重積分的計(jì)算方法

重積分的計(jì)算方法重積分包括二重積分和三重積分，它是定積分的推廣；被積函數(shù)由一元函數(shù)f（x）推廣為二元函數(shù)f（x,y），三元函數(shù)（fx,y,z）;積分范圍由數(shù)軸上的區(qū)域推廣為平面域（二重積分）和空間域（三重積分）。我個(gè)人在學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)多重積分這一塊時(shí)，感到多重積分的計(jì)算比較繁瑣，而在日常生活中多重積分有著很多的應(yīng)用。通過(guò)在圖書館查閱資料、以及老師的指點(diǎn)，重積分的計(jì)算方法還是有規(guī)律可循的。為了更好的應(yīng)用重積分，本人結(jié)合前人的經(jīng)驗(yàn)，在這里介紹幾種常用的重積分計(jì)算方法，以及一些小技巧。著重介紹累次積分的計(jì)算與變量代換。一．二重積分的計(jì)算1．常用方法（1）化累次積分計(jì)算法對(duì)于常用方法我們先看兩個(gè)例子對(duì)于重積分的計(jì)算主要采用累次積分法，即把一個(gè)二重積分表達(dá)為一個(gè)二次積分，通過(guò)兩次定積分的計(jì)算求得二重積分值，分析上面的例子累次積分法其主要步驟如下：第一步：畫出積分區(qū)域D的草圖；第二步：按區(qū)域D和被積函數(shù)的情況選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序，并確定積分的上、下限；第三步：計(jì)算累次積分。需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)的是，累次積分要選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序。積分次序的不同將影響計(jì)算的繁簡(jiǎn)，有些題這兩種次序的難易程度可以相差很大，甚至對(duì)一種次序可以“積出來(lái)”，而對(duì)另一種次序卻“積不出來(lái)”。所以，適當(dāng)選擇積分次序是個(gè)很重要的工作。選擇積分次序的原則是：盡可能將區(qū)域少分塊，以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程；第一次積分的上、下限表達(dá)式要簡(jiǎn)單，并且容易根據(jù)第一次積分的結(jié)果作第二次積分。（2）變量替換法著重看下面的例子：在計(jì)算定積分時(shí)，求積的困難在于被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得。從而適當(dāng)?shù)卦谟?jì)算重積分時(shí)，求積的困難來(lái)自兩個(gè)方面，除了被積函數(shù)的原因以外還在而且，有時(shí)候其積分區(qū)域往往成為困難的主要方面。利用換元法的好處是可以把被積函數(shù)的形狀進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以便于用基本求積公式。于積分區(qū)域的多樣性。為此，針對(duì)不同的區(qū)域要討論重積分的各種不同算法。（3）極坐標(biāo)變換公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）下面看一個(gè)例子：計(jì)算二重積分時(shí)，要從被積函數(shù)和積分域兩個(gè)方面來(lái)考慮如何適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)系，如能采用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，往往可以收到事半功倍的效果。從積分域來(lái)考慮，一般情況下，圓形、扇形或者環(huán)形可以選用極坐標(biāo)。（4）對(duì)稱法對(duì)稱法就是利用區(qū)域和被積函數(shù)的對(duì)稱性簡(jiǎn)化積分。在做題時(shí)，先考慮區(qū)域和被積函數(shù)有無(wú)對(duì)稱性，有時(shí)一看就知道積分為零，有時(shí)可使積分化簡(jiǎn)。否則的話，就會(huì)把時(shí)間花在無(wú)謂的計(jì)算上，有時(shí)不僅僅“得不償失”，而且往往是“有失無(wú)得”。利用區(qū)域和被積函數(shù)對(duì)稱性簡(jiǎn)化積分的方法可以總結(jié)為：①設(shè)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，x軸上方部分為D1，下方為D2，②設(shè)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，y軸右邊的部分為D1,左邊的部分為D2，（4）特例當(dāng)積分區(qū)域是一矩形，被積函數(shù)可以分離成只含x的函數(shù)和只含y的函數(shù)相乘時(shí)二重積分可作兩個(gè)定積分相乘。二．三重積分三重積分概念可以看作是二重積分概念的直接推廣，它的計(jì)算也是化為累次積分，適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換可使三重積分容易計(jì)算。與前面二重積分情況相同，三重積分也可以應(yīng)用對(duì)稱法計(jì)算，即一般地，若區(qū)域D關(guān)于yoz平面對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于x是奇函數(shù)，則三重積分必為零，類似地還可推出其它各種對(duì)稱情況的三重積分。計(jì)算三重積分的一般步驟為：1．畫出空間域D的草圖；2．根據(jù)被積函數(shù)和積分域D選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)和累次積分的次序，并將域D用相應(yīng)的雙邊不等式組表示；3．完成累次積分的計(jì)算。這里，畫好圖形是計(jì)算的關(guān)鍵，因?yàn)榉e分變量變化的范圍就是從圖形上看出來(lái)的，于是也就順利地寫出了積分限。其中柱坐標(biāo)系中的定限化為平面直角坐標(biāo)系的定限，球坐標(biāo)中定限化為平面極坐標(biāo)系的定限?？梢哉f(shuō)，三重積分的計(jì)算方法可由二重積分推廣過(guò)來(lái)，不再累述。三．結(jié)語(yǔ)綜上所述