《第十六章 二次根式》知識串講+熱考題型（原卷版）

八年級下冊數(shù)學《第十六章二次根式》本章知識綜合運用二次根式有關概念二次根式有關概念●●1、二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”稱為二次根號，a為被開方數(shù).●●2、代數(shù)式的定義：用基本運算符號（基本運算符號包括：加、減、乘、除、乘方和開方）把表示數(shù)或字母連接起來的式子，稱為代數(shù)式.●●3、最簡二次根式概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．●●4、可合并的二次根式概念：把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是可以合并的二次根式．二次根式的有關性質二次根式的有關性質●●1、a的性質：a≥0；a≥0●●2、（a）2（a≥0）的性質：（a）2＝a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．●●3、a2的性質：a2=|a|二次根式的相關運算二次根式的相關運算●●1、二次根式的乘除法二次根式的乘法法則：兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.二次根式的除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.用字母表示為：（1）二次根式的乘法法則：a?b=a?b（a≥0，b（2）積的算術平方根性質：a?b=a?b（a≥0，b（3）二次根式的除法法則：ab=ab（a≥0，（4）商的算術平方根的性質：ab=ab（a≥0，●●2、二次根式的加減法二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.合并方法為系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變．●●3、二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算是指二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運算．（2）二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序是一樣：先乘方、再乘除、最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）．題型一根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的取值題型一根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的取值【例題1】（2021春?德宏州期末）已知20-n是整數(shù)，則自然數(shù)n所有可能的值有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個解題技巧提煉先通過二次根式的定義求出自然數(shù)n的范圍，再由二次根式的性質確定20﹣n是一個完全平方數(shù)，最后通過分類討論思想求出自然數(shù)的所有可能取的值.【變式1-1】（2022春?溫州期中）若12-n是整數(shù)，則滿足條件的自然數(shù)n的值可以是（寫出一個即可）．【變式1-2】已知24n是整數(shù)，求正整數(shù)n的最小值．【變式1-3】已知18-n是整數(shù)，求自然數(shù)n所有可能的值；題型二二次根式與絕對值的綜合運用題型二二次根式與絕對值的綜合運用【例題2】已知實數(shù)x滿足|2017﹣x|+x-2018=x，求x﹣2017解題技巧提煉靈活利用二次根式的性質和絕對值的性質進行化簡計算是解題的關鍵.1、的性質：具有雙重非負性，即，即一個非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)；2、，即一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于它本身；3、，即一個數(shù)的平方的算術平方根等于它的絕對值.【變式2-1】（2022春?灌云縣期末）a2=|a（1）化簡：(-3)2=，(3-π)2（2）已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡﹣|c﹣a|+(b-c)【變式2-2】已知x2+8x+16+x2-12x+36=【變式2-3】（2022秋?南江縣校級期中）若﹣1≤x≤2，化簡：|x﹣2|+x【變式2-4】（2021春?姜堰區(qū)期末）小明在學習二次根式時，碰到這樣一道題，他嘗試著運用分類討論的方法解題如下：題目：若代數(shù)式(m-1)2+(m-2)2的值是解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|，當m＜1時，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）；當1≤m≤2時，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合條件；當m＞2時，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）；所以，m的取值范圍是1≤m≤2．請你根據(jù)小明的做法，解答下列問題：（1）當3≤m≤5時，化簡：(m-3)2+(m-5)2（2）若代數(shù)式(2-m)2-(m-6)2的值是題型三二次根式與三角形的綜合運用題型三二次根式與三角形的綜合運用【例題3】設a，b，c分別為一三角形的三邊長，試化簡：(a+b+c)2+|a﹣b﹣c解題技巧提煉運用a2=|a|【變式3-1】已知a、b、c是△ABC的三邊，化簡：(a+b+c)【變式3-2】已知三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長為c，化簡（|2-c|）2-1題型四二次根式乘除法法則成立的條件題型四二次根式乘除法法則成立的條件【例題4】等式x+3?x-3=x2-9成立的條件是解題技巧提煉式子a?b=a?b成立的條件是a≥0且b式子ab=ab成立的條件是a≥0且【變式4-1】（2022秋?