2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材第一冊教案：5.6 函數(shù) y=Asin cox+(p )的圖像

第五章三角的教

5.6的敷y=Asin(cox+(p)的圖像

教材分析

本節(jié)課選自《普通高中課程標準實驗教科書教學(xué)必修1》5.6.2

節(jié)法教y=Asin(3x+。)的圖象

通過圖象變換，揭示參數(shù)。、3、A變化時對函教圖象的形狀

和住置的影響。通過引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=Asin(wx+

0)的圖象變換規(guī)律的探索，讓學(xué)生體會到由簡單到復(fù)雜、由特殊

到一般的化歸思想；并通過對周期變換、相核變換先后順序調(diào)

整后,將影響圖象變換這一難點的突破，讓學(xué)生學(xué)會抓住問題的

主要矛盾來解決問題的基本思想方法;通過對參數(shù)。、3、A的

分類討論，讓學(xué)生深刻認識圖象變換與改數(shù)解析式變換的內(nèi)在

聯(lián)系。通過圖象變換和“五點”作圖法，正確找出函數(shù)y=sinx

到y(tǒng)=Asin(x+(J)J的圖象變換規(guī)律，這也是本節(jié)課的重點所

在。提高學(xué)生的推理能力。讓學(xué)生感受教形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想

方法。發(fā)畏學(xué)生教學(xué)直觀、教學(xué)抽象、變輯推理、教學(xué)建模的

核心素養(yǎng)。

教學(xué)目標與核心素養(yǎng)

課程目標學(xué)科素養(yǎng)

lo借助討算機畫出函教a.教學(xué)抽象:三個參數(shù)對舀

y=Asin(cox+<j)J的圖教圖像變化的影響；

象，觀察參數(shù)中，3,A

bo近卷推理：由特殊到一

對法教圖象變化的影響；

2.引導(dǎo)學(xué)生認識y=般的歸納推理；

Asin（cox+（J）J的圖象C.教學(xué)運算:運用規(guī)律解決

的五個關(guān)鍵點，學(xué)會用

問題；

“五點法”畫法教y=

d.直觀想象：由函教圖像歸

Asin（3x+。）的簡圖；用

準確的教學(xué)語言描述不納規(guī)律；

同的變換過程。eo教學(xué)建模：運用規(guī)律解

3.體會教形結(jié)合以及從決問題;

特殊到一般的化歸思想;

培養(yǎng)學(xué)生從不同角度分

折問題，解決問題的能

力O

教學(xué)重難點

教學(xué)重點：重點：將考察參教A、3、。對函數(shù)y二Asin（3x+

。）圖象的影響的問題進行分解，找出函教y=sinx到y(tǒng)=

Asin（wx+（［）J的圖象變換規(guī)律。學(xué)習(xí)如何將一個復(fù)雜問題

分解為若干簡單問題的方法會用五點作圖法正確后函教y

=Asin（cox+<j）J的簡圖.

教學(xué)難點：：學(xué)生對周期變換、相位變換順序不同，圖象平移量

也不同的理解.

課前準備

多媒體

教學(xué)過程

教學(xué)過程設(shè)討意

圖

核心教

學(xué)素養(yǎng)

口標

(-)創(chuàng)設(shè)問題情境

提出問題

通過開

上面我們利用三角函教的知識建立

門見山,

了一個形如y二Asin(cox+cpJ其中(A

提出問

>0,3>0)的函教,顯然，這

題，利用

個函教由參數(shù)A,CD,(P所確定.因圖像變

此，只要了解這些參數(shù)的意義，知道換觀察

它們的變化對舀教圖象的影響，就能杷參數(shù)對

握這個法教的性質(zhì),從解析式看，函

函數(shù)圖

教y=cosx就是函數(shù)y=4sin(刃工+夕)，左A

像的影

二7,①=7,9=0時的特殊情形.響問題,

(1)能否借助我們熟悉的函數(shù)y=sinx的圖培養(yǎng)和

象與性質(zhì)研究參教A,3,9對法教

發(fā)展教

y=Asin(69%+(p)的影響?學(xué)抽象、

(2)函數(shù)y=Asin(cox+夕)含有三個參直觀想

教，你認為應(yīng)按怎樣的思路進行研究。象的核

lo探奈9對？=$111+圖象的心素養(yǎng).

