證明.【詳解】(1)由,得.當(dāng)時(shí),方程的,因此在區(qū)間上恒為負(fù)數(shù).所以時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立;當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不等實(shí)根,且滿足,所以函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零,函數(shù)在區(qū)間上單增,又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零,不滿足題意;當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù),所以在區(qū)間上恒為正數(shù),不滿足題意;綜上可知:若時(shí),不等式恒成立,的最小值為.(2)由第(1)知:若時(shí),.若,則,即成立.將換成,得成立,即,以此類推,得,,上述各式相加,得,又,所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)恒成立問(wèn)題、證明數(shù)列不等式問(wèn)題,考查學(xué)生的邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)計(jì)算能力,是一道難題.19、(1)0.0294.(2)應(yīng)選生產(chǎn)線②.見(jiàn)解析【解析】

(1)由題意轉(zhuǎn)化條件得A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障,利用相互獨(dú)立事件的概率公式即可得解;(2)分別算出兩個(gè)生產(chǎn)線增加的生產(chǎn)成本的期望,進(jìn)而求出兩個(gè)生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本期望值,比較期望值即可得解.【詳解】(1)若選擇生產(chǎn)線①,生產(chǎn)成本恰好為18萬(wàn)元,即A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障,故所求的概率為.(2)若選擇生產(chǎn)線①,設(shè)增加的生產(chǎn)成本為(萬(wàn)元),則的可能取值為0,2,3,5.,,,,所以萬(wàn)元;故選生產(chǎn)線①的生產(chǎn)成本期望值為(萬(wàn)元).若選生產(chǎn)線②,設(shè)增加的生產(chǎn)成本為(萬(wàn)元),則的可能取值為0,8,5,13.,,,,所以,故選生產(chǎn)線②的生產(chǎn)成本期望值為(萬(wàn)元),故應(yīng)選生產(chǎn)線②.【點(diǎn)睛】本題考查了相互獨(dú)立事件的概率,考查了離散型隨機(jī)變量期望的應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)先由線面垂直的判定定理證明平面,再證明線線垂直即可;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量,再利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】(1)證明:連接,由平行且相等,可知四邊形為平行四邊形,所以.由題意易知,,所以,,因?yàn)?,所以平面,又平面,所?(2)設(shè),,由已知可得:平面平面,所以,同理可得:,所以四邊形為平行四邊形,所以為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),所以平行且相等,從而平面,又,所以,,兩兩垂直,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,,,由平面幾何知識(shí),得.則,,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,由,可得,令,則,,所以.同理,平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面所成角為,則,所以.【點(diǎn)睛】本

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