閔行區(qū)校級期中）如果4x2-1=2x+1?2x-1成立，那么x的取值范圍是【變式4-2】（2022?綿陽模擬）等式x2(x+1)=-xA． B． C． D．【變式4-3】（2022秋?萬柏林區(qū)校級月考）等式1-xx-3=x-1A．x≤1 B．x＞3 C．1≤x＜3 D．x＜3題型五把二次根式根號外的因數(shù)（式）移到根號內(nèi)題型五把二次根式根號外的因數(shù)（式）移到根號內(nèi)【例題5】把下列各式中根號外的因式適當改變后移到根號內(nèi)．（1）25；（2）﹣412；（3）（2﹣x）7解題技巧提煉把二次根式根號外的因數(shù)（式）移到根號內(nèi)時，應先判斷根號外的因數(shù)（式）的正負，若為非負數(shù)，直接平方后移到根號內(nèi)；若為負數(shù)，平方后移到根號內(nèi)并在根號外加負號.【變式5-1】（2022春?涼州區(qū)期末）若把x-1A．x B．-x C．-x D．【變式5-2】（2022春?綏濱縣期末）把（m﹣1）11-m中根號前的（m﹣1A．m-1 B．1-m C．-m-1 D．【變式5-3】把下列各式中根號外的因數(shù)（式）移到根號內(nèi)．（1）﹣xyyx；（2）737；（3）﹣53；（4）3b題型六二次根式的運算在實際生活中的應用題型六二次根式的運算在實際生活中的應用【例題6】（2022春?潼南區(qū)期中）在一塊矩形的土地上種植草坪，該矩形土地的長為128m、寬為75m．（1）求該矩形土地的周長；（2）若種植造價每平方米160元，求在該矩形土地上全部種植草坪的總費用．（提示：結果保留整數(shù)，6≈2.4解題技巧提煉先認真分析題意，將實際問題轉化成二次根式的加減乘除運算問題，然后按照二次根式的運算的法則進行計算即可，注意計算的準確性和結果的要求.【變式6-1】（2022春?陵城區(qū)期中）如圖，有一張邊長為63cm的正方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個角剪掉，制作一個有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個角是面積相等的小正方形，此小正方形的邊長為3cm．（1）求長方體盒子的容積；（2）求這個長方體盒子的側面積．【變式6-2】（2022春?漢濱區(qū)期中）三角形的周長為（55+210）cm，面積為（206+45）cm2，已知兩邊的長分別為45cm和40cm，求：（（2）第三邊上的高．【變式6-3】（2022春?云南期末）某居民小區(qū)有塊形狀為矩形ABCD的綠地，長BC為128米，寬AB為50米，現(xiàn)在要矩形綠地中修建兩個形狀大小相同的長方形花壇（即圖中陰影部分），每個長方形花壇的長為(13+1)米，寬為（1）求矩形ABCD的周長．（結果化為最簡二次根式）（2）除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/平方米的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？【變式6-4】如果一個三角形的三邊的長分別為a，b，c，那么可以根據(jù)海倫﹣秦九韶公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)[其中p=12（a+b+c）]或其他方法求出這個三角形的面積．試求出三邊長分別為5，3，題型七二次根式的大小比較題型七二次根式的大小比較【例題7】比較二次根式的大?。海?）；（2）．解題技巧提煉利用二次根式的性質比較兩個二次根式的大?。悍椒ㄒ灰苿右蚴椒ǎ嚎梢园迅柾獾囊蚴狡椒胶笠迫敫杻?nèi)，根據(jù)此時被開方數(shù)的大小比較即可；方法二平方法：可以把這兩個二次根式分別進行平方，比較平方的大小，再比較原數(shù)的大小，注意是負數(shù)的，平方大的那個負數(shù)反而小．方法三：估算二次根式的大小來比較大小.【變式7-1】（2022春?關嶺縣期末）王老師在小結時總結了這樣一句話“對于任意兩個正數(shù)a，b，如果a＞b，那么a＞b”，然后講解了一道例題：比較15200解：(15200)2=125×200＝8，（23）2＝4×3＝12．參考上面例題的解法，解答下列問題：（1）比較﹣56與﹣65的大??；（2）比較7+1與5【變式7-2】用平方法比較6+11與【變式7-3】（2021秋?山亭區(qū)期末）數(shù)學課上，老師出了一道題：比較19-23與小華的方法是：因為19＞4，所以19-22，所以19-2323（填“＞”小英的方法是：19-23-23=19-43，因為19＞42＝16，所以19-40，所以19-430，所以（1）根據(jù)上述材料填空；（2）請從小華和小英的方法中選擇一種比較6-14與【變式7-4】課堂上老師講解了比較11-10和15-14的方法，觀察發(fā)現(xiàn)11﹣10＝15﹣111115因為15+14＞11+請你設計一種方法比較8+3與【變式7-5】閱讀下面問題：12+1=2-1；（1）根據(jù)以上規(guī)律推測，化簡：①17+6；②1（2）根據(jù)你的推測，比較15-14和題型八題型八巧用二次根式的小數(shù)部分與整數(shù)部分求代數(shù)式的值【例題8】（2021秋?思明區(qū)校級期末）若6-13的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則（2x+13）A．5-313 B．3 C．313-5 解題技巧提煉確定二次根式的整數(shù)部分和小數(shù)部分的方法：先用”放縮法”確定二次根式的整數(shù)部分，再用二次根式與整數(shù)部分的差確定小數(shù)部分，即n≤a＜n＋1，則可以確定a的整數(shù)部分為n，小數(shù)部分為a﹣n.【變式8-1】設a=5，且b是a的小數(shù)部分，求a-【變式8-2】已知m、n分別是6-13的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求m、n的值，并求代數(shù)式n【變式8-3】（2022秋?