影響

為了更加直觀地觀察參數(shù)9對函

教圖象的影響，下面借助信息技術(shù)做一

個教學(xué)實驗.如圖5。6。4,取A=7,

3二7,動點M在單位圓°】上以單位

角速度按逆時針方向運動,圖5。6.4

如梟動點、M以0°為起點（此時夕=

0J,經(jīng)過xs后運動到點P,那么

點、P的縱坐標y就等于sinx、以（工,

y）為坐標描點，可得正弦函教y=sinx

的圖象.

尸sin（x+含）

圖5.6-4

在單枚圓上拖動起點Q。，使點Q。繞點

Q1旋轉(zhuǎn)2到Q1，你發(fā)現(xiàn)圖象有什么變

化?如梟使點Q。繞點Q1旋轉(zhuǎn)一”；-

或者旋轉(zhuǎn)一個任意角夕呢

當起點住于Qi時，（P-l,可得及教

y=sin（x+的圖象,進一步，在單

住圓上，設(shè)兩個動點分別以Qo,Qi為超

點同時開始運動.如梟以Q。為起點的動

點到達圓周上點P的時間為XS,那么

以Q1為起點的動點相繼到達點P的時間

是（%—9s.這個規(guī)律反映在圖象上

就是：如梟F（x,y）是法教y二

sinx圖象上的一點，那么G（x-9y）

就是函數(shù)y=sin（x*）圖象上的點，如

圖5.6-4所示.這說明，把正弦曲線

y=sinx上的所有點向左平移％個單住長

度，就得到y(tǒng)=sin（x+弓）的圖象、

分別說一'說旋轉(zhuǎn)—？，g,—。時的情

況、

產(chǎn)sin（x+.）

圖5.6-4

一般地，當動點、M的起點住置

Q所對應(yīng)的角為夕時，對應(yīng)的函數(shù)是y

二sin（x+9）（（p豐°），把正弦曲線上的

所有點向左（當夕>。時）或向右

（當夕V。時）平移⑷個單枚長

度，就得到函數(shù)y=sin（x+夕）的圖象.

2O探奈co（（f）>0）對y=sin

fa）x+（p）圖象的影響下面，仍然通

過教學(xué)實驗來探索.如圖5。6o5,取

圓的半徑A=L為了研究方便，不妨令

(P=/當3=7時得到y(tǒng)=sin(%+9

的圖象.

?、俣?,圖象有什么變化?

取3二號呢？取3=3,CD=|,圖

象又有什么變化?當3取任意正教呢？

取3=2時，得到改教y=

sin(2x+9的圖象,進一步，在單住圓

上,設(shè)以Qi為起點的動點，當①二7

時到達點P的時間為％1s,當3=2

時到達點P的時間為小s,因為①二

2時動點的轉(zhuǎn)速是①=/時的2

僖，所以%2=.這樣，設(shè)G(x,y)

是法教y=sin(x+p圖象上的一點，那

么KQ%,y)就是法教y=sinf2x+=)

圖象上的相應(yīng)點，如圖5.6-5示、這

說明，把y=sin(x+弓)的圖象上所有

點的橫坐標縮短到原來的［僖(紈生林通過

不變)，就得到y(tǒng)=sin(2x+^)的圖對典型

象,y=sin(2x+^)的周期為兀，是＞二問題的

sin(x+9的周期的、分析解

決，發(fā)畏

學(xué)生教

學(xué)建模、

近科推

理，直觀

同理，當3個時，動點的轉(zhuǎn)

想象、教

速是3二7時的冷，以Qi為起點，

學(xué)抽象、

到達點P的時間是3=/時的2

教學(xué)運

僖.這樣，杷y=sin（%+9圖象上

算等核

所有點的橫生標獷大到原來的2售

心素養(yǎng)；

（紈圭林不變J,就得到y(tǒng)=sin（|x+

的圖象.y=sin（挑+"的周期為4兀，是

y=sin（x+^）的周期的2僖.

一般地，函教的周期抬，把y

=sin（x+cp）圖象上所有點的橫坐標縮

短（當①>7時）或伸長（當。

<CD</時）到原來的！售（紈生林

不變），就得到的圖象.

3o探親A，A>。）對y=sin

（cox+（p）圖象的影響

下面通過教學(xué)實驗探索A對法教圖

象的影響、為了研究方便，不妨令3

二2,（p屋,當A=7時，如圖5.6.6,可

得y=sin（2X+￡）的圖象.

改變A的取值，使A取2,》3,

膏,你發(fā)現(xiàn)圖象有什么變化？當A取

任意正教呢?

當A=2時，得到法教y=2sin(2x+^J

的圖象.

進~步，設(shè)射線。&與以。1為圓心、2

為半徑的圓交于「一如果單枝圓上以。］

為起點的動點，以3二2的轉(zhuǎn)速經(jīng)過

XS到達圓周上點P,那么點P的紈生

標是2sin(2x+。；相應(yīng)地，點、Ti在以％

為圓心、2為半徑的圓上運動到點

點的紈坐標是這

T,T2sin(2x+=6J.

樣，設(shè)K(x,y)是函數(shù)y=sin(2x+》

圖象上的一點，那么點、N(xy2y)

就是法教圖象y=2sin(2x+》上的相應(yīng)

點，如圖5.6.6所示,這說明，杷

y=sin(2x+9圖象上所有點的紈坐標伸

長到原來的2僖r橫坐標不變)，就

得到y(tǒng)=2sin(2x+Q的圖象,同理，杷

y=sin（2x+"圖象上所有點的縱生林縮短

到原來的3售（橫坐標不變）,就得到

y=jsin（2x+~的圖象、

一般地,法教y=Asin（s+夕）

的圖象，可以看作是把y二Asin（69%+夕）

圖象上所有點的紈坐標伸長（當A>

/時）或縮短（當0<A</時）

到原來的A售（橫生林不變）而得

到,從而，函教y=Asin（Gx+夕）的

值域是f-A,AJ,最大值是A,最

小值是-A

你能總結(jié)一下從正弦法教圖象出

發(fā)，通過圖象變換得到y(tǒng)=Asin（cox+（p）

（A>0,3>0）圖象的過程與方

法嗎?

一般地,法教y=Asin（s+夕）（A

>0,CD>0）的圖象，可以用下面

的方法得到：先畫出函數(shù)y=sinx的圖

象；再杷正弦曲線向左（或右）平移I磯

個單住長度，得到收教〉=sin（x+夕）的

圖象；然后把曲線上各點的橫坐標變?yōu)?/p>

原來的5借（紈生林不變），得到的教

y=sin（69X+cp）的圖象；最后把曲線上

各點的縱生林變?yōu)樵瓉淼腁僖（橫生

標不變），這時的曲線就是函教y二

Asin（69%+9）的圖象.

規(guī)律總結(jié)：

先平移后伸縮的步驟程序如下：

向左（8>0）或向右（.CO）,

y=sinx的圖象平移⑷個單位長度得

y=sin（x+（［））的圖象

橫坐標伸長或縮短（G>1）,

到原來L（縱坐標不變），口.，，I、

切得y=sin（3x+巾）

的圖象

縱坐標伸長（4>1）或縮短（0<力<1））

為原來的陽（橫坐標不變）得y=Asin（wx+（j）J

的圖象O

先伸縮后平移（提醒學(xué)生盡量先平移）,

但要注意第三步的平移。

縱坐標伸長（4>1）或縮短（。<4<1））

y=sinx的圖象這原來的4倍（橫坐標不變）得

y=Asinx的圖象

橫坐標伸長（。吠<1）或縮短（G>1）>

到原來的L（縱坐標不變）A?，、

g何y=Asin（cox）

的圖象

向左3>o）或縮短3>1）

平移四個單位?,、以

s得y=Asin（3x+巾）的

圖象。

典例解析

例/畫出函教y=jsin(3x—的簡

圖.

解：先畫出法教產(chǎn)sinx的圖象；再把正

弦曲線向右平移珊個單住長度，得到函

教的圖象；然后使曲線上各點的橫生林

變?yōu)樵瓉淼膢4,得到改數(shù)的圖象；

最后把曲線上各點的紈坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>

2僖,這時的曲線就是函數(shù)y三sin(3x-

D的圖象，如圖5。6。7所示.