羅湖區(qū)校級期中）根據(jù)推理提示，回答下列問題：∵1＜3＜4，即∴3的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為3-1（1）14的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是．（2）如果6的小數(shù)部分為m，21的整數(shù)部分為n，求2m+n﹣26=（3）已知：10+32=a+b，其中a是整數(shù)，且0＜b＜1，則a＝，b＝題型九二次根式的化簡求值及混合運算題型九二次根式的化簡求值及混合運算【例題9】先化簡，再求值：（a+ba-b）2?2a-2b3a+3b-4a2a解題技巧提煉解決這類問題時，一般先將所給的式子進行化簡，然后將含二次根式的字母的值代入，根據(jù)二次根式的運算順序進行計算.【變式9-1】已知x=12，y=1【變式9-1】先化簡，再求值：（6xyx+3yxy3）﹣（4y【變式9-2】若x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，求yx【變式9-3】（2022秋?普陀區(qū)期中）已知a=12+1【變式9-4】已知：x＝2+3，y＝2-（1）x2﹣y2；（2）x2﹣xy+y2；（3）2x3+6x2y+2xy2．【變式9-5】（2021春?莒南縣期中）在解決問題：“已知a=12-1，求3a2﹣6a﹣1∵a=12∴a﹣1=∴（a﹣1）2＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，∴3a2﹣6a﹣1＝2．請你根據(jù)小明的解答過程，解決下列問題：（1）化簡：22-（2）若a=13+22，求2a2﹣12a題型十利用有理數(shù)的意義求字母式子的值題型十利用有理數(shù)的意義求字母式子的值【例題10】（2022?江北區(qū)開學）若a+63=(m+n3)2，當a，m，n均為正整數(shù)時，則a的值為解題技巧提煉通過完全平方公式去掉括號,然后比較等式左右兩邊的系數(shù)得出要求的字母的值，這里用到了不為零的有理數(shù)與無理數(shù)相加的和是有理數(shù)和無理數(shù).【變式10-1】先閱讀下面的材料，然后再根據(jù)要求解答提出的問題：設a，b是有理數(shù)，且滿足a+2b＝3﹣22，求ba的值．解：由題意得（a﹣3）+（b+2）2=0，因為a，b都是有理數(shù)，所以a﹣3，b+2也是有理數(shù)，由于2是無理數(shù)，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣問題：設x，y都是有理數(shù)，且滿足x2﹣2y+5y＝8+45，求x+y【變式10-2】（2022秋?輝縣市期中）【閱讀學習】小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+22=（1+2）設a+b2=（m+n2）2（其中a，b，m，n均為整數(shù)），則有a+b2=m2+2n2+22∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把a+b2的式子化為平方式的方法．【解決問題】（1）當a，b，m，n均為正整數(shù)時，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分別表示a，b，得：a＝，b＝（2）利用（1）的結論，找一組正整數(shù)a，b，m，n（m≠n），使得a+b3=（m+n3）2成立，且a+b+m+n的值最?。堉苯訉懗鯽，b，m，n（3）若a+65=（m+n5）2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a題型十一有關二次根式的規(guī)律探究題型十一有關二次根式的規(guī)律探究【例題11】（2022春?承德期末）觀察下列各式及其驗證過程：2+23=23+38=3（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想5+5（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗證．解題技巧提煉用綜合法解決探索規(guī)律問題，先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律，用一個統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是解決此類問題的關鍵，然后再用所得到的規(guī)律解決問題.【變式11-1】（2021秋?大田縣期中）觀察下列各式及其驗證過程①2-25=2②3-310=3（1）類比上述兩個等式及其驗證過程，猜想5-5（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用m（m為自然數(shù)，且m≥2）表示的等式并證明．（3）模仿上述驗算過程的方法，對338=3+38進行驗證；并針對等式反映的規(guī)律，直接寫出用n【變式11-2】（2022秋?吉安縣期中）觀察下列各式及其驗證過程：12驗證：1212驗證：1213驗證：13（1）按照上述三個等式及其驗證過程，猜想14（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n是大于等于2的自然數(shù)）表示的等式．【變式11-3】（2021秋?鄞州區(qū)期中）先閱讀材料，再解決問題．13131313…根據(jù)上面的規(guī)律，解決問題：（1）13+23+33+（2）求13+2【變式11-4】（2022春?朔州月考）綜合與探究：觀察下列等式，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：①1②1③1……（1）化簡：17+6（2）化簡：1n+1+n=（3）利用上面所揭示的規(guī)律計算：11+題型十二二次根式運算在復合二次根式中的應用題型十二二次根式運算在復合二次根式中的應用【例題12】（2022秋?城陽區(qū)期中）先閱讀下面的解題過程，然后再解答：形如m±2n的化簡，只要我們找到兩個數(shù)a，b，使a