6

圖5.6-7

下面用"五點法"畫函數(shù)y=：sin(3x—

T在一個周期(T=爭)內(nèi)的圖象.令X=

3x—處1x=-（X+

63

T列表（表5.6.1J,

描點畫圖（圖5.6.8）

表5.61

n3n

X07nT2n

2n7n5n13n

X

18~9187?

y020-20

例2摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械

建筑設(shè)施,游家坐在摩天輪的座艙里慢

慢地往上轉(zhuǎn)，可

以從高處俯瞰四

周景色.如圖

5.6o9,其摩天

蛤最高點距離地

面高度為120

圖5.6-9

m,轉(zhuǎn)盤直徑為

110m,設(shè)置有48個座艙，開啟后接

逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn),游家在座艙轉(zhuǎn)到

距離地面最近的核置進艙，轉(zhuǎn)一周大約

需要30in.

(1)游家甲生上厚天輪的座艙，開

始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為H

m,求在轉(zhuǎn)動~周的過程中，H關(guān)于t

的法教解析式；

(2J求游家甲在開始轉(zhuǎn)動5min后

距離地面的高度；

(3)若甲、乙兩人分別生在兩個

相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，

求兩人距離地面的高度差h(單住：

m)關(guān)于t的函教解析式，并求高度

差的最大值(精確到0.7)

分析：摩天輪上的座艙運動可以近似地

看作是質(zhì)點在圓周上做勻速旋轉(zhuǎn).在旅

轉(zhuǎn)過程中，游家距離地面的高度犁呈

現(xiàn)周而復(fù)始的變化，因此可以考慮用三

角函數(shù)來刻畫.

解：如圖5.6.10,設(shè)座艙距離地面最近

的住置為點P,

以軸心O為原點，與地面平行的直線

為久軸建立直角坐標系.

(])7殳t=0min,

游客甲優(yōu)于點pco,

—55J,以0P為終邊

的角為一“根據(jù)摩天

輪轉(zhuǎn)一周大約需要

30min,可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為專兀

rad/min,由題意可得H=55sin(凱契

+65,0<t<30,

(2J當t=5時，H=55sin(^xs—

三2)"+65=37。5

所以，游家甲在開始轉(zhuǎn)動5min后距離

地面的高度約為37.5m、

(3)如圖5.6.10,甲、乙兩人的

住置分別用點A,B表示，則ZAOB

二葛二盤、經(jīng)過后甲跖離地面的高度

為％=55sin（某—》+65,點、B相對于

點A始終落后Jrad,此時乙距離地面

的高度為%=55sin（各一翳）+65,則甲、

乙距離地面的高度差九=%-

“2尸55卜in（白一“-sin（白一詈）尸55卜in（會“

+sin（署-自），羽1用sin。+sin?=2s譏與qos與4可彳導(dǎo)

/i=110|sin^sin（^/-^）,0<t<30,當白七弓（或

371）

即」7。8r或22.8J時，h的最大

值為sin—~7O、

110482

所以，甲、乙兩人距離地面的高度差

的最大值約為7.2m.

三、當堂達標

1.函教y=3sin錯誤!的振幅和周期分別為通過練

習(xí)鞏固

（）

本節(jié)所

A,3,4B、3,錯誤！Co錯誤!，4

學(xué)知識，

Do錯誤!，3鞏固對

【解析】由于法數(shù)y=3sin錯誤!，二振幅三角函

是3,周期T=錯誤!=4.教圖像

變換規(guī)

【答去】A律的理

2、將函數(shù)y=sin錯誤!的圖象上所有點的橫解，增強

學(xué)生的

生林伸長到原來的2僖（縱生標不變），再

直觀想

將所得圖象向左平移錯誤!個單佳，則所得

象、教學(xué)

函教圖象對應(yīng)的解析式為（）

抽象、教

A.y二sin錯誤！B.y=sin錯誤！C.y=sin學(xué)運算、

錯誤氏D、y=sin錯誤！近輯推

理的核

【解析】函教y=sin錯誤!的圖象上所有

心素養(yǎng).

點的橫生林伸長到原來的

2售，得y=sin錯誤!的圖象，再將此圖象

向左平移錯誤!個單住，

得y=sin錯誤!=sin錯誤!的圖象，選D.

【答案】D

3.已知收教〉=Asin（cyx+夕）（A>0,①）

0）的最大值是3,最小正周期是錯誤!，初相

戲,則這個函數(shù)的表達式是（）

A.y=3sin錯誤！B,y=3sin錯誤！

C.y=3sin錯誤！D,y=3sin錯誤！

【解析】由已知得A=3,T=錯誤!，?二

兀271rc.

不，g=下二7,所以y=3sm錯誤!。

【答案】B

4.法教y=2sin錯誤!圖象的一條對稱軸是

